椭圆型方程（组）可解性研究

徐晶晶，钟金标，李小帅，赵舵舵

（1.安庆师范大学 数理学院，安徽 安庆 246133；2.武警特种警察学院 基础部，北京 102211；3.池州学院 大数据与人工智能学院，安徽 池州 232038）

椭圆型方程（组）边值问题与双调和方程边值问题是偏微分方程研究领域的重要研内

容之一[1-4]。张亚静等[1]利用集中紧性原理和山路定理，证明了下面椭圆型方程组正解的存在性。

这里α,β＞1 满足h1(x),h2(x)≥0,且h1,h2≡0。

LI H X等[2]研究了下列半线性椭圆方程组边值问题

这里 Ω ⊂RN(N≥3)是有界光滑区域，Q∈L∞(Ω)且Q(x)≥0 ，在Ω 中几乎处处成立，α,β＞1,α+β=2*，主要利用变分法方法证明了在一定条件下，该问题至少存在两个解。

ZHONG J B等[3]利用不动点定理证明了一类半线性椭圆型方程组正解的存在性与唯一性，同时讨论了存在的必要条件。杨旭[4]利用(B+)类拓扑度方法和在希尔伯特空间上选择相应的范数，给出了具有狄利克雷边界条件的多调和方程非平凡广义解的存在性结果。

本文利用上、下解方法及不动点定理讨论了下列半线性椭圆型方程组边值问题。

这里Ω ⊂Rn是有界光滑区域，证明了该问题正解的存在性。并进而利用上述正解的存在性结果，进一步讨论了下列带正小参数的双调和方程边值问题正解的存在性。

其中λ为正参数，并给出了正解存在性定理的证明。本文研究的问题中，函数f(x,v),g(x,u)仅限制满足较一般的条件，比文献[1-4]中函数限制的条件更少，从而研究的问题适用范围更广，且在证明解的存在性时，采用了与文献[1-4]中不同的理论与方法，对这二类边值问题，证明了正解存在的结果。

1 一类半线性椭圆型方程组边值问题解的研究

考察下列半线性椭圆型方程组边值问题

这里 Ω ⊂Rn是有界光滑区域，其中f(x,s) ,g(x,s) 满足下列条件：

(H1)f(x,s) ,g(x,s) 在×[ 0,+∞)上 为 非 负Ho¨lder连续函数。

(H2)f(x,s) ,g(x,s)关 于s 在[ 0 ,+∞)上单增，g(x,0)＞0。

引理[5]设T 是Banach 空间B 到自身中的紧映射，又设存在一个常数M，使得‖x‖B＜M对所有满足x=σTx,x∈B,σ∈[0,1] 的x成立，则T有一个不动点。

定理1 若条件(H1)成立，则问题（1）只能存在非负解。

证明 由(H1)知f≥0,g≥0，所以Δu≤0,Δv≤0且u|∂Ω=v|∂Ω=0，由上调和极值原理[5]知，u≥0,v≥0。

定理2 若(H1)，(H2)成立，且问题（1）存在一对上、下解，则问题（1）至少存在一组解(u,v)∈[C2(Ω) ]2。

证明 取关于上下解的截断函数如下：

则

考察下列边值问题

显然≤Tu≤,≤Τv≤，又，从而Tu,Tv在上有界。由(H1)知f(x,Tv),g(x,Tu)在上为有界函数。

定义算子T1：[C2(Ω) ]2→[C2(Ω) ]2如下：

T1U=L-1F(x,U)，

因 为L-1=(-Δ)-1为紧正算子，所以T1为[C2(Ω)]2到自身的紧映射。

下证存在一个常数M＞0，使得‖U‖B＜M，对所有满足U=σT1U,σ∈[0 ,1]的U成立，其中B=[C2(Ω) ]2。

假设不然，则存在σn∈[0 ,1]和B中Un，满足‖Un‖→+∞(n→+∞)时，有

在（4）式中两边令n→+∞，结合F(x,Un)有界，可得ωn→0，这与‖ωn‖=1 矛盾，从而满足引理中条件。利用引理知，T1有一个不动点，即该不动点为问题（2）的解。

取(u,v)为问题（2）的解，记ω=u-,ω+(x)=max{0 ,ω(x)}，则由上解定义及（2）中方程知-Δu=f(x,Tv)，-Δ≥f(x,)，所以

在（5）式两边乘上ω+后，在Ω 上积分，并利用Green第一恒等式得

记A={x∈Ω:u≤} ，B={x∈Ω:u＞} ，则Ω=A⋃B。

从（6）式，结合ω+(x)的定义知

由(H2) 知f(x,Tv)-f(x,)≤0 ，而ω+(x)≥0。从（7）式可得，所以ω+=0，x∈B，从而Ω=A。即u≤,x∈Ω，同理可证v≤。

记Z(x)=u-，Z-(x)=min{0 ,Z(x)}，显然Z-(x)≤0。则由下解定义及（2）中方程知

上两式相减得

即 -ΔZ(x)≥f(x,Tv)-f(x,)，

上式两边乘上Z-(x)后在Ω 上积分，并利用Green第一恒等式得

记A={x∈Ω:u＜}，B={x∈Ω:u≥}，则Ω=A⋃B。从（8）式可得

由(H2) 知，所 以∫A|DZ-(x)|2dx=0。从 而Z-(x)=0,x∈A。所 以u≥,x∈Ω。同理可证v≥,x∈Ω。从而（2）的解(u,v)满足，此时Tv=v,Tu=u，即(u,v)为问题（1）的解。

2 双调和方程边值问题的可解性

考察双调和方程边值问题

其中λ为正参数。

令-Δu=v，则（9）化为

显然=0,=0 为问题（10）的下解。

让Φ(x)是问题的解，则Φ ≥0,x∈。由Φ(x)在上连续知Φ()

x在Ω 上有界。记，取，则取参数λ充分小，可得

从而(,)为问题（10）的一组上解。由条件(H1)及λ＞0，所以-Δv=λg(x,u)≥0，利用上调和函数极值原理知v≥0。从而f(x,v)=v满足条件(H1)，(H2)，由定理1可得出下列定理。

定理3 当λ为充分小的正数，且条件(H1) ，(H2)成立时，问题（10）存在有界正解，从而双调和边值问题（9）存在正解。

3 结论

本文首先对半线性椭圆型方程组边值问题（1），在假设存在上、下解的前提下，利用不动点定理证明了问题（1）存在正解，进而将该结果利用到带小参数的双调和方程边值问题（9）。通过变量代换，将问题（9）转换为半线性椭圆型方程组边值问题（10），最后通过寻找到问题（10）的一组上、下解。再利用问题（1）所证的解的存在性定理，证明了问题（9）解的存在性。这同时也是对问题（1）所得解的存在性定理给出了应用实例。