新高考下的构造函数解题方法

周思源 魏俊潮

(扬州大学数学科学学院,江苏 扬州 225002)

高考题中常见的运用构造函数法的题型有比较大小、实根个数、取值范围、极值最值与单调性问题.本文结合近几年的高考题和各地模拟题,对构造函数这一解题方法的五类常见题型和解题策略进行研究.

1 构造函数与大小关系

解析由题知f′(x)=ex-x+a,

设g(x)=ex-e-x-2x,x>0,

则g′(x)=ex+e-x-2≥0.

所以g(x)在(0,+∞)单调递增,则

g(x)>g(0)=0.

2 构造函数与实根个数

(1)求实数a,b的值.

(2)证明:方程f(x)=|lnx+sinx|有且只有一个实根.

解析(1)a=1,b=-1.

令函数g(x)=lnx+sinx,x∈(0,+∞),则

当x∈[π,+∞)时,lnx>1,sinx≥-1,

所以g(x)=lnx+sinx>0.

当x∈[1,π)时,lnx≥0,sinx>0,

所以g(x)=lnx+sinx>0.

则g(x)在(0,1)单调递增.

综上所述,函数g(x)在(0,+∞)有唯一的零点x0∈(0,1),且g(x)在(0,x0)上恒小于零,在(x0,+∞)上恒大于零[1].

令函数φ(x)=f(x)-|lnx+sinx|,讨论如下:

①当x∈(0,x0)时,

φ(x)=f(x)-|lnx+sinx|

则函数φ(x)在(0,x0)单调递增.

所以函数φ(x)在(0,x0)存在唯一的零点.

则方程f(x)=|lnx+sinx|在(0,x0)上有唯一的零点.

②当x∈(x0,+∞)时,

φ(x)=f(x)-|lnx+sinx|

当x∈(0,1)时,m′(x)<0,所以m(x)在(0,1)单调递减,当x∈(1,+∞)时,m′(x)>0,所以m(x)在(1,+∞)单调递增.

则m(x)≥m(1)=1-ln1-1=0.

所以x-lnx-1≥0.

则h′(x)=ex+sinx+x-1.

因为h″(x)=ex+(cosx+1)>0,

所以h′(x)在(0,+∞)单调递增,

则h′(x)>h′(0)=0.

即h(x)在(0,+∞)单调递增.

所以h(x)>h(0)=0.

>x-lnx-sinx≥x-lnx-1≥0.

即φ(x)>0.

所以方程f(x)=|lnx+sinx|在(x0,+∞)上无零点.

综上所述,方程f(x)=|lnx+sinx|有且只有一个实根.

3 构造函数与取值范围

例3 已知函数f(x)=x2-4x+alnx,a∈R,函数f(x)的导函数为f′(x).若f′(x)有两个零点x1,x2(x1

f′(x)有两个零点x1,x2(x1

由题可得,f′(x)有两个零点x1,x2(x1

因为x1

因为0h(1)=-3,故m≤-3.

4 构造函数与极值最值

例4已知a为正整数,若对任意x∈(0,+∞),不等式alnx≤x+1成立,则a的最大值为____.

解析由题意可知,alnx-x-1≤0对∀x∈(0,+∞)恒成立.

由题意可知,a为正整数,所以a>0.

令f′(x)=0,则x=a.

则f(x)在(0,a)单调递增,(a,+∞)单调递减.

所以需要满足f(x)max=f(a)=alna-a-1≤0.

令a=2,f(2)=2ln2-3≤0,符合题意;

令a=3,f(3)=3ln3-4≤0,符合题意;

令a=4,f(4)=4ln4-5>0,不符合题意.

所以amax=3.

5 构造函数与单调性

例5 设函数f(x)=ex+asinx-ax2-(1+a)x.当a≤0时,讨论f(x)的单调性.

解析由题知f′(x)=ex+acosx-2ax-(1+a)=ex-1+a(cosx-2x-1),

令g(x)=cosx-2x-1,

则g′(x)=-sinx-2<0.

所以g(x)在R上单调递减,注意到g(0)=0,

当x≥0时,g(x)≤0,此时f′(x)≥0,f(x)单调递增;当x<0时,g(x)>0,此时f′(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)在(-∞,0)单调递减,(0,+∞)单调递增[2].

构造函数是高考函数相关题型中的常用解题方法,本文列举了五种利用构造函数求解的函数题,针对比较大小、实根个数、取值范围、极值最值、单调性问题进行了一些研究,总结了一些利用构造函数解题的技巧,希望能为解决新高考函数问题提供一些帮助.