好奇心和想象力需要数学活动滋养*——以“不规则图形的面积”教学为例

□仲崇恒

好奇心和想象力是人类社会不断创新和持续前进的基本动力，培养好奇心和想象力是新时代对学生核心素养提出的新要求［1］。心理学研究表明，儿童期是好奇心和想象力培养的黄金时期。然而，在当今学校教育中,学生的好奇心和想象力都在严重流失，这一现象令人担忧。

一、课前思考

在某校一次学业质量现场考查中，教师拿一片树叶问学生：“请你估计一下这片树叶的面积是多少？”学生的第一反应却是“我们没有方格纸”。产生这种情况的原因，与当前的主要教学方式息息相关。当前教学中，数方格法是估计不规则图形面积的主要方法。在现行人教版教材、苏教版教材中，“不规则图形的面积”都安排在五年级上册“多边形的面积”单元，作为最后一个例题进行教学（如图1、图2），教学的基本思路是估计。教学时，教师会为学生提供学具方格纸，让学生使用方格纸进行估算，具体可分为两种方法：一是按满格和不满一格（按半格算）分类计算，二是将不规则图形看作近似的平行四边形或长方形等图形来估算。教师及学生对方格纸的依赖显而易见。

图1

图2

教师的教学若想摆脱对方格纸的依赖，开阔学生的数学思维，培育学生的好奇心和想象力，就要努力引导学生探寻其他估计不规则图形面积的方法、工具。为此，笔者面向六年级学生开展了一次项目式学习活动，以数学探究实验为主要学习手段，引导学生在对方法、工具的关联性思考中，深刻体验数学知识间的联系、不同学科的整合以及数学与科技、生活的密切关系。具体教学目标如下。

（1）在真实情境中，引导学生主动参与数学探究活动，进一步理解和掌握不规则图形面积的估计方法，感悟多种方法之间的转化和联系，体会“单位面积”作为测量标准的重要性。

（2）通过数学问题的提出和解决，促进学生实现数学思维和阅读、实验等学习方式的有效融合，发展学生的好奇心和想象力，提高学生的应用意识和创新意识。

二、教学实践

（一）创设真情境，叩问学习活动价值

情境认知理论认为，学生在一个完整真实的问题情境中能够产生学习的需要。因此，教师改变直接教授知识的课堂结构，通过提问激发学生的好奇心，进而确定教学主题。

教学时，教师开门见山地提出问题：“现实世界中有不规则的图形吗？”学生举例说明后，教师追问：“我们需要知道这些不规则图形的面积吗？”

接着，教师用课件出示中国最大淡水湖鄱阳湖2022 年7 月20 日和8 月19 日两日的卫星图，基于生活场景引导学生认识测量不规则图形面积的必要性。之后，教师再次追问：湖泊、森林、拍卖的土地等不规则图形都很大，它们的面积是如何得来的？

设计意图：本环节注重真实情境的创设，通过提问层层推进，激发学生的好奇心和求知欲，引导学生体会测量不规则图形面积的现实意义。

（二）提出新问题，梳理已有解决方法

想象不是凭空发生的，它必须依凭于人的记忆表象和知识结构［2］。因此，在解决问题的过程中，感性、直觉、经验都是必要的基础。

教学时，教师让学生动手做（撕或剪）一个不规则图形，并提问：这个不规则图形的面积是多少？测量它的面积需要用到什么工具？学生通过分组讨论，交流估计不规则图形面积的方法和所需的工具。小组交流后，教师追问：“如果没有方格纸、格点纸，甚至没有直尺，怎么办？有没有其他的工具能帮助我们测量它的面积？”引导学生回溯解决问题的源头：人身体的各个部位是天然的“尺子”，还可以通过用眼睛看或用手指量来测量。

如表1所示，测量不规则图形的面积主要有以下5种方法。在教师的引导下，学生各选一种方法进行估测，然后比较估计结果，了解方格纸在精确测量面积中的作用。

表1

设计意图：本环节教师组织学生讨论测量不规则图形面积的方法和工具有哪些。通过问题“如果没有方格纸、格点纸，甚至没有直尺，怎么办？”，启发学生运用多种方法和工具进行测量，在比较中了解方格纸在精确测量面积中的作用。

