发展学生模型意识的三条路径

□尹 力 郭修瑾

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“《课程标准》”）在小学阶段提出了“模型意识”。模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟，知道数学模型可以用来解决一类问题，认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释。当前，学生的模型意识相对薄弱，如：没有体会到数学模型的价值；没有经历建立模型的有序过程，缺少建模经验；没有比较、联系新旧模型，没有对认知结构中的模型进行整合与优化；等等。对此，教师教学时可以从“感悟模型价值、经历建模过程、关联新旧模型”入手，培养学生的模型意识。

一、感悟模型价值

感悟模型价值是培养模型意识的基础。如果只是着眼于建模与应用，忽略对模型本身的反思与感悟，模型的价值得不到彰显，那么模型意识的培养也就无从谈起。引导学生反思学习过程，感悟其中蕴藏的模型价值，是培养学生模型意识的起点。

（一）蕴含一般化思想

数学学习是从具体到抽象、从特殊到一般的发展过程。一般化是数学学习的应然趋势，理解一般化思想与有意识地寻求一般化是学生具有较高数学素养的具体表现之一。数学模型是对一类问题数量关系的抽象概括，蕴含一般化思想。体会数学模型能解决一类问题，便是对数学一般化思想的感悟。

如摆三角形问题：如图1 所示，像这样用小棒摆三角形，摆1 个、2 个、5 个、ɑ个三角形分别需要多少根小棒？在解决这一问题时，学生起初通过数一数获得小棒根数，但“ɑ个三角形”无法数出，故教师要引导学生寻找数量关系，逐步建立三角形个数与小棒根数的数学模型（小棒根数＝2×ɑ个三角形+1）。随后，教师要组织学生反思学习过程，使学生认识到每次数数很麻烦，利用三角形个数与小棒根数的数学模型解决这类问题更加方便快捷。在学生形成这种体会的基础上，教师再向学生指明，数学学习就是寻找这种能解决问题的概念、性质和规律的过程。这样的教学能帮助学生理解模型的普适性，让他们感悟一般化思想，认识到模型的重要价值。

图1

（二）节省思维空间

数学模型能启发学生舍弃问题情境的无关因素，寻找解决问题的关键信息，这是数学模型简化问题、节省思维空间的价值体现。

例如：甲、乙两人同时从相距50千米的A、B两地相向而行，甲每小时走3 千米，乙每小时走2 千米。甲还带着一只狗，狗每小时跑5千米。这只狗同甲一起出发,碰到乙就掉头往甲这边跑，碰到甲再掉头往乙这边跑，如此重复，直到两人相遇，问这只狗一共跑了多少千米？学生遇到这一问题会本能地想象运动画面，并能通过画图的方式进行分析。但很快就会被狗来回奔跑的情境弄糊涂，分不清狗的运动路线究竟是什么样的。这是因为学生忽略了关系模型，局限于问题情境，从而导致思维复杂化。根据学生的学情，学生已经掌握了“速度×时间＝路程”的数学模型，基于此，教师可以引导他们寻找狗的“速度”与狗所用的“时间”，狗的速度已知，狗所用的时间就是甲、乙两人相遇的时间，从而求出路程。教师要紧扣“速度×时间＝路程”这一模型，启发学生寻找解决问题的关键条件（狗的速度不变，狗跑的时间是甲、乙两人相遇的时间），明确思考方向，避免无关因素的干扰（狗来回跑，跑了很长时间），从而促进问题的解决。

二、经历建模过程

学生在建立数学模型的过程中，一般会经历“提出问题—提炼模型—应用模型”的认知过程。学生先在适宜的生活情境中提出有价值的数学问题；然后根据已有的知识经验解决问题，并逐步发展为用数学方法解决问题，提炼出数学模型；最后在不同情境中广泛运用数学模型，深化对数学模型的理解。学生经历建模过程，一方面有利于深度掌握模型，另一方面，积累的建模经验能迁移到其他数学模型的学习中，有利于培养寻找模型的自觉意识。

（一）提出问题：在生活情境中发现数学问题

提出问题是学生开展建模活动的起始环节。有价值的问题能够激活学生已有的相关知识和生活经验，调动他们学习的兴趣与愿望，也能推动学生进行由此及彼、由浅入深的联想和思考。

