基于数学史料，创设主题活动，助力量感发展——以“权衡与质量”为例

□毕宏辉

“量感”是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《课程标准》）在小学阶段新增的一个核心素养的主要表现。自《课程标准》颁布以来，各级专家和教师纷纷对其进行解读。笔者也尝试从数学史的角度去了解质量度量的昨天和今天，帮助学生从历史的角度理解质量单位的本质和统一度量标准的意义。

一、基于量感的本质，发现质量发展的不足之处

《课程标准》采用“种差加属概念”的方式定义“量感”，即“量感主要是指对事物的可测量属性以及大小关系的直观感知”。其中“对事物的可测量属性及大小关系”是“种差”，“直观感知”是“属概念”。对于一线教师而言，“量”的含义比较容易理解，主要体现为借助数和度量单位对客观事物的多少、大小、长短、轻重、快慢等进行的数学刻画，但在教学中“何为直观感知”“如何直观感知”“何为直观感知了”却难以把握。为了使教师能很好地把握并具体落实这些问题，《课程标准》从“量感”的三方面具体表现提出了要求：“知道度量的意义，能够理解统一度量单位的必要性；会针对真实情境选择合适的度量单位进行度量，会在同一度量方法下进行不同单位的换算；初步感知度量工具和方法引起的误差，能合理得到或估计度量的结果。”

度量教学要促进学生建立对“度量单位”的感知。为此，教师可以设计多维的体验活动，调动学生的多种感官，使学生感悟统一度量单位的必要性。“轻重”一般是人们利用多种感官对物体轻重形成的认知，是一种对质量的直觉和敏感性。在教学“克和千克”时，通常这样设计教学过程：教师提供1 克或1 千克的物品，组织学生开展一系列的体验活动，左手掂一掂，右手掂一掂，坐着掂一掂，站着掂一掂，然后闭上眼睛掂一掂，体会1克或1千克有多重。当学生建立了1 克或1 千克的质量感知后，教师再创设新的情境，提供不同的素材，让学生在活动过程中建立几克、几十克、几百克的质量感知。最后，让学生以熟悉的参照物为标准，去估计身边其他物体的质量。显然，这一设计试图在“能合理得到或估计度量的结果”上有所突破。

然而，质量单位的感知并不像长度或面积单位那么容易建立，几个质量单位的估测也不像长度或面积那样可以通过“数”测量单位的个数而直观获得。事实上，建立1克或几克甚至几十克的感知并不容易。由此可见，建立对质量单位的感知时，应该适当弱化“估计度量的结果”。

分析现行的多个版本教材可以发现，它们在长度单位和面积单位的教学之前，都编排了引导学生体验“度量的意义”和“统一度量单位必要性”的活动，而在教学质量单位“克和千克”时，教材却没有类似的编排，只是出示生活中购物的场景，接着便直奔主题“表示物品有多重，可以用质量单位克或千克”。显然，是教材的缺位导致了教学的缺失。基于“质量量感”建立的特殊性，引导学生建立概念时缺少指向第一个具体表现的教学，对学生质量的发展无疑是先天不足。

二、厘清历史脉络，启发量感教学新思考

让学生了解数学史上发生过的典型事件和出现过的典型人物，从历史的角度理解质量单位的本质和统一度量标准的意义，对深化学生的数学思维，促进其核心素养的发展都有重要意义。［1］

人类对数和量的认识，可以追溯到原始社会。人类从制造最简单的工具开始，就产生了量的概念，同时也产生了测量活动。《汉书·律历志》说：“衡权者：衡，平也；权，重也。”“权衡”是中国古代计量质量的器具的称谓，今天的砝码和秤砣，古代称作“权”；天平和秤杆，古代称作“衡”。

在理解“统一度量单位的意义”时，学生需要了解几个重要的历史事实。一是古代劳动人民因为生产或生活的需要，产生了度量的需求；二是春秋战国时期，各诸侯国为了多收赋税，积极发展自己的势力，都建立了自己的度量衡制度和测量工具；三是秦始皇统一中国后，颁发统一度量衡的命令，确立了统一的度量衡标准，制造和颁发了度量衡标准器，秦朝在辽阔的疆域内实现了度量衡的统一。

