数学与艺术结合 发展学生想象力——“表内乘法口诀”教学实践

□鲍雯华

九九乘法口诀表是中国发明的。很多国家只有乘法表，而没有乘法口诀表。乘法口诀是乘法意义与乘法运算的综合体，具有丰富的乘法内涵与广泛的应用价值，其特点是简结构、大容量，读起来朗朗上口，方便背诵记忆。除此之外，学习乘法口诀还有利于学生核心素养的发展。那么，以素养立意，乘法口诀可以如何教学呢？

一、课前思考

笔者查阅了人教版教材、北师大版教材、苏教版教材中关于乘法口诀的表征方式，发现大致可以分为以下4 类：果盘等常见的物品群、游乐场等地方的人群、几何图群（包括点子图、小棒图、平面图形、立体图形等）以及求商品总价、桌椅总数等。统计结果如表1所示。

表1

（一）学生发挥余地少

从表1中的数据可以看出，三个版本教材中的表征方式都大同小异，都以贴近学生生活的常见“物品群”为主，体现从具象到抽象的过程，对学生基础知识和基本技能的掌握具有促进作用。但这样的表征素材可供学生发挥的余地少，不利于学生思维的发散和想象力的发展。

（二）开放式学材的启发

人教版教材中出现了七巧板，北师大版教材中出现了一般拼图和变式拼图，尤其还出现了在方格纸中涂色的表征方式（如图1）。教材中提供的丰富多样的素材是学生想象力自由放飞的基础［1］，这些表征方式给了笔者一些启发：教师的教学能否更加开放？课堂中，能否为学生提供学具，让学生自由想象创造，从而促进学生学习过程中多元表征的运用呢？

图1

（三）内容结构化的启发

北师大版教材在教学乘法口诀时注重乘法分配律的渗透，其编排的几何图群（点子图）的表征方式（如图2）再次启发笔者：是否可以重复利用前述的表征素材，实现素材的结构化，进而借助几何直观初步渗透乘法分配律，进行结构化教学？

图2

基于前述分析，在“表内乘法口诀”内容的教学后开发了一节拓展课，内容是“乘法口诀的式与形”。教学时，教师为学生提供正方形和等边三角形的磁力片学具，让学生自由操作，多元表征乘法口诀，从而达成以下教学目标。

（1）加深对乘法口诀意义的理解，体会几何直观。

（2）初步认识乘法分配律，发展模型意识。

（3）经历两次口诀拼图活动，发展想象力，提升创新意识和审美能力。

二、教学实践

（一）口诀拼图，创意想象

想象是创造的基础，培养学生的想象力是提高学生创新能力的“助推剂”。［2］教学中，教师要给学生提供创造的机会，鼓励学生开阔思路，不能因为学生的回答和“标准答案”不一致就扼杀学生的想法。此外，想象也是情感的触发器和放大器，学生只有带着情感投入学习，才能借助想象的翅膀在知识的世界翱翔。

教学中，教师引导学生思考：看到12你想到了哪句口诀？这句口诀表示什么意思？你能不能用学具拼一拼，表示出它的意思？

1.呈现问题

教师呈现问题：怎样拼可以表示结果是12 的口诀？

（1）选：同桌二人为一组，先选择一句口诀。

（2）想：这句口诀表示什么意思？

（3）拼：借助学具拼一拼。

2.呈现作品

教师呈现学生作品，如图3所示。

图3

设计意图：本环节立足想象与操作，为学生提供开放性的材料，让每一组学生利用不同的磁力片学具（颜色相同、形状不同；形状相同、颜色不同；形状颜色都不同）进行拼图。在学生基于“三四十二”和“二六十二”两句口诀的数学结构进行多元表征后，启发学生忽略磁力片学具的形状、颜色，抓住数量的本质属性进行创造，让他们先在脑海中想象图形，然后把想象的图形拼出来，从而唤醒学生的好奇心与想象力，激发学生审美与创造的需要。

（二）对照口诀，验证想象

培养想象力的教学倡导自由想象与创造，具有超强的生成性和构造性。同时，想象也离不开批判性思考，它与事实相对照，并互相促进。教学中，教师要给学生充分感悟的时间以及审辨的机会，以培养学生的想象力、欣赏力和洞察力。

基于学生的展示作品，教师引导学生欣赏和思考：你觉得哪些图漂亮？哪些图符合口诀表示的要求？学生更喜欢“鱼”“火箭”“房子”“城堡”等图案，同时发现图3 中的图④和图⑤不符合要求。尽管这两张图都有口诀中的2 和6，但是口诀二六十二表示的是2个6或6个2相加，而不是2和6相加。

师：哪些图符合口诀表示的要求？

生：图④和图⑤的总块数是8，不是12，不符合要求。

生:图④和图⑤中不是有2 和6 吗？所以可以表示。

生：我反对刚才那个同学的说法，这里只有1个2和1个6，并不能表示2个6或6个2相加。

小结：图①②⑥可以看成6 个2 或2 个6 相加，因此都可以表示口诀二六十二。

设计意图：同中求异，让学生对同一句口诀进行不同的表征。多元表征是学生思维的外显，每一幅作品都反映了学生内心新颖的想法，及其丰富想象背后的创新。理性精神的背后是质疑和求真。针对问题“哪些图符合口诀表示的要求？”，学生通过辨析图④和图⑤不断表达自己的想法，并在批判性思考的过程中进一步明晰“二六十二”这句口诀表示2 个6 或6 个2 相加。异中求同，让学生紧扣“三四十二”和“二六十二”两句口诀表示几个几相加的本质，对多样化的作品进行分类。整个学习过程不但使学生的想象力和动手能力得到充分的发展，而且培养了学生初步的审美眼光，使学生感受到数学美，从而创造美。［3］