1.创设适宜的情境

适宜的情境有利于学生感受生活与数学的联系，提出有价值的数学问题。例如：蓄水池有一根进水管和一根出水管。单开进水管，3分钟能将空池蓄满水；单开出水管，5 分钟能放完满池的水。若两根水管同时开放，多长时间能将空池蓄满水？这样的情境对学生来说比较陌生，因为他们难以理解“两根水管同时开放，多长时间蓄满水”的问题。如果把这个情境替换成商场地下停车场的汽车进场与出场，就可以自然提出“停车场什么时候停满车”这样符合现实的数学问题。

2.层层深入地提问

教师可以通过层层递进的问题，推动学生的思考不断逼近模型本质。因此，在学生建立了一定认识之后，教师应一步步提出更深入的问题，启发学生理解模型本质，助力模型的提炼。例如，在教学苏教版教材四年级下册的“乘法分配律”（如图2）时，教师先让学生自主解决情境问题，学生列出算式后，再选择两个不同的算式集中呈现，并提问：比一比，这两个算式间有什么联系？它们能用等号连接吗？经过全班讨论，得出（6+4）×24＝6×24+4×24，即两个算式相等。接着教师追问：像这样的等式还有吗？再写出几组，比一比，你还有什么发现？学生通过对几组这样的等式的观察、比较，概括出“两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再相加”的规律。最后，教师引导学生思考：像这样的等式写得完吗？能不能用自己的方式简洁地表示出来？由此，学生在分析、解决问题的过程中，逐步建立乘法分配律的标准数学模型，即（ɑ+b）×c＝ɑ×c+b×c。

图2

（二）提炼模型：在解决问题中有序建构模型

提炼模型主要包括一般化和符号化两个过程。一般化是指挖掘出解决问题的具体方法的本质要素，将其抽象为能解决一类问题的一般方法。符号化是指在一般化基础上产生表达模型的内需，并借助简洁的符号形式进行表征。下面以“乘法分配律”的教学为例进行具体说明。

1.一般化：从生活情境到数学意义

首先，教师创设教学情境（如图2），让学生通过独立思考，发现可以用两种方法计算，即6×24+4×24与（6+4）×24。第一种是先算出四年级和五年级各领多少根，再相加求一共领多少根跳绳；第二种是先算出四、五年级共有几个班，再乘每个班领24根跳绳，算出一共领多少根跳绳。由此，学生明确两种方法都是求四、五年级一共领多少根跳绳，结果相等，可用等号连接，即6×24+4×24=（6+4）×24。这是对具体问题的研究，是抽象出一般方法的基础。

接着，教师引导学生写几组与之结构相似的算式，并通过计算、比较和交流，找出它们之间的联系，初步感知乘法分配律。

最后，教师引导学生思考：像这样的算式都相等吗？为什么？使学生在独立思考与小组交流中能主动联系乘法意义予以解释，即6×24+4×24 表示6 个24 加4 个24，共10 个24，（6+4）×24 也表示10 个24。由此，学生通过对生活情境中具体问题的研究，提炼出相应的数学意义，将其上升到一般化。

2.符号化：从口语概括到符号表达

在学生经历了观察、比较、分析、抽象、概括等活动，掌握了乘法分配律的本质后，教师可以激发学生用自己的语言描述所发现的规律，也可以启发学生将规律符号化，建立数学模型。首先，教师提问：像这样的算式写得完吗，能不能用一句话来概括规律？学生结合自己的理解，经过交流、反馈、调整，概括出规律：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再相加。接着，教师进一步引导学生体会口语表达相对复杂，因而可以用一道简洁的算式来表示，推动学生创造多样的表征方式：（爸+妈）×我=爸×我+妈×我、（○+△）×☆=○×☆+△×☆、（ɑ+b）×c＝ɑ×c+b×c等。最后，教师指出一般用字母表达式来表示乘法分配律，并提炼出（ɑ+b）×c＝ɑ×c+b×c的乘法分配律模型。

（三）应用模型：在变式运用中深度内化模型

数学模型是对解决一类问题的方法的抽象概括。除了与模型相关的典型问题情境，教师还要引导学生运用数学模型解决其他数学问题，体会不同问题中所蕴含的相同本质。具体而言，学生需要在多角度的分析、比较中理解各种特例，聚焦数学模型的本质要素。教材中的例题一般从正面认识模型，它具有典型性，但无法全面地反映相关模型，所以需要挖掘并研究模型的变式与反例。

