多角度分析圆锥曲线中线段之积相等问题

余玉蓉

圆锥曲线综合试题是高考的必考题，常常以压轴题的形式出现，以圆锥曲线为载体，渗透平面几何知识的命题方式备受青睐，频繁出现在高考试题和模考试题中，此类题型除了考查学生的运算能力外，還重点考查学生处理圆锥曲线与平面几何相结合中的思想方法，用这种方法解题，将大大减少运算的过程，还可以提高数学逻辑思维能力，本文以2022年东北三省四市高三质量监测二第21题为例进行多角度的分析与求解。

思路1 选择恰当的形式，实现线段之积转化为代数关系。

点评：从上面的求解过程来看，实现几何条件转化为代数关系，可以直接从几何图形出发，利用三角形的性质求解。

点评：三角形是基本的几何图形，研究三角形问题，可以从纯几何的角度考虑，借助三角形的面积寻找边角关系，实现几何条件转化为代数形式，从而求出点的坐标。

点评：本解法从平面几何知识出发，通过探究三角形相似，实现了几何条件向代数关系的转化，简洁明了，在解题时，要从不同角度分析，挖掘已知条件与其他知识间的联系，拓展我们的解题思路。

点评：角平分线就是一种对称关系，通过对称关系可以处理几何中线段之积相等的问题，为解决该问题拓宽了视野。

从上述的求解过程来看，线段之积的几何条件都转化为斜率之间的关系，为解决此类问题找到了突破口，求解圆锥曲线中的线段之积问题的思路与方法：①转化为角的正弦值，利用正弦定理分析；②利用三角形面积相等，转化为角的正弦值分析；③利用三角形边长的比，结合三角形相似来分析转化；④计算点到两条直线的距离，即角两边的距离，构建距离关系，利用角平分线的性质分析。