利用导数工具，求解单调区间问题

2023-10-13河南省商丘市第一高级中学张志华

中学生数理化(高中版.高二数学) 2023年3期

关键词：充分条件实数单调

■河南省商丘市第一高级中学张志华

利用导数知识求解函数单调区间问题,是考查学生知识掌握灵活程度的很好的一个题型,是高考命题的热点问题。对于这一块知识,我们主要把握以下三点。

设f(x)在区间(a,b)内可导,且它的导函数是f′(x)。

1.f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充分不必要条件。

2.f′(x)≥0(f′(x)≤0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的必要不充分条件。

3.由f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(f′(x)≤0)在该区间内恒成立,而不是f′(x)>0(f′(x)<0)在该区间内恒成立。其中“=”不能少,必要时还需对“=”进行检验,使得f′(x)在区间(a,b)上的任何子区间内都不恒等于零。

接下来,大家看几道典型例题,感悟解题中的曲曲折折,做做思维的体操,以期有所提高。

例1已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)-f(x)≤0,对任意正整数a,b,若a

A.af(b)

B.bf(a)

C.af(b)≤bf(a)

D.bf(a)≤af(b)

因为x>0,xf′(x)-f(x)≤0,所以g′(x)≤0,g(x)在(0,+∞)上为减函数或常数函数。

选C。

总结:一定注意本题中的g′(x)≤0包括两种情况:g′(x)<0,或g′(x)=0,即g(x)在(0,+∞)上为减函数或常数函数,从而能够对于函数单调性的必要不充分条件有着更深入的理解。

例2已知函数f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x,试讨论函数f(x)的单调性。

解析:由题意可得:

(1)当a≤0时,由f′(x)>0,得01。

(2)当a>0时,由f′(x)=0,得x=1或

总结:分类讨论思想是历年高考的必考内容,它不仅是高考的重点与热点,而且是高考的难点。含参数的函数的单调性问题一般需要分类讨论。常见分类讨论标准一般有以下几种:(1)未知数系数含有参数,该系数要与零比较大小;(2)方程f′(x)=0是否有根;(3)若方程f′(x)=0有根,求出根后判断它们是否在函数定义域内;(4)若根在定义域内且有两个,需要比较它们的大小。

例 3已知函数f(x)=lnx-

(1)若函数f(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围;

(2)若函数f(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围。

又因为a≠0,所以实数a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞)。

总结:根据可导函数的单调性求参数取值范围的一般思路是:

(1)若函数f(x)在区间(a,b)上单调,区间(a,b)是相应单调区间的子区间;

(2)若函数f(x)在区间(a,b)上存在单调区间,则f′(x)>0(或f′(x)<0)在区间(a,b)上有解集,从而把函数的单调性问题转化成不等式问题;

(3)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f′(x)≥0在区间(a,b)上恒成立。

例4已知函数f(x)=2x3+a(x-1)ex在区间[0,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围。

当x∈(0,1)时,g′(x)>0;

当x∈(1,3)时,g′(x)<0。

所以g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,3)上单调递减。