为什么曲线是双曲线

甘志国

(北京丰台二中,北京 100071)

图1图象

图2图象

由以上解答及图1,可以完整解答以上诸问(可先猜后证:先求出两个焦点坐标,再用双曲线的定义证明该曲线是双曲线).

由后文定理1及图1,还可得到下面的结论:

(2)令

①

下面给出四种证法.

②

由B>0,x>0及均值不等式,可得

③

由B>0,x<0及均值不等式,可得

④

再参见图1,可证得欲证结论成立.

证法2把②式两边两次平方,得

xy=Ax2+B(x2+y2≥4AB,B>0).

由均值不等式,可得

再参见图1,可证得欲证结论成立.

两边平方,得

两边再平方,得

⑤

在该推导过程中:第二次平方是等价变形,第一次平方还不能确定是否是等价变形.所以还需证明⑤⟹②.

再由结论④及③,可得

②的左边

再参见图1,可证得欲证结论成立.

=±2β,

而可证得

证明同定理1的证明.