高中概率统计的大单元教学分析

黎华斌

【关键词】高中数学；概率统计知识；大单元教学

前言

概率统计涉及的思想方法与其他模块的数学知识相比有很大差别，即实用性强，教师如果在短时间内上完全部课程，就会导致学生的习题训练少，不能进行客观分析，解相关问题时难以得分．基于此教师要优化高中数学概率统计知识，以大单元教学的模式整合教学内容，科学分配课时，让学生能够深入学习与思考概率统计方面的知识，提升数学核心素养．

一、概率统计的教学要求

概率部分的知识在高中数学人教版教材必修二中有提及，要求学生在初中概率知识基础上，深化理解概率的概念与性质，如什么是样本点、样本空间、事件与它们之间的基本关系等，从数学的角度知道随机现象，提升学生的数学抽象素养．同时该部分内容讲解了概率的计算，并分别提出古典概型（使用计算原理排列数组合数分析）、乘法公式和加法公式（条件概率和全概率公式），提出几种特殊的随机变量中的均值方差、概率分布，随机变量的分布等，此部分的内容对培养学生数学运算、建模与逻辑推理能力有重要意义．

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中对于概率统计部分的知识要求学生在日常生活中学会数据的收集，能够使用统计的基本方法进行决断，从而培养学生的数据分析核心素养，掌握统计部分的知识包括数据的数字特征、直观表示、数据的收集等，以及抽样的方法、获取数据的途径、用样本估计统计等知识，利用科学的方法分析数据，掌握一元线性回归模型，使用2x2列联表进行检验，

二、基于高考试卷对概率统计考题的分析

对近五年高考数学试卷中概率统计考题进行分析，笔者发现试卷中以考查学生的数学运算能力与逻辑推理能力为主呈现概率统计的知识，主要内容有排列内容、计数原理、古典概型、多项式运算、二项式定理、利用随机变量分析事件、分布问题、独立性检验等，注重学生对概率统计知识的本源学习．例如，2021年高考数学全国甲卷中第2题就是考查频率分布直方圖中读取数据的知识，考查学生的数学运算能力：第10题考查的是排列组合问题与古典概型的综合运用，考查学生的逻辑思维能力，第17题考查的是样本频率、独立性检验，考查学生对不确定性问题的统计决断能力．另外近几年的考题也越来越体现生活化，不再固定于一个知识点，而是利用实际生活情境引导学生灵活运用所学的概率统计知识．

三、高中概率统计大单元教学的研究

（一）概率统计大单元教学的目标

从逆向角度分析学生掌握的知识，大单元教学的目的是让学生在概率统计知识的学习中，建立能够用样本估计总体与统计推断的思想，进而解答生活中与概率统计有关的不确定的问题，统计的过程是需要学生在研究完基础问题之后，能够合理使用调查方法，收集对应的数据信息，然后通过数据的处理，对其进行推断．因此，概率统计大单元的教学目标为：1．通过完整的统计推理过程，能够了解问题结果的判断标准有好有坏，而不是通过对与错判断，基于此选择适合的调查形式，有效整理数据的图表；2．学习分层抽样、随机抽样，让学生能够在不同的情境中选择最正确的抽样方法，抽取最有代表性的样本，发展学生的抽象概念；3．学生学会使用概率分布直方图，了解各种呈现数据的图标的优缺点，特别是扇形统计图、频率分布直方图等；4.了解频率分布直方图，能够正确计算并判断数据的中位数、频率、众数、方差等，知道这些数据特征，建立分析数据的数学素养；5．学会独立性检验，知道怎样计算并利用其判断产生相关问题错误的概率：6．了解相关性的定量分析方法与定性，知道散点图分析数据是正相关还是负相关，了解求解系数r的相关公式与对应范围，进而正确计算出r的值：7．学会线性回归方程，可以将非线性回归方程转化为线性回归方程，从最小二乘法算线性回归方程系数的角度，计算线性回归方程系数，通过方程的转化体会复杂问题的解决；8.了解决定系数R2，了解判断回归模型好坏的几种方法，如残差平方和、残差图等，

