分数阶泛函微分方程多点边值问题的正解与多个正解

沈春芳，杨 刘

（合肥师范学院 数学与统计学院，安徽 合肥 230001）

讨论含复杂时滞分数阶泛函微分方程多点边值问题

正解的存在性，其中

近年来随着分数阶微分方程理论在物理、化学、生物学和空气动力学等方面应用的不断深入，对分数阶微分方程边值问题解与正解的研究受到人们的广泛关注[1-10]。Z.B.Bai 等[11]讨论了两点边值问题

正解的存在性。Z.B.Bai[12]讨论问题

在非线性项满足适当增长性条件下建立了正解存在性结果。C.F.Liu 等[13]利用不动点定理给出了问题

正解与多个正解的存在性的充分条件。

目前对含时滞的分数阶泛函微分方程边值问题正解的存在性研究比较少。本文研究含复杂时滞分数阶泛函微分方程多点边值问题（1-2）正解的存在性，建立了问题对应的Green 函数并给出Green 函数具有的性质，分别利用Schauder 不动点定理和Leggett-Williams 不动点定理，建立问题正解与多个正解的存在性结论。

1 预备知识及引理

引理1.1 设α＞0,u∈C(0,1)⋃L(0,1)，分数阶微分方程Dα0+u(t)=0 有形式解

其中Ci∈R,i=1,2,…,N,N为不小于α的最小整数。

引理1.2 设

其中Ci∈R,i=1,2,…,N,N为不小于α的最小整数。

引理1.3 给定

y(t)∈C[0,1],η0=0,ηm-1=1,β0=βm-1=0,则边值问题

有形式解

其中对ηi-1≤s≤ηi,i=1,2,…,m-2,

证明 由引理1.1，方程（1.1）具有形式解

代入边值条件得

代入得

引理1.4 引理1.3定义的函数G(t,s)

（1）G(t,s)＞0,t,s∈(0,1)

（2）G(t,s)≤G(s,s),t,s∈[0,1]

证明（1）对ηi-1≤s≤ηi,i=1,2,…,m-1,t≤s,

对ηi-1≤s≤ηi,i=1,2,…,m-1,t≥s,

（2）记

则

由单调性即得

（3）记

则由引理1.3和引理1.4得

定义1.1 映射ψ称为Banach空间E中锥P上的非负连续凹泛函，如果ψ:P→[0,+∞)连续且对任何x,y∈P,t∈[0,1],成立

设0＜a＜b，ψ是锥C 上的非负连续凹泛函，定义

引理1.5 设P 是Banach 空间中的闭凸集，T:P→P是紧连续映射，则T 在P 上至少有一个不动点。

并满足ψ(x)≤‖x‖。设存在正数0 ＜a＜b＜d≤c使得

则算子T至少有三个不动点x1,x2,x3满足

2 主要结论

显然算子T 在锥P 的不动点即为边值问题（1）-（2）的正解。

定理2.1 设存在函数a(t)∈L[0,1]使得

则边值问题（1）-（2）在C[0，1]中至少存在一个正解。

证明设P 的子集合PR={}u∈P|‖u‖ ≤R，下面证明T是其上的全连续算子。

（1）对任意的u∈PR,

这表明算子T是一直有界的。

（2）对任何u∈PR,t1,t2∈[0,1],

由Green 函数关于t 的全连续性可得算子T 是等度连续的。由Ascoli-Arezela定理，算子T是凸集PR上的全连续算子，则由Schauder 不动点定理，算子T 至少在PR上存在一个不动点，即边值问题（1）-（2）在C[0，1]上至少存在一个正解。

记

定理2.2 设存在正数0 ＜a＜b＜c使得

则边值问题（1）-（2）在C[0，1]中至少存在三个正解。

证明定义泛函

这样引理1.6 的条件全部满足，因此则边值问题（1）-（2）至少存在三个正解。