基于学习路径分析的“多边形的面积”单元整体教学*——如何真正形成转化思想

□裘陆勤 章勤琼

“多边形的面积”是小学阶段“图形与几何”领域的重要内容之一，包括平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积、组合图形的面积和不规则图形的面积以及解决问题等学习内容。一般而言，“多边形的面积”单元是学生掌握了长方形和正方形的面积计算、多边形的认识、图形的平移与旋转之后学习的内容，也为后续学习立体图形侧面积、表面积和体积的计算以及圆面积计算等内容奠定基础。求多边形的面积的本质是把未知图形的面积通过割补、倍拼、分割等方法转化为已知图形的面积。实际教学中，教师不仅要注重学生对多边形的面积的推导过程，还要引导学生探究所研究的图形与转化后的图形之间的联系。

此外，在“多边形的面积”的教学中，教师还需要落实推理意识这一核心素养表现。推理意识主要是指“对逻辑推理过程及其意义的初步感悟”［1］，在“图形与几何”领域的具体表现是能够用化归的方法形成局部的演绎推理［2］。这里的化归是指将所研究的的图形转化为已经会计算面积的图形来求面积。然而，转化思想的形成并不是一蹴而就的，要真正学会转化，学生需要经历不同的层次。在“多边形的面积”的教学中，教师可以从意识、方法与策略等角度真正渗透转化思想。为此，笔者基于学习路径分析的研究框架［3］，对“多边形的面积”单元进行了整体教学的思考。

一、理解单元学习目标

（一）单元内容概述

人教版教材五年级上册“多边形的面积”单元的教学目标主要包括：（1）探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积公式；（2）会用面积公式计算平行四边形、三角形和梯形的面积，并解决生活中一些简单的实际问题；（3）认识简单的组合图形，会把组合图形分解成已学过的平面图形并计算出它的面积；（4）会用方格纸估计不规则图形的面积。

北师大版教材五年级上册将相关内容分为“多边形的面积”和“组合图形的面积”两个单元进行教学。“多边形的面积”单元的教学目标主要包括：（1）体验数方格及割补法在图形面积探究中的应用；（2）认识梯形、平行四边形与三角形的高，会用三角尺画这三种图形的高；（3）理解并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，会计算这三种图形的面积。

“组合图形的面积”单元的教学目标主要包括：（1）能正确计算简单的组合图形的面积；（2）能估计不规则图形面积的大小；（3）认识面积单位公顷和平方千米，会进行简单的面积单位换算。

对比发现，两个版本教材关于“多边形的面积”的编排和教学目标有所不同，但都提出了探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积公式，且能计算组合图形和不规则图形的面积等要求。具体而言，人教版教材在第1课时直接教学平行四边形的面积；北师大版教材在第1课时先铺垫了数方格及割补法在图形面积探究中的应用，帮助学生积累探索图形面积的活动经验。

由此得出，本单元的教学内容主要有以下三个方面：（1）探究多边形的面积公式，会用面积公式解决问题；（2）会计算组合图形的面积；（3）会估计不规则图形的面积。

（二）确定核心目标

史宁中认为，面积度量的实质就是计算该图形包含多少个面积单位。［4］“多边形的面积”单元的教学目标就是让学生运用度量单位计算图形的面积，主要分为三个阶段：第一阶段，由于“不是整格”，故引导学生运用割补法实现转化，即让学生先借助数方格的方法得到平行四边形的面积，再把平行四边形面积通过割补法转化为长方形面积；第二阶段，由于不能用割补法直接解决问题，所以需要引导学生用倍拼等方法，把三角形转化为长方形或平行四边形来求面积；第三阶段，灵活选择和运用多种方法，即让学生把梯形转化为长方形、平行四边形或三角形来求面积，把组合图形通过割补法转化为已经会计算面积的图形，根据图形的特点将不规则图形转化为规则图形等各种策略与方法，估计出不规则图形的面积。

