整体建构教学：数学深度学习的高效路径

□福建省厦门市海沧区青礁小学 张艺玲

在日常教学中，小学数学课堂教学长期存在一种明显的“碎片化”教学现象。这里的“碎片化”是一类典型的教学问题的概括，集中体现在：教学内容上，总是局限于某个知识点，看不到知识整体；教学组织上，教学环节间彼此割裂，没有层次和关联；教学运行上，“小步”慢走，“碎步”前行，缺乏系统结构；思维发展上，信息素材总是散点分布，不能聚合升华等。大多数教师重于对课时教材的解读，而疏于对整体背景的把握。虽然每节课都设计了详细的教学环节，但对于同一主题不同层次的知识教学缺乏内在沟通和衔接，导致教学一叶障目，教学活动肤浅断层，缺乏系统性、深刻性、联系性，知识整体性、连贯性和迁移性不强，不能将“游离”状态的数学知识点连接成科学的数学知识结构[1]。由此可见，“碎片化”教学拆散了知识系统，违反了教学常识，也背离了学生认知规律，增加了他们的学习负担。为此，急需深度剖析造成“碎片化”教学的原因，以便提出有效的解决措施，从而促进学生深度学习，构建高效课堂。

一、剖析“碎片化”成因，探寻深度学习

1.教师对数学知识缺乏系统性把握

一位数学教师往往需要经历一次大循环的教学，才能对整个教材体系有所熟悉，当然也可以通过研修的方式加快这一进程。但是由于教师资源的缺乏，家长的殷切希望等主客观原因，导致很多数学教师即使任教好几年，都无法经历一次大循环教学。更何况知道“要教什么”与能实现“系统建构”之间还存在很大的差距。虽然在很多教师教学参考书上都有完整的各册教学知识点汇总表，但是大部分教师在教学中还是存在“碎片化”教学，不能很好地做好“系统建构”，这是因为实现“系统建构”不仅需要数学学科等相关理论的支撑，而且需要教师自身教学理念、经验及智慧的共同参与。

2.教师对建构主义等新教学理论了解不深，理解不透彻

在教育教学发展过程中，我国中小学数学教育一直与诸多现代数学新理论密切联系。虽然到了20世纪60 年代，布尔巴基学派曾经用结构主义的观点编写中学教材，但中国并没有直接受到此教科书的影响，所以我国很多一线数学教师对布尔巴基学派结构主义关注较少。相比之下，我国小学数学教师对荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔的“现实的数学”“数学化”“再创造”等数学理论更熟悉，弗赖登塔尔为我们打开了通往世界数学教育领域的一扇窗户，在中国数学教育界撒下了种子。后来出现建构主义学习理论，它认为学习者的知识不是由教师传授而获得的，而是学习者在一定的社会文化背景下，根据已有的知识、经验、方法主动地通过意义建构的活动而获得的。除此之外，还有布鲁纳的“发现学习”、加德纳的“多元智能”等近现代数学教育教学理论也对我们的数学教学产生了影响。从客观上讲，这些理论看似熟悉，但是对广大数学教师而言，存在“陌生”感的人不在少数，能够主动、自觉、高效地进行实践应用的状况并不乐观。

3.教师缺乏整体性教学设计以及教学实践的经验支持与示范引领

小学数学教学活动具有鲜明的实践导向，即使拥有很高的理论水平者，也未必能上出好的数学课。笔者时常看到有些教师或教研团队需要用很长的时间来打磨一节公开课，但是经过几次的研讨，还是在浅层次徘徊，还在研究一些“细枝末节”，缺乏宏观、上位的整合与建构，“只见树木，不见森林”。看到的都是“术”，没有“道”。也经常听到教师感叹：“‘道理’都懂，就是不知道怎么来上好课。”这在一定程度上说明理论与实践是脱节的。那么教师应该采取哪些有效措施来解决以上难题呢？一方面需要教师有丰富的实践经验做基础，另一方面也需要有一批“先行者”“示范者”来“领跑”。这也说明了数学教育教学中“理论的实践性解读”与“教学实践的理论性反思”的重要性，昭示着数学教师要走“作为研究者的教师”的专业成长道路。