基于上述分析，笔者思考可以在“克和千克”单元的学习之前，开设一节“权衡与质量”的单元起始课，落实“量感”中的“知道度量的意义，能够理解统一度量单位的必要性”这一具体内容。

三、创设主题活动，借助历史助力量感发展

（一）史料阅读，还原“质量相等的物物交换”，理解“度量的意义”

教学伊始，教师通过创设“穿越到远古社会，交换物品”的问题情境，引发学生多元的思考，进而引出本课内容：质量相等的交换。接着，引导学生解读甲骨文和古代测量工具，让学生联系玩跷跷板的经历，理解度量质量的意义。

1.教师出示古代物物交换的图片，并提问：他们在干什么？如果你现在穿越到原始社会，会用什么去交换原始人怀里的小羊？为什么。

2.阅读史料，理解古人测量质量相等的方法和工具。

教师用课件出示图1，引发学生思考：你觉得这个甲骨文表示什么意思？木衡又是用来干什么的？从图片中，你能推测古人判断两种物品质量相等的方法吗？

图1

师生共同演示“木衡”的使用方法。

（二）动手实验，理解统一质量单位“权”的必要性

教师通过设计“用几个物品交换神秘礼物”的实验活动，引导学生用已知物的“数量”来刻画物品未知的质量，理解度量的本质，实现从定性刻画到定量刻画的飞跃。首先，选择花生、小球、立方体等常见物品作为实验物品，既体现了人类最初选择日常物品作为度量工具的事实，又寓意着不同诸侯国有各自度量衡制度的事实。其次，通过用常见物品测量神秘物品得到不同的数据，感受要选用同样轻重的物体来作为测量的单位，理解满足作为“权”的条件。最后，通过比较用花生、小球、立方体等不同物品测量得到的数据，引发神秘礼物轻重判断的失误，模拟历史上不同诸侯国的度量衡不同带来的不便，感受“测量单位统一”的意义。

1.明确实验任务：用几个物品交换神秘礼物？

实验物品设置：将班级学生分成6 个小组，给每组提供一个简易天平、一个用不同颜色袋子装的神秘礼物和一些用来交换的物品（其中3 组是花生，2组是小球，1组是立方体）。

2.学生第一次动手实验并反馈。

师：第一组同学，你们用几颗花生交换神秘礼物？为什么？

生：18颗花生。因为天平一边放18颗花生，另一边放神秘礼物，天平刚好平衡。

师：如果规定1颗花生记作1个测量单位，那你们组的神秘礼物是几个测量单位？

生：18个测量单位。

6 个小组依次反馈，并完成测量数据整理，如表1所示。

表1

3.理解满足“权”的条件，经历统一“权”的过程。

师：观察表1 中的测量结果，你对各个小组神秘礼物的轻重有怎样的判断？为什么？

（因为学生已经有了用“数”刻画质量的经验，所以他们根据根据测量结果，作出三种判断：①第五组和第六组的神秘礼物一样重，因为他们的神秘礼物都和12 个小球一样重；②前三组的神秘礼物中，第三组的最重，第一组次之，第二组最轻，因为21 颗花生＞18 颗花生＞16 颗花生；③所用的交换物品不同的组不能进行比较，如第四组和第五组。）

师：为什么在比较第四组和第五组的神秘礼物的轻重时，大家有不同的意见呢？

生：因为第四组用来交换的物品是11 个立方体，而第五组是12个小球，我们不知道立方体和小球谁轻谁重，所以不好判断。

师：只有用“统一的测量单位”去测量，才可以通过比较测量数据的大小，判断出神秘礼物的轻重。刚才用小球或花生来测量而作出的判断是否正确呢？我们可以用天平称一称神秘礼物进行验证。

（学生将各个小组的神秘礼物放到天平上称重，发现第五组和第六组的神秘礼物一样重，与他们的判断相同；第三组和第二组的神秘礼物也一样重，与他们的判断不同。这个测量结果给学生带来了很大的冲击。）

