由递推公式构造新数列并求数列通项的基本方法

■河南省洛阳市孟津区第一高级中学 聂晓红

新教材人教A 版《数学选择性必修第二册》第41页第7题(题目1)和第11题(题目2),出现了由递推公式构造新数列并求数列通项的题型,现将求数列通项的常见基本方法总结如下,以供大家参考。

题目1.已知数列{an}的首项a1=1,且满足an+1+an=3×2n。

(1)求证:{an-2n}是等比数列。

(2)求数列{an}的前n项和Sn。

解析:(1)由an+1+an=3×2n,可得an+1-2n+1=-(an-2n)。因为a1=1,所以a1-2=-1,从而an+1-2n+1=-(an-2n)≠0。

类型一、形如an-an-1=f(n),用累加法构造常见数列

类型三、形如an=pan-1+q(p ≠0),用待定系数法构造常见数列

例3已知数列{an}满足a1=50,2an+1=an-1,且满足不等式akak+1<0的k(k为正整数)的值为____。

分析:先用待定系数法求得{an}的通项,进而解不等式akak+1<0求得k的值。

练习3:已知数列{an}满足a1=1,且an+1=2an+1,则an=_____。

答案:an=2n-1。

类型四、形如panan-1=an-an-1,取倒数后构造常见数列

例4已知数列满足an+1·an=anan+1,,则a2023=____。

分析:由递推公式可知为等差数列,根据等差数列的通项公式可求得结果。

解:因为an+1·an=an-an+1,a1=,所是以2为首项,1为公差的等差数列。

类型五、形如an=pan-1+qn(p,q≠0),除以因式qn 后构造常见数列

又21a1=3,所以数列{2nan}是以3为首项,1为公差的等差数列。

所以λ≥2,实数λ的最小值为2。

练习5:在数列{an}中,an+1=3an+(-1)n,a1=1,则an=_____。

类型六、直接构造常见数列

例6已知数列满足a1,a2分别为直线2x+y-2=0 在x轴,y轴上的截距,且,则an=_____。

分析:原式可化为an+2=2an+1+3an,可用待定系数法设an+2+xan+1=t(an+1+xan),求出x=1,t=3,借助等比数列求解。

解:由题易知a1=1,a2=2,可化为an+2=2an+1+3an。

设an+2+xan+1=t(an+1+xan),即an+2=(t-x)an+1+xtan,所以解得x=1,t=3。

故an+2+an+1=3(an+1+an),{an+1+an}是以a1+a2=3 为首项,3 为公比的等比数列,即an+1+an=3n。

练习6:已知数列{an}满足a1=1,a2=4,且an+1-3an+2an-1=1,n≥2,n∈N*,则an=_____。

答案:an=2n+1-n-2。