二、解决“碎片化”教学，构建高效课堂

基于以上原因，教师应当提出哪些有效的解决措施，从而促进学生深度学习，构建高效课堂呢？笔者结合日常教学实践，认为应开展整体化教学，以帮助学生更好地建构较为完整的知识体系、认知模式及思维模型，在深度学习中不断促进学生学科素养发展。下面笔者就如何开展基于整体建构的小学数学深度学习活动谈几点感悟。

1.开展关联学习，梳理知识脉络，构建知识结构体系

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》明确指出：数学教学应该是注重数学知识之间联系的教学，潜移默化地让学生感受数学知识之间的联系。因此，教师在教学中应当关注数学知识在组织形式或关联方式等方面的联系[2]，引领学生从更上位的角度去梳理数学知识的形成过程，并在知识外延的不断拓展中，将有关知识串联在一起，逐步融合为具有较强的粘合力、逻辑性和关联度的知识脉络图，进而建构起相对完整的知识体系，以实现系统性、结构性的深度学习。

例如“图形与几何”模块中，与度量有关的“长度单位（二上）、面积（三下）、角的度量（四上）、体积（五下）”等内容，虽然分布在不同年级的不同单元，但是它们却有着相似的逻辑机理，即不管是长度单位还是面积计算，它们都是由“度量单位的价值—度量或计算方法—知识的应用”三个循序渐进的内容模块组成，都是研究有关计量单位数量的问题。笔者组织教学时，依托知识之间的关联特征，将独立存在于不同年级的知识有机黏合，在学习完“面积（三下）”后，以问题驱动学生思考：面积的计算（三下）与长度单位的计量（二上）之间有什么相似的地方呢？给学生充足的时间思考、探究、交流，促使他们从整体视角审视学习内容，在教材的深度对比中，逐步明确两部分的内容都是由“了解必要性—学习计量方法—解决实际问题”三个方面的知识模块构成，并且都是探究“计量单位数量的计算方法”，帮助学生初步梳理知识脉络，同时在“角的度量（四上）”和“体积（五下）”的探究中，再次进行梳理，从而把不同的知识纳入相同的体系当中，在看似不同的知识对比中，使学生逐步明白一维的长度、二维的面积、三维的体积等计量单位知识的教学，其本质都是在计算计量单位的数量，使学生在掌握数学知识本质的同时，把碎片化知识串联成网，既看到知识生长的“源头活水”，又预见知识生长的“未来模样”，从而构建起较为完整的知识结构体系。

2.开展共性学习，提炼学习方法，构建认知策略系统

数学学习活动如果只在知识的纵横向联系的基础上构建知识体系，是无法达成学习目标的。所以在梳理知识脉络的同时，教师还应该深入了解数学知识的学习方法，经历从特殊事例中归纳概括数学知识本质的推理过程，或者应用一般性结论验证特殊实例能否成立的演绎过程……形成共同的探索数学知识的学习方法，并逐步内化为学生的认知策略系统，成为他们继续探究新知、解决实际问题的有力工具。

如教学五年级上册“多边形的面积”这一单元时，学生对长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等图形的特征已有深刻认识，并熟练掌握长方形、正方形的面积计算方法。因此，探究平行四边形的面积计算公式时，教师有意识地启发学生思考：能否借助探究长方形面积公式的方法来探究平行四边形的面积公式呢？学生结合自身的学习经历以及数学活动经验，逐步形成两种猜想：（1）“数方格”计算面积；（2）将平行四边形转化成长方形计算面积。以此为基础，引导学生经历将平行四边形沿着高剪开，平移、转化为一个长方形的过程，进而再探究平行四边形的底和高与长方形的长和宽之间的关系，由此推导出平行四边形面积计算公式。整个探究过程，学生不仅知道了平行四边形面积的计算公式，而且也感悟了“转化”策略的重要作用。这样，探究三角形的面积公式时，学生就能借助小组合作学习，继续尝试借助“剪、移、拼”等转化策略，感悟三角形的面积计算和平行四边形的相似之处，从而得到三角形的面积计算公式，同时应用两次的转化经验，学生在探索梯形的面积计算公式时，就能形成多样化的方法。但是教学不能仅停留于梯形面积计算公式的理解和掌握层面，还应当有意识地指导学生将各种推导方法（如沿着两个顶点分别作下底的高，沿着一个顶点作腰的平行线，连接不相邻的两个顶点）进行梳理，明确以上这些方法都是通过分割，将梯形面积计算转化成求长方形、三角形和平行四边形的面积，这是由平行四边形面积计算公式的推导思路迁移过来的，让学生深刻感悟到“转化”思想的重要作用。

