探寻圆之“源” 感悟一中同长——《圆的认识》教学

文 |韩远嫦

【教学内容】

人教版六年级上册第55、56页。

【教学过程】

一、问题引发，感知表象

师：（出示图片，略）你看到了什么？

生：圆形的拱门、圆形的摩天轮、圆形的波纹、圆形的空地……

师：你们为什么认为这些图形都是圆？

生：它们没有角。

生：它们是封闭图形。

生：它是轴对称图形。

生：它有无数条对称轴。

师：圆与我们之前学过的长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形同为平面图形，它能否用直尺画出来？

二、问题探究，溯圆之源

师：直尺是否能画出一个圆？实践出真理。我们一起来研究以下两个问题：其一，如何用直尺画一个圆？画一画，你有什么发现？其二，对比用直尺画圆的方法中，所画的圆有什么共同的特点？

1.直尺画圆，溯源“一中同圆”。

师：我们先研究第一个问题。请大家试着在《学习单》上用直尺画一个圆，并说说你的发现。

●层次一：模仿圆规画圆的原理，利用尺子和铅笔做成一个圆规“画”出圆。

生1：没有圆规，我就用尺子和笔做成一个圆规，尺子就是圆规带针的脚，铅笔就是圆规带笔的脚，这样转一圈画的。

生2：我是把尺子一端固定住，用铅笔固定在3cm的地方，推动尺子带动铅笔画一圈。

生3：我也是用生1的方法画的，但画出来后，发现不怎么圆。

师：什么原因画得不圆？

生3：尺子和铅笔的距离不能固定住，总是跑来跑去的。

●层次二：画一个正方形，从正方形中“描”一个圆。

师：（出示图2）看看另一种画法。

生4：我先画一个正方形，再沿着正方形的边慢慢画出一个圆来。

师：对于他的画法，有疑问吗？

生：你为什么要画正方形的对角线呢？

生4：原本我要定出正方形的中间位置的，后来我发现量出正方形四条边的中点，然后连线也能找到中心点，这个就是圆的中心。

●层次三：通过一个点，画出无数条线段，“连”成一个圆。

生5：（出示图3）我通过一个点，画了两条4cm的线段，这个点刚好把两条线段平分，再连接它们的端点，只是我画得不够圆。

生6：（出示图4）我比生5画的线段多一些，因为圆是轴对称图形，不管怎么对折，它都是对称的，这些线就是它的折痕，折痕多了，连接它们的端点，这样画出来的圆就更圆了。

生7：这和自行车的车轮相似。从车轮的中心点引出很多条长度相等的线段，把这些线段的端点连起来就形成圆形的自行车车轮。

师：这些折痕画完了没？

生6：没有，还有很多。

师：是这样吗？（课件演示）

2.观察对比，理解“一中同长”。

师：对比这几位同学所画的圆。它们有什么共同特点吗？

生：它们都有一个中心点，这就是圆心。圆心用字母O表示。

生：我发现这些圆中，有无数条相等的线段。

师：我没看见图1圆中的线段。

图1

图2

图3

生：他没画出来，那条线段就是圆心到圆上这一条，它叫半径。

师：就只有这一条吗？

生：还有这里、这里（用手比划了很多条），像图4一样，有无数条，它们的长度都相等。

图4

图5

师：我明白了，从圆心到圆上这条线段叫半径，半径有无数条。

生：半径用字母r表示。

生：我还发现，通过圆心，两端都在圆上的线段叫直径，用字母d表示，直径也有无数条，所有的直径都相等。

师：大家从这些图中发现这么多有价值的知识。老师有个疑问，你们刚才说所有的半径都相等，所有的直径都相等。有证据证明吗？

（学生沉默）

师：刚才给到大家每人一张圆形纸片，你们能用这张纸片验证一下你们的说法吗？

3.实验操作，验证“一中同长”。

生：我先把圆形纸片对折两次，找到圆心，拿尺子的0刻度线对准圆心，量了这几条半径，它们都是2cm。

生：我不用量，我这样对折、对折、再对折，你们看这些半径都是重合的，说明它们是相等的。

生：我还发现，两条半径加起来就是一条直径，所以直径也是相等的。

生：是的，一条直径等于两条半径。