由此可知，“多边形的面积”这一单元的核心目标是：在探索多边形面积的过程中，渗透转化思想，发展学生的推理意识与空间观念。

（三）核心目标具体化

结合以上整体分析可知，转化思想是本单元需要落实的核心目标。具体而言，体现在以下三个方面：（1）在探究平行四边形面积的过程中形成转化意识。学生首先要以图形内在联系为线索，思考学过面积计算的目标图形有哪些，如学习平行四边形面积之前，学生只学习了长方形和正方形的面积计算，因此学生要想办法把平行四边形转化为长方形或正方形；再探究怎样把现有图形转变为学过的目标图形；最后验证现有图形是否真的变成了学过的目标图形，它们哪里变了，哪里没有变。（2）在探究三角形面积的过程中掌握转化方法。教师要引导学生关注图形之间的转化方法，如割补法、倍拼法、分割法，掌握其作用及适用范围。（3）在探究梯形和组合图形面积的过程中学会选择合适的转化策略。此时，学生已经具备了转化意识，掌握了转化方法，能用较多的方法计算梯形和组合图形的面积，教师要引导学生对比计算面积的不同方法，思考转化过程中各种方法的相同点和不同点，积累图形面积计算的活动经验。

二、确定学习起点

本单元的核心目标是渗透转化思想，具体需要从转化意识、转化方法与转化策略三个方面进行考查。因此，学生已经具备怎样的转化水平是本单元教学的重要依据。为了解学生的转化水平，笔者从学生是否具有转化意识和所使用的转化方法两个方面入手，对五年级两个教学班的56 名学生进行了前测。而转化策略作为本单元学习需要达成的最高转化水平，在前测中没有涉及。

（一）前测题设计

为了解学生的真实学习情况，笔者设计了3道前测题。第1 题指向学生是否有意识地把平行四边形转化为已经学过的图形，第2题指向学生能否检验转化前后图形的面积是否保持不变，第3题指向学生在探索三角形面积时是否有不同的转化方法。具体前测题如下。

1.这个图形的面积是多少？（每个方格的边长是1厘米）

2.这个图形的面积是多少？（每个方格的边长是1厘米）

小明是这样做的：7×4=28（cm2）。

（1）你觉得小明是怎么想的？

（2）你同意小明的做法吗？为什么？

3.这个图形的面积是多少？用尽可能多的方法计算该图形的面积。（每个方格的边长是1厘米）

（二）前测结果分析

从转化意识和转化方法两个方面对前测结果进行分析，其中转化意识又分为能将现有图形转化为目标图形和能有意识地对现有图形和目标图形进行比较两个不同的水平，可将前测结果划分为四个水平层次：水平0，不会转化；水平1，能把现有图形变成目标图形，即能就第1 题给出合理解答；水平2，能对现有图形和目标图形进行比较，检验面积是否不变，即能就第2 题给出合理解答；水平3，能用多样化的方法解决多边形面积问题，即能用2种及以上的方法解答第3 题。具体的水平划分如表1所示。

表1 学生转化意识和转化方法的水平情况

三、单元整体设计的思考

按照人教版教材的编排方式，“多边形的面积”单元的学习分为三个阶段：第一阶段是学习平行四边形、三角形和梯形的面积，第二阶段是学习组合图形的面积，第三阶段是估测不规则图形的面积。教学时，教师不仅要让学生掌握不同多边形的面积计算公式，还要让他们形成转化思想。为此，教师要更加关注学生转化思想的形成过程，让他们通过学习不同图形的面积，经历以下三个层次：首先是形成转化意识，即学生要关联目标图形和现有图形，尝试把现有图形转化为目标图形，这是转化的开始；其次是学习转化方法，即学生在把现有图形转化为目标图形的过程中总结出转化方法，丰富转化经验，这是转化思想的核心；最后是形成转化策略，即学生在掌握了多种转化方法后，再遇到新图形的面积计算，要学会选择合适的转化策略，建立不同转化方法之间的联系，这是转化的优化。学生只有完整地经历转化的三个层次，才能学会利用转化思想解决生活中更多复杂图形的面积计算。

基于以上思考，笔者对“多边形的面积”单元的教学进行了如下重构（如表2），以凸显渗透转化思想的不同层次。

表2 “多边形的面积”单元教学内容优化前后的对比

调整后的单元教学课时与教材编排的总课时保持一致，具体是将原来的3 节练习课整合为1 节面积练习课，并增加了“图形的转化”和“综合实践：测算我家的面积”两个教学内容。其中，第1 课时不开展面积探究活动，而是先让学生经历多边形之间的转化活动，为探究面积公式做好铺垫；第2～6课时让学生探究多边形和组合图形的面积计算，帮助学生形成转化的意识、方法和策略；最后让学生在综合实践活动中，运用多边形面积公式解决生活中的实际问题。本单元具体教学内容的安排如表3所示。

表3 “多边形的面积”单元优化后的教学内容、核心目标和核心任务