例如，苏教版教材四年级下册“乘法分配律”练一练的第2题中呈现了4组算式（如图3），其中第1组、第2 组与例题的形式一致，所以教师要引导学生重点讨论第3组与第4组的算式。学生容易否定第3组算式，因为它看起来与他们学习的乘法分配律的算式不同，对此，教师可以先引导学生通过计算或结合乘法意义理解它们的得数相同，符合乘法分配律，再分析形式不同的原因，即74×20+74×1中的“×1”可以省略。同时，学生往往会认为第4组算式符合乘法分配律，因为它和他们印象中的乘法分配律的算式很像。对此，教师可以先引导学生通过计算发现两边的结果不相等，或根据乘法意义来进行分析，发现左边算式表示130 个50，右边算式表示140个40，结果不相等，所以不符合乘法分配律。接着，组织学生分析错因并纠错，即左边算式是多少个50，右边算式却变成多少个40，但乘法分配律要保证等式两边都是多少个50 或多少个40。最后，要让学生明确，在（ɑ+b）×c＝ɑ×c+b×c的模型中，等式两边的c要相同。第3、第4组算式便属于乘法分配律的变式与反例，能丰富学生对乘法分配律模型的理解。

图3

三、关联新旧模型

学生的认知结构中储存了各种数学模型，这些原有的模型与新建立的模型之间存在两种形式的联系，一种是模型间具有本质联系，可以通过纵向沟通实现结构化整合；另一种是模型间本质不同，但可以通过横向比较凸显各自的本质特点。

（一）横向比较，凸显模型本质

有的模型之间虽然本质不同，但将它们进行横向比较，并组织学生比较、区分、辨析，能使学生感受到模型间的相同点和不同点，从而深化对模型本质的理解。

例如，学习“归一问题”与“归总问题”时，学生容易混淆这两种问题的数学模型。因此，教师可以将两种问题以相似的情境对比呈现，引导学生厘清二者的区别，深刻地理解两种问题的数学模型，从而使思维从混沌走向清晰。教学时，教师先呈现比较题组：（1）小明买3本笔记本用了18元，如果买8本同样的笔记本，需要多少元？（归一问题）（2）6元一本的笔记本，小明买了6 本。如果用这些钱买9元一本的笔记本，可以买几本？（归总问题）然后启发学生思考：这两道题的问题情境相似，那解决问题的方法（数学模型）也一样吗？学生通过思考发现：在“归一问题”中，一份量（每本笔记本的单价）不变，即前后两次的商一定（□÷□=□÷□），所以先求一份量；在“归总问题”中，总量（总钱数）不变，即前后两次的积一定（□×□=□×□），所以先求总量。在这样的比较中，学生对两种模型的认知变得更加清晰。

（二）纵向沟通，提炼上位模型

数学模型是对一类生活现象或问题的抽象，而对一类数学模型进行进一步抽象，便可以得到更上位的数学模型。数学就是通过像这样的多级抽象逐步发展起来的。上位模型是对一类下位模型本质要素的抽象概括。以上位模型统摄下位模型有助于学生将认知结构中诸多具体模型结网组块，进行结构化整理，从而促进学生对模型的理解与运用。

例如，在人教版教材四年级上册“常见的数量关系”的教学中，教材先呈现典型问题，让学生探讨解决，然后引导学生寻找它们的共同点，最后提炼出两种模型：“单价×数量＝总价”和“速度×时间＝路程”。这两种模型之间存在本质联系，教师可以启发学生理解它们共同的数学本质，使学生结构化地掌握这两种模型。由此，学生理解了“单价”表示“1 千克多少元”“1 袋多少元”等，“速度”表示“1 分钟行多少米”“1 小时行多少千米”等，“单价”“速度”都表示一份数，“数量”“时间”都表示有这样的几份（份数），“总价”“路程”则表示一共有多少份（总数）。在此基础上，这两种数学模型还可以抽象成更上位的乘法模型，即“一份数×份数＝总数”。

总之，感悟模型价值可以让学生认识到数学模型的重要性，发挥对模型学习的心理维持与定向作用；经历清晰有序的模型学习过程有助于学生积累建模的认知经验，促进其在新模型学习中的迁移；关注新旧模型的区分与整合能帮助学生建立与优化认知中的模型结构，加深对模型的理解与运用。