在学生完成概率的部分知识学习后，如概率乘法公式、排列组合等，教师就可以引导学生进一步学习更有深度的知识内容，用于更精准地计算随机变量的均值及方差：1．通过计数原理的分析，学会分类分析结果、分析结果，让学生知道什么是分布计数原理，形成数学建模素养．2．学生通过组合数的计算与排列数的计算的学习，掌握概率统计相关题型的解法，顺利解答分配问题、定序问题等；3．学生学会二项式定理，可以从计数原理的角度理解二项式系数，并利用赋值的方法分析系数和问题，形成数学运算核心素养；4．学习概率的本质定义；5学会概率的计算方法；6．学会特殊的随机变量概率分布、均值方差计算方法．

（二）概率统计大单元课时设计

概率统计大单元教学设计的逻辑顺序就是从简单到复杂解释清楚基本概念，引入复杂的情境培养学生基本概念的运用能力．基于此课时的设计为：教授样本空间、样本点、随机事件的基本概念（1课时），通过上节课讲述的概念解释古典概型，进行复杂古典概型概率的计算（1课时）；教授概率的性质，并事件、积事件、交事件的概念与其概率的计算（2课时）；独立事件的概率运算法则（1课时）；习题课（1课时）；频率分布直方图（1课时）；通过对频率分布直方图的分析，估计方差与平均数（1课时）；通过对频率分布直方图估计百分位数（1课时）；习题课（1课时）；计数原理的学习（2课时）．

（三）概率统计大单元教学过程分析

1．数据特征的教学

在初中学生初步学习了统计的相关知识，如几何数据的众数、中位数、频率与平均数，了解了样本与总体的概念．但是初中与高中对于这些数学要素的运用在不同的情境，即初中阶段学生学习的数据背景是直接的、静态的，而高中阶段相关数据的背景则是动态的、估计的．高中教材中使用的是频率分布直方图为学生呈现数据特征与数据的计算，教师可以直接使用教材中给出的图示创建情境，带领学生通过对比判断出数据特征，以此感受统计推断中蕴含的数学思维、不确定思维，同时知道对于统计判断评价的标准是“好和坏”．教师可以在讲授此部分内容之后，再以此为情境直接教授学生抽样方法：知道如何才可抽出适合的样本，在学生学会此部分知识之后在教授后面的知识点．教师通过重新调整教学内容进行大单元教学，让学生了解初中与高中阶段对于概念统计知识学习的差异，同时不会在后期学习时再重新复习之前的内容，既能减少反复学习，又能帮助学生明确在统计知识的学习中选择合适方法的重要性，从而确定学习目标，在高中数学教学中，根据数据特征的推断与计算，选择最适合的方法是概率统计领域中比较重要的内容，也是易错点，教师在此重新整合知识点进行教学，可以简化教学流程，加强学生的理解．

2．双变量数据分析的教学

高中阶段的双变量数据分析的教学主要内容是相关性分析、地理性检验、建立回归方程预测等．此部分知识内容是存在矛盾点的，如果从操作方法角度教学，只要学生正确计算、记住结论就能在考试中获得满分，基于此教师会将教学重点放在数学建模与数学运算上．但是这种教学方法对学生的深入学习是有影响的．如果教师在建模与计算基础上进行教学，还从根本上讲述概念的由来，那么能够更好地帮助学生学习公式模型，加深记忆．但是这种方法对学生的要求较高，需要学生自主构建知识体系，需要教师为学生提供更多自主思考与合作探究的时间内化知识．虽然教材中将相关性的知识放在独立性检验的前面，但是经过作者教学实践发现相关性部分的内容较多，且独立性检验的知识点比较集中，两者关联性不大，所以也可以将独立性检验的内容放在相关性部分前面进行教学，所以教师先进行对变量进行独立性检验的教学，然后具体研究相关性也是可以的．