（三）拆分口诀，拓展想象

在用一句乘法口诀拼图的基础上，一图多用，开展“把一个数拆成两句口诀进行拼图”的活动，引导学生深入观察与思考。教学时，教师要抓住问题的本质，关注知识之间的联系，从而促进学生对知识的迁移、应用和想象。

1.看图找关系

聚焦图3 中的图③，引导学生思考：图③既可以看成“三四十二”，还可以看成由两句口诀组合而成。学生通过观察与交流，发现三角形表示“一三得三”，正方形表示“三三得九”，合起来就表示“三四十二”（如图4）。

图4

2.再玩拼图

教师组织学生进行拼图再创作。

新玩法：把一个数拆成两句口诀进行拼图。

（1）想：16是由哪两句口诀组成的？

（2）拼：两人一组，借助学具拼一拼。

3.呈现作品

学生拼摆后，互相欣赏与交流，如图5所示。

图5

设计意图：在用一句乘法口诀拼图的活动中，学生已经充分体会了图案设计与乘法的意义之间的联系。在此基础上，教师再次利用拼图素材，让学生先将图分成两部分，观察其中各有几个几，然后想口诀、摆图形、写算式，再次引发想象。在这一过程中，学生初步感知了乘法分配律，为以后的学习提供意义建构基础。

（四）建构模型，主动想象

抽象思维的实质是一种想象，只不过它采用的表现形式不是表象，而是抽象符号。符号能力的形成为人的想象提供了无穷无尽的思想空间。［4］14

1.看图想式

教师引导学生观察图5，并提问：这些作品分别把16拆成了哪两句乘法口诀来拼图？然后基于学生的反馈，共同梳理不同的乘法算式，如图6所示。

图6

2.抽象概括

教师进一步引导学生观察与思考：图6 中，为什么算式中的两句口诀都能合成一句口诀？它们有什么相同之处？

师：图6中的这些算式有什么相同点？

生：每个算式的左边都是几乘几加几乘几，右边都是几乘几。

生：这些乘法算式中都有一个相同的乘数。

师：从哪里看出来？

生：第一个算式中都有2，第二个算式……

生：我还发现，第一个算式中，1个2加7个2等于8个2，1加7等于8。

教师根据学生的反馈，圈出相应的数字并连线，帮助学生梳理关系。

3.反例强化

教师提问：是不是所有图中的两句口诀都能合成一句口诀？顺势出示图7。

图7

学生交流、总结：图①的算式是1×7+3×3，图②的算式是1×8+2×4，算式中没有相同的乘数，所以无法合成一句口诀。

设计意图：本环节引导学生寻找两句乘法口诀能合成一句的乘法算式的共同点。学生通过不完全归纳法发现，这些算式都遵循两个乘法算式加起来等于另一个乘法算式的规律，从而从形式上初步感知了乘法分配律的结构。通过观察，学生又发现这些算式中都有一个相同的乘数，正因为有这个共同的乘数，两个算式才可以合并。在此基础上引入反例，引导学生质疑：是不是所有图中的两句口诀都能合成一句口诀？在变式中不断加深学生对乘法分配律本质的感悟，使学生在对数与式的观察与思考中发展想象力。

三、教后所思

（一）数学与艺术结合，激发想象力

数学符号、概念、公式虽然具有丰富的内涵，但形式比较抽象。“乘法口诀的式与形”一课的教学改变了数学学习的样态。教师教学时，不直接提供“每盘几个，有几盘”的教学情境，而是提供色彩鲜艳、多种形状的磁力片学具，让学生进行充分操作与想象。这些学具是学生的想象力得以释放和发挥的载体。乘法口诀通过与色彩丰富、形状多样的几何图形的结合，变化出小鱼、房子、火箭等不同图形，形式立刻鲜活起来，也为学生增进数学想象、实现数学创造积累了数学活动经验。

（二）操作与思考结合，提升想象力

抽象的空间超越了自我经验的内在性和封闭性，借助符号构造了一种富有逻辑性的可能性空间。［4］14在“乘法口诀的式与形”的教学中，学生经历了“由数到式（看数想口诀）—由式到图（用图表征口诀）—由图到式（一句口诀拆分成两句口诀）”的过程，充分调动多种感官，通过用眼观察、动手操作、用脑思考，基于对乘法口诀意义的理解对其结构进行再创造，即初步建立乘法分配律的模型。学生在关联中发展想象力。

（三）融合思维与情感，催化想象力

两次拼图活动显示出数学好玩又富有创造性的特点。一方面，使学生在多种感官的互动下,形成愉悦的学习心理，从而唤醒学生对数学的热爱以及积极向上的学习情趣。另一方面，激发出每一个学生的创造性，让他们在积极的情感体验中建构起情智互动、立体多样、层次丰富的知识想象空间。学生灵动的作品反映出，丰富的学习方式有利于激发学生的想象力，让学生的创造性思维得到意想不到的催化［4］21。

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》以核心素养为导向，突出实践意识，要求以学科实践为支点，撬动传统育人方式的转型。数学学科的育人要求提醒教师，既要培育学生的数学学科能力，又要激发学生的好奇心、想象力，帮助他们增强实践能力，发展理性精神，学会欣赏美、创造美，形成学科能量。