对一道高中数学联赛解三角形问题的探析

刘海涛

(安徽省芜湖市第一中学,安徽 芜湖 241000)

分析该题结构虽简单、明了,但内涵丰富、解法灵活,主要考查了正弦和余弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式、构造图形表示几何关系等知识,强化了学生分析问题、解决问题的能力及转化与化归、数形结合的数学思想,体现了逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养.文章从不同角度探析该题,给出了九种不同解法,现与读者分享交流.

1 解法探究

由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

及sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC,得

如图1,过点B作BD⊥AC于点D,则

图1 作高示意图

BD=AB·sinA=BC·sinC,

AC=BC·cosC+AB·cosA.

联立两式整理,得

评注注意到该题的目标为sinA,接下来考虑构造关于角A的三角恒等式,变换化简即可解题.

图2 构角相等示意图

在△BCD中,

CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠CBD,

图3 构两边相等图

在△ABD中,

AD2=AB2+BD2-2AB·AD·cos∠ABD,

即(2-BD)2= 1+BD2+BD.

解法7如图4,延长CB至点D,连接AD,使得AD=AC.

图4 构两边相等图

由∠ABD+∠ABC=π,得

cos∠ABD+cos∠ABC=0.

由余弦定理,得

代入数值计算,得

解法8如图5,延长AB至点D,连接CD,使得∠ACB=∠DCB.

图5 构两角相等图

在△ADC中,

AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cos∠ADC,

即4=4BD2+(1+BD)2+2BD(1+BD).

图6 构等腰梯形图

易知等腰梯形存在外接圆,故由托勒密定理,得

AD·BC+AB·CD=AC·BD.

2 反思总结