独立性检验，就是检验两个变量之间是否有关系，两个变量是独立的前提下，这两个变量无论怎样取值也都是互相独立的，再根据独立事件的概率计算进行倒推，得到频数的估计值，若此与对应的实际统计值相近，则表明这两个变量是独立的，如果与对应的实际统计值相差较多，则表示两个变量是有关系的，假设不成立．这种说法有一定风险，即在互相独立的时候的确可能出现差距较大的问题，因为统计的不确定性特点，小概率事件发生的可能性小，但也会发生，在讲述完上述知识点之后，学生一般都能理解，并根据此推理，可知频数估计值与实际统计值的差值有四个，怎样将这几个差值组成一个能够进行独立性检验的统计量？小概率事件发生的可能性是多少？这两个问题是学生在学习此部分知识之后仍然会产生疑问．下面教师来帮助学生答疑解惑：差值能够确定正负號，若使用差值的方法分析，可以将其标准化，即将差值的平方和都除以对应的频数估计值，将上面四个标准化的差值相加，组成新的统计量x2，此处所说的“标准化”，是对随机变量的标准化，根据方差与均值的性质，能够推导出标准化后的值Z是0，方差为1．而此处的偏差也服从正态分布，所以标准后的差值则服从标准正态分布，所以近似服从自由度是1的X2分布，因为这部分内容不是高中生必须掌握的，所以教师通过表格为学生呈现局部概率的分布数据，但是这种简单的描述还不能让学生对知识形成透彻地了解，根据相关性的分析来说，如果学生数学素养不足，教师可以尝试直接给出几个关键的形式，例如高中阶段涉及的X2概率分布图，教师可以直接讲解，只要学生了解就可以，并能根据表格中的X2概率的关系进行正确判断．这一过程强调学生对整个发展过程的理解，弱化个别知识点的深入了解．

独立性检验讲解之后再进行相关性知识的教学就简单得多，只要学生能够判断出变量的相关性，并能在散点图中计算r值．在计算方面能够根据残差平方和、残差图中计算r，R2等值；在建模方面可通过构建非线性回归方程、线性回归方程．教学重点是能够根据计算进行统计判断，难点是理解公式概念、精准计算．例如，相关系数的范围是-1≤r≤1，对相关系数范围的理解，可总结为“多维向量夹角的余弦值角度”，另外线性回归系数的公式推导依据是最小二乘法，可以理解为差值是用差的完全平方进行处理的．人教版高中数学教材中对于∑的运算性质理解，可以通过求导的形式让学生加强理解，需要教师为学生讲述清楚，并单独使用一节课讲解概念，在学生们理解了之后再专门开展一节建模课，如此才能让学生更扎实地掌握知识，对于非线性回归方程的内容，此部分虽然是难点，但是原理比较简单，教师需要带领学生多练习，在解题中理解本质．

3．计数原理的教学

在解答随机变量的概率分布问题的时候，学生可能出现的障碍就是在随机变量中各个取值包含的事件，事件的概率是使用什么方法分析的？用概率的性质计算还是用等可能结果的分析，这两种方法总结为样本空间的分析．学生在解答这部分知识相关问题的时候，容易出现结果分析不准确的情况，作为计算原理的基础运用知识的讲解，教师需要结合本班学生的数学学情，思考讲解到哪个深度，如果学生们数学素养较高，教师就可带领学生深入分析；如果学生整体数学素养一般，就只简单介绍样本空间的分析，紧扣分布技术原理分析，必要时可借助树状图进行演示教学，让学生了解排列与组合的顺序性与无序性．

4．实际情境分析

顺序是学生学习计数原理的重难点，需要教师为学生展示，并引入情境展示．如分配情境、定序情境等．而教师带领学生进行深入分析的时候可以不以顺序展开，直接引入多样化的情境带领学生分析，体会排列数组合数的工具性，让学生在实际情境中获得感悟．

教师借助实际情境可以带领学生在具体的情境中进行逻辑推理与数据分析．例如，历史中分赌金的问题，请学生对结果进行分析求值，因为是预测，可以体现统计推断的意义：另外通过高尔顿板与保险问题，n次传球后小明拿到球的概率等，利用学生感兴趣的事件让其使用概率统计知识解答问题，内化知识点，能够达到对知识的一般认知到形式认知．

总的来说，大单元教学可以培养学生的逻辑推理能力、理性思维能力、建模能力、计算能力．例如，解二项式定理问题的时候需要用到数学推理与数学模型；在解排列组合问题的时候需要学生综合地进行推理判断；在解概率问题的时候要运用推理与模型思想等．另外在本单元的教学中教师还要培养学生数学抽象思维，例如，样本空间就是抽象的概念，需要学生将已有经验转化为新知，构建知识网络．

结论

综上，高中概率统计知识的教学很重要，是学生后期学习高等数学的基础，但是学生要想完全掌握概率统计知识是不容易的，需要有更多知识做基础．所以教师在教授概率统计知识的时候要结合学生的经验循序渐进地展示概率基本概念与本质，逐渐深化内涵，让学生慢慢了解难度更大的知识．教师要先设置明确的大单元教学目标，然后整合高中阶段概率与统计的知识，能够有的放矢地合理安排课时，辅助学生深度理解概率统计的知识，