（三）巧称厚纸板，思辨面积和质量的关系

在课堂教学中，教师既要关注学生已有的知识经验，也要关注学生未知的发展，激发他们的好奇心，启迪他们的智慧。

教师提问：“如果没有方格纸怎么办呢？有人说电子秤也可以用来称面积，你们觉得可能吗？”问题一出，学生的好奇心被充分调动起来。学生自然知道电子秤称出的是质量而不是面积，但老师也不会无的放矢。

师：大家称一称各自不规则图形的纸板有多重。

（学生称重后，教师选择两块纸板提问）

师：这两块纸板，一块是12.5 克，一块是18.7克，你想到了什么？

生：18.7克的纸板比12.5克的纸板面积大。

生：还需要看纸板是不是同一个品种，不同纸板的密度不一样。

师：这名同学说到了一个新词——密度，这是物理学上的一个重要概念。还有谁也理解他的意思？

生：他的意思是说，同一种纸板密度相同，纸板的质量和体积有关系。而当纸板厚度一样时，体积和底面积有关。

师：这个底面积就是我们要研究的不规则图形的面积。简单来说，两块纸板的材质和厚度相同，质量大的面积就大。

生：同一种纸板，质量和体积成正比例。现在高度一定，所以体积和底面积成正比例。

师：简单来说，两块纸板的材质和厚度相同，质量大的面积就大。那么，如果想知道这块纸板的面积到底是多少，用多少克来说行吗？

生：不行。但我们可以先称一下面积为1平方厘米的纸板的质量是多少克，再把质量转换成面积。

师：你们能听明白他说的意思吗？大家试试看。如果有更好的方法也可以试试。

（学生以四人小组为单位进行探究，并汇报）

生：1 平方厘米的纸板太小、太轻，电子秤显示不出质量。我们又剪了一个边长为5 厘米的正方形纸板，称出来是1.1克。

（教师出示题目，学生集体口答解题思路。）

?

师：大家把称1 平方厘米的正方形纸板，改为称25 平方厘米的正方形纸板，是为什么呢？一定要是正方形吗？一定要比原来的不规则图形小吗？

师（总结）：称一称就是在质量和面积之间建立联系，也是一种转化，是把一个面积问题转化为质量问题。无独有偶，有一个木匠也是用这样的方法称出了地图的面积。大家可以读一读数学故事《巧木匠称地图》。

设计意图：培养想象力需要把一些猜想和经验联系在一起。电子秤这一工具的出场，立刻让不规则图形的面积计算充满了惊喜和思辨。整个探索过程，从同材质纸板质量与面积的关系切入，然后把称1 平方厘米纸板的质量转变为称25 平方厘米纸板的质量，最后再转化为某个具体面积的测量，思维过程层层递进。

（四）绿豆总动员，破解整体与局部的密码

奥苏贝尔认为，学习者把潜在的有意义的学习材料同他们认知结构中的原有观念建立非人为的和实质性的联系，就意味着他们能有效地把自己原有的知识作为理解、接受和固定新知识的一种观念上的有组织的基础。［3］借助这一基础，学习材料和认知结构有了新联系，解决问题的工具和方法也有了新结合。因此，学生在“称面积”学习中所获得的新知能激励他们去发现并接受新挑战。