师：大家是否同意？

（学生都点头表示同意）

师：（拿出一个大圆片和一个小圆片）这个小圆片的直径等于大圆片的两条半径之和吗？

生：不相等，必须相等的圆。

生：同一个圆也行。

师：早在2300多年前，我国古代思想家墨子在《墨经》中这样描述圆：圆，一中同长也。你是怎么理解的？

生：“一中”就是一个中心，即圆心。

生：“同长”就是指同一个圆里所有的半径都相等，所有直径也相等。

4.圆规画圆，运用“一中同长”。

师：刚才我们用直尺画圆，方便吗？有更好的画圆工具吗？

生：圆规。

师：无规不成圆。“规”就是圆规，为什么画圆的时候常常会用圆规来画呢？大家在练习本用圆规画一个圆，看看有什么发现。

生1：图6是我画的，我把圆规尖尖的脚固定在纸上，另外带笔的脚旋转一周，就画出来了。我发现圆规两脚间的距离就是半径。

图6

师：你的圆多大？

生1：不知道，我是随意张开圆规两脚画的。

生2：图7是我画的，我先用尺子画出一条3cm的线段作为半径，用针尖的脚固定在线段的一端，铅笔的脚在线段的另一端，然后拿着铅笔的那只脚旋转一周，就得到一个半径是3cm的圆。我也发现圆规两脚张开的距离就是半径的长度。

图7

生3：图8是我画的圆。我是先用尺子画一条4cm长的线段作为直径，在直径的中间点一个点，这是圆心。然后用圆规针尖定在圆心，铅笔的脚张开半径的长度，然后旋转一周。正因为半径的长度固定了，所以就可以画出完美的圆。

图8

图9

图10

师：看来，用圆规画圆就是运用了“一中同长”的原理。

三、问题解决，迁移运用

师：同学们这节课很棒！能通过尝试——对比——发现——验证——结论的方法来探究圆的有关知识。我们就用这节课的收获来解决新的问题吧。

1.填一填：看图填空。

2.找一找：如何找出圆形木板的圆心及半径？

生1：我在圆上画两条直径，直径相交于一点，这一点就是圆心，从圆心到圆上画一条线段，这就是半径。

师：大家怎么看？

生2：我不同意。你怎么确定这两条是直径呢？

生3：圆心没找到，都不能确定这两条直线是否有通过圆心。

师：他在提醒大家，找直径要先找到圆心。

生2：我可以在圆形木板的外面画一个与它贴紧的正方形，正方形的边长就是圆的直径，直径的一半就是半径。

生4：我同意他的想法。我给正方形添加两条对称轴，这两条对称轴的交点就是圆心了。

师：你们知道他这样做的理由是什么吗？

生5：我知道。因为正方形和圆都是轴对称图形，正方形的对称轴也就是圆形木板的对称轴，就相当于把圆形木板对折两次，就会出现两条直径，直径的交点就是圆心。

3.辩一辩：学校要建一个直径是10米的圆形花坛，你能用什么方法画这个圆？

生：可以先定一个点作为圆心，然后用10米长的软尺绕一圈就可以了。

生：我不同意，用5米长的软尺就可以了，因为直径是10米，半径就是5米。

生：其实不一定是软尺，有一根5米长的绳子也行。

师：大家怎么看？

生：是的，可以。

4.无边界：淘淘参加一次课外拓展活动，需要根据提示找到活动奖品。提示上这样写道：奖品距离小旗2米处。你能帮淘淘解决这个问题吗？（用1厘米代表1米，在图11中画出奖品可能藏的地方）

图11

生1：奖品就在半径是2米的圆里面。

生2：我不同意。不是在圆里面，而是在圆的边上。

生3：也就是在半径是2米的圆的周长上。

生4：还有可能是距离旗子2米的地底下。

师：谁听懂他的想法了？

生5：就是像球一样，旗子是球心。

生6：准确地说，应该是一个半球。

师：大家的意见是，奖品可能在的地点不仅形成一个圆，还有可能形成一个球。圆和球有什么不同？

生5：圆是个平面图形，而球是个立体图形。

四、全课总结，拓展延伸

师：在课的开始，大家都谈了对圆的认识，你们认为圆是曲线图形、是轴对称图形，有无数条对称轴。现在回过头来看看，圆的确具有大家所说的特征，如果只用一句话来概括什么是圆，你们会用哪一句话？

生：一中同长。