利用导数探究不等式恒成立中的参数范围

■河南省商丘市永城市小龙人高中 张振继(特级教师)

已知不等式在某个范围内恒成立,确定参数的值或取值范围是高考中的常考题型,此类问题综合性强,解法灵活,备受命题者青睐,本文给出几种探究方法,供同学们参考。

一、赋值法

例1已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1,当x∈[2,+∞)时,不等式f(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是_____。

再令h(x)=x3-3x-2,则h′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),当x∈[2,+∞)时,h′(x)>0,所以h(x)在[2,+∞)上是增函数。当x∈[2,+∞)时,h(x)≥h(2)=0,即g′(x)≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,所以g(x)在[2,+∞)上是增函数,g(x)min=

点评:利用赋值法,可以缩小参数的取值范围,回避复杂的讨论过程,使问题快速获解。

二、分离参数法

例 2【2019 年天津卷】已知函数若关于x的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,则a的取值范围是( )。

A.[0,1] B.[0,2]

C.[0,e] D.[1,e]

解析:由题意知,当x≤1时,x2-2ax+2a≥0。当x=1时显然成立;当x<1时,则

令g′(x)=0,得x=e。当1e时,g′(x)>0,此时g(x)在(e,+∞)上单调递增。

所以当x=e时,函数g(x)取得最小值g(e)=e,故a≤e。

综上所述,解得a的取值范围是[0,e],选C。

点评:利用分离变量法,若a≥f(x)恒成立,则a≥f(x)max;若a≤f(x)恒成立,则a≤f(x)min。将问题转化为求函数的最大(小)值问题。

三、数形结合法

例3已知f(x)=x+xlnx,若k∈Z,且k(x-2)2恒成立,则k的最大值为( )。

A.3 B.4 C.5 D.6

解析:由k(x-2)

易得直线y=k(x-2)恒过定点(2,0),由,得m-4-2lnm=0。

令g(m)=m-4-2lnm,则g′(m)=,所以g(m)在(2,+∞)上单调递增。

因为g(e2)=e2-8<0,g(e3)=e3-10>0,所以e2

所以整数k的最大值为4,选B。

点评:依据图形的直观性,可以借助函数的图像与性质,数形结合来解题。

四、构造函数法

1.作差构造辅助函数

例4【2006 年全国Ⅱ卷】已知函数f(x)=(x+1)ln(x+1)。若对所有x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围。

解析:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,则g′(x)=ln(x+1)+1-a。

令g′(x)=0,解得x=ea-1-1。

(i)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数。又g(0)=0,所以对∀x≥0,有g(x)≥g(0),即当a≤1时,对于所有x≥0,都有f(x)≥ax。

(ii)当a>1 时,对 于01时,不是对所有的x≥0都有f(x)≥ax成立。

综上,实数a的取值范围是(-∞,1]。

另解:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,不等式f(x)≥ax⇔g(x)≥0。而g(0)=0,则g(x)≥0等价于g(x)≥g(0)对所有x≥0恒成立,只需要g(x)在[0,+∞)上是增函数,即g′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立。

因为g′(x)=ln(x+1)+1-a≥0 在[0,+∞)上恒成立,所以g′(x)min=1-a≥0,解得a≤1。

故实数a的取值范围是(-∞,1]。

点评:通过作差构造函数,分类讨论,剔除不合题意的参数取值范围,从而求得参数的取值范围。

2.同构构造辅助函数

例5已知不等式ex+alnx≥xa+x对任意x>1恒成立,求正数a的取值范围。

解 析:ex+alnx≥xa+x⇔ex-x≥

令f(x)=ex-x(x>1),则f′(x)=ex-1>0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增。

于是ex-x≥elnxa-lnxa⇔f(x)≥f(lnxa)。

①当xa≤e时,lnxa≤1。因为x>1,所以x≥lnxa。

②当xa>e时,lnxa>1,已知x≥1,由函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,得x≥lnxa。

所以当x>1时,总有x≥lnxa。

所以g(x)min=g(e)=e。因此,0

点评:通过构造同构函数,进一步把参数分离出来,从而求得参数的取值范围。

练一练:

1.已知函数f(x)=(2x+1)ln(2x+1)。

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

(2)当x≥0 时,f(x)≥2ax恒成立,求实数a的取值范围。

2.已知不等式(x-2)ex+ax2-2x>-e-1在R 恒成立,求实数a的取值范围。

参考答案:

1.(1)y=2x。

(2)实数a的取值范围是(-∞,1]。

2.令x=1,得a>1,先猜后证,求得实数a的取值范围是(1,+∞)。