在此基础上，教师以核心问题“请你把学过的图形面积的计算公式，按照一定的思考方式整理出来”为引领，组织学生对学法进行梳理、整合，厘清知识间的逻辑机理，从而发现图形面积推导的共通方法都是将未知图形转化为已知图形，转化思想是统领图形面积计算公式推导的“魂”，可以探索面积公式的各种方法之间的关联，找到方法之间共同的属性，让学生懂得举一反三，积累数学基本活动经验，构建起认知策略系统，后续学生在学习计算组合图形及不规则图形面积时，就能将其分解或者估算成已学过的图形，从而更好地解决问题。

3.开展多维学习，品悟思维方式，构建数学思维模型

学习的过程是促进儿童思维不断进阶、结构不断完善的过程。至此在教学中，教师应当注重思维结构化。思维结构化的过程包括初步感知—深度表象—抽象模型，最终目的是使学生能借助高度抽象形式化的模型结构描述事物现象背后的一般规律。因此在教学中，教师应当注重学生思维的深度发展，发散性地思考，以此“爬”上结构化思维的“巅峰”，实现深度学习。

例如，教学人教版五年级上册“植树问题”，课上先直接出示问题：一条200 米长的绳子，每10 米剪一段，可以剪成几段绳子呢？同学们毫不犹豫地说出：可以剪成20 段绳子。那如果这是一条路，每隔10 米种一棵树，可以种几棵树呢？同学们也不假思索地喊出：20 棵树。此时，教师加以引导：还有不同的想法吗？给予学生时间冷静思考，此时出现反驳的声音：不对，好像是19 棵；有的认为应该是21 棵；也有人坚持认为是20 棵。教师再把问题抛给学生：是19 棵、20 棵还是21 棵？为什么会这样呢？请动手画一画、想一想，并在小组内说一说你们的想法。经过小组思考交流，最终同学们达成共识：第1 种，两端都栽的情况，可栽21 棵。列式是200÷10+1=21（棵）；第2 种，只栽一端的情况，可栽20 棵。列式是200÷10=20（棵）；第3 种，两端都不栽的情况，可栽19 棵。列式是200÷10-1=19（棵）。由此，不难发现同学们已经不只是在计算200÷10，同时也要考虑两端都栽、只栽一端或两端都不栽的情况，以此促进学生思维的发散。而老师追问原因，让同学们动手画一画、算一算，并在小组内说一说，是为了激发学生的深度思维，不仅要知道结果是什么，还要知道为什么会这样。在这一核心问题的驱动下，同学们形成的思维就不再是片面地模仿教师的某种方法去解决问题，而是懂得综合考虑各种情况，深度挖掘事物的本质。而教师的智慧在于接着引导学生试着找一找生活中也存在“植树问题”的生活实例！有人说在马路上设置公交站牌；也有人说沿着街道两旁安装路灯；还有人说在项链上串水晶……

在整个课堂教学中，由最初学生只有一种答案的初步感知到用整体结构的形式把植树问题的三种样态呈现出来，建立起植树问题的数学模型；接着再将这一模型思想拓展应用到解决实际生活的简单问题中，实现集中思维与发散思维的有机结合、融合发展，不断拓展思维的深度和广度，形成多维度立体式结构化的学习模型，最终养成会用数学的思维思考现实世界的习惯。

概而言之，小学数学课堂教学中长期存在的“碎片化”教学现象，不仅严重拆散了知识系统，而且也背离了学生认知规律，加重了他们的学习负担。长此以往，越来越多学生脱离好学队伍，走上厌学之路。为此，急迫需要更多教师能基于整体建构开展教学，多鼓励学生勾连起知识之间的联系，全面疏通知识脉络；多引导学生深入探索学习方法，内化为自身的认知策略；多组织学生多维思考，逐步形成数学思维模型，这样才能有助于学生逐层深入地开展深度学习活动，全面提升数学学科素养。