师：为什么用小球测量神秘礼物的轻重作出的判断是正确的，而用花生测量神秘礼物的轻重作出的判断却出现了错误？

（通过讨论，学生发现每个小球的轻重是一样的，而每颗花生的轻重却不一样，从而得出：只有轻重一样的物品才可以作为测量的单位。）

（三）再次实验，理解创造多种“权”的必要性

进行第二次实验时，教师要求学生用统一的测量单位小球来测量不同的物品，让学生先感受有了统一的测量单位，就可以定量地刻画并比较物体的质量，理解“度量标准统一”的意义；再发现用一个测量单位无法测量所有物体的质量，因而需要创造更多的“测量单位”，进一步理解“度量标准”的本质。

1.第二次实验：测量下面物品有多重？

教师出示图2中的物品，提问：要测量这3种物品分别有多重，你会选择什么来测量？为什么？

图2

教师让学生统一用小球测量，并提问：测量过程中，如果遇到困难，你会怎么解决？

2.学生动手实验。

3.全班交流反馈。

（1）测量得到回形针重16个小球，说明回形针比神秘礼物重4个小球。

（2）讨论：为什么矿泉水不能用小球来测量？

师：为什么用小球测不出矿泉水的质量呢？

生：因为矿泉水太重了。我们把所有的小球都放到了天平上，矿泉水还是一动不动。

师：那怎么解决这个问题呢？

生：再多给我们一些小球，就可以测出矿泉水有多重了。

师：给你足够多的小球，相信你一定可以完成这个任务。想一想还有其他的办法吗？

生：还可以换比小球重一点的东西来测量。

师：你的办法真好，因为现在的测量单位小球太轻了，测量矿泉水的质量不方便，所以可以用“重一些的球”作为新的测量单位来测量重一点的物品。

（3）思考：为什么塑料块也不能用小球来测量？

讨论得出：塑料块很轻，现在的测量单位小球太重了，需要用“轻一些的球”作为新的测量单位来测量轻一点的物品。

（四）对话历史，选择“典型事件”了解统一标准质量单位的过程

教学中，教师要引导学生思考：古代测量工具木衡为什么要搭配6 个铜环权？［2］秦始皇为什么要统一度量衡？感受古代劳动人民的智慧。接着，教师充分运用历史相似性原理，用数学问题与某一个或某一些历史问题的相关性，帮助学生理解现行的标准质量单位统一的必要性，促进学生的积极思考。

1.教师用课件出示图3，并提问：你能理解古代楚国的测量工具“木衡”中为什么配有6 个“铜环权”吗？

图3

2.春秋战国时期，各个诸侯国的测量单位都是不同的……秦始皇统一中国以后，你觉得他看着这些测量单位会做一件什么事？为什么？

3.秦始皇统一中国后采用的5 个测量质量的单位分别是铢、两、斤、钧、石［3］，你觉得为什么要有5个测量单位？哪些质量单位现在仍在使用？

4.世界各国的测量单位也不相同，比如英美国家是磅、盎司，俄罗斯是普特……对此，你有什么建议？

引导学生理解不同国家采用不同的测量单位不方便交流，所以需要全世界统一测量单位。

5.18世纪末，法国计量协会统一了国际交流的质量单位“千克”。他们规定：4摄氏度时，边长1分米的正方体容器装水的质量为1千克［4］。

出示装满水的1 立方分米容器，请学生掂一掂，感受1千克水的质量。

6.现在全世界统一使用的常用质量单位有哪些？（克、千克、吨）1 克有多重？1 千克有多重？我们将在下节课去感受。

上述设计弥补了教材缺位的对“度量质量的意义”和“统一质量单位必要性”的讨论，使质量“量感”的建立有了“知识源流”。整个设计将“动手测量物体质量”这条数学思维的明线和“中国古代为什么创造度量衡、统一度量衡”这条文化的暗线有机融合在一起，每一个活动背后都有中华优秀传统数学文化的支持，中国古代发生的历史事件又在每个活动中呈现，从而实现“数学思维与数学文化的融通”。