师：刚才我们用秤称出了面积的大小。大家大胆地想一下，还有什么不同的办法吗？有人认为绿豆也可以作为测量面积的工具，你觉得可行吗？

生：可以用绿豆铺满图形，先数出绿豆的数量，再乘一粒绿豆所占的面积。

生：但是不能把绿豆堆在一起，要均匀地铺满一层。

（教师出示铺满一层绿豆的图片）

师：怎么做才能得出面积呢？

生：可以将绿豆的图形变为长方形。

师：用绿豆密铺的方法求面积要分几个步骤？

生：铺绿豆求面积可分为三步：一是将不规则图形铺满一层绿豆；二是移动绿豆，使之变为长方形；三是测量长方形的长和宽，算出面积。

师：如果绿豆不够多，怎么办？

生：可以一块一块铺，分别进行测量。

生：这样太麻烦，误差会变大。

师：有人就用绿豆在纸上随手一抛，如图3 所示，这对你有什么启示吗？

图3

师：大家闭上眼，想象自己在做抛绿豆测面积的实验。先把手中的不规则图形描画在一张白纸上，再拿出一把绿豆，随机地将这些绿豆抛在白纸上，然后一粒一粒地数绿豆。好了，睁开眼，欢迎回到课堂！请看数绿豆的结果：白纸上一共有100粒绿豆，其中有35粒在不规则图形内。

师：有了这些实验数据，怎么求出不规则图形的面积？

生：先量出长方形纸的长与宽，计算出面积，再……

（教师出示题目）

?

师：根据表格中的已知条件，你能知道不规则图形的面积吗？

生：在抛绿豆测面积实验中，图形面积和绿豆数量成正比例，我们可以据此计算出不规则图形的面积。

师：那抛绿豆测面积实验是只做一次就够了吗？

生：最好多做几次，做的次数越多，算出来的面积就越接近真实值。

（教师用模拟实验软件进行演示，其中抛掷1000000次的结果如图4所示）

图4

师：通过刚才的数学模拟实验，你有什么体会和感受？

师：这些求不规则图形面积的方法有什么共同点？（转化、单位面积等）如果不规则图形很大，怎么求面积？这个问题留给大家课后继续思考。

设计意图：基于“称面积”的学习经验，学生的好奇心和想象力被充分激发。在“用绿豆密铺的方法求面积”活动中，教师让学生动手操作，探索数学实验步骤，用想象实验（思想实验）重复测量同一对象获得数据，从而渗透数据意识。

三、教后反思

“会用数学的思维思考现实世界”是数学课程要培养的核心素养的重要方面，它使得数学课堂追求思维的含量，注重彰显数学学科的独特魅力。“不规则图形的面积”项目式学习活动很好地践行了这一核心素养，它主要具有如下特征。

（一）素养导向

教师明确以学生为主体的教学目标，以核心素养为导向，建构能够促进学生思维发展和问题解决的学习任务。教学从真实问题情境出发，从生活场域到平面图形，从思维方法到活动工具，引导学生逐步深入研究不规则图形的面积。课堂教学顺应学生的心理活动，推行积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等多种学习方式，以便更好地发挥数学的育人价值，使学生通过数学学习获得更好的发展。

（二）实验导向

好奇、好问、想象、探究、发现、创造等环节都是密切相关的。好奇心能丰富做一件事的感受。学生在估一估、比一比、数一数、量一量、称一称、铺一铺、掷一掷等“做中学”活动中充分思辨，充分想象，举一反三，破而后立。数学实验活动中，教师组织有方，详略得当，充分利用数学方法的不同表现形式，灵活运用合适的工具，充分满足了学生的好奇心，激发了学生的想象力，培养了学生求真务实的学习态度，提高了他们解决实际问题的能力。

（三）问题导向

开放性的问题无疑是思维的激发点。“没有方格纸怎么办？”这一问题给学生带来了困惑，也激发了学生主动探索的欲望。“这些求不规则图形面积的方法有什么共同点？”这一问题则启发学生建立不同方法间的内在联系，也帮助他们理解了知识的结构化。有效的数学课堂教学就是要让学生没有问题进来，却带着满脑子的问题离去。“如果不规则图形很大，怎么求面积？”这一首尾呼应的问题在课堂上其实并没有解决，却又似乎已经解决，因为撒下一颗好奇的种子，可以获得丰硕的思维成果。

“不规则图形的面积”项目式学习活动，将不同方法、不同观点、不同经验联系起来，打破常见的知识边界，探索结构化整合，拓展课程内容，适应学生未来的需求。整个教学过程注重数学知识的发展性，强调数学方法的层次性，聚焦思维工具的多样性，有利于培育学生的好奇心和想象力，发展学生的实践能力和创新精神。