“用100以内的加减法解决的实际问题”的内容分析及教学建议

李小元

［摘 要］在分析西师版教材中“用100以内的加减法解决的实际问题”的基础上，给出相关教学建议：根据实际问题的数量关系类别，梳理数量关系的渗透分布情况；按语义结构类别，对实际问题情境进行分类统计分析；依据分析结果提出重视用加减法的含义理解基本数量关系、增加基本数量关系的变式问题、自然渗透解决问题的步骤与方法。

［关键词］100以内的加减法；实际问题；内容分析；教学建议

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2023）20-0078-03

新课改以来，小学数学新教材打破传统教材中“应用题”编排体系，让实际问题跟随各领域知识的学习进行编排。新课标中没有明确要求哪个年级应该出现哪些实际问题，新教材对简单实际问题的内容体系的体现也不明显，使得部分一线教师对简单实际问题要教什么、教到什么程度的理解不够。笔者从数量关系、问题情境的语义结构两个角度，对西师版教材中“用100以内的加减法解决的实际问题”的例题和习题进行梳理和分析，同时提出教学建议。

一、教材中数量关系知识的渗透情况

在课程改革以前，我国传统小学数学教材中有11种简单的应用题，其中的数量关系可归纳为四类：部总关系、相差关系、份总关系、倍数关系。

部总关系、份总关系实际上就是“合”与“分”的关系。“合”的计算方法有加法和乘法，用加法求总数或求被减数，用乘法求相同加数的和。“分”的计算方法有减法和除法，用减法求剩余、求减数、求加数，用除法解决“把一个数平均分成几份”和“求一个数包含几份另一个数”问题。

相差关系、倍数关系都是对两个数量进行比较，一般称为比较关系。相差关系的计算方法有减法和加法，用减法求“两数相差多少”和“比一个数少几的数”，用加法求“比一个数多几的数”。倍数关系的计算方法有除法和乘法，用除法解决“求一个数是另一个数的几倍”和“已知一个数的几倍是多少，求这个数”，用乘法求“一个数的几倍是多少”。

虽然这一整套“传统应用题”的类型名称和数量关系式不要求教给学生（因为学生面对一个实际问题时选择运算方法的主要依据是运算的含义），但是教师应该做到心里有数，因为厘清数量关系在教材的渗透情况，有助于教师把握教学的脉络和处理教材。

2012年出版的西师版教材中，“用100以内的加减法解决的实际问题”主要涉及两类数量关系：一是部总关系，部分量+部分量=总量，总量-部分量=部分量；二是相差关系，较大数-较小数=相差数，较大数-相差数=较小数，较小数+相差数=较大数。

部总关系的数量关系，主要渗透在一年级上册第二、三单元“10以内数的认识和加减法（一）”“10以内数的认识和加减法（二）”，以及一年级上册第五、六单元“20以内的进位加法”“20以内的退位减法”内容中。在“10以内的加法和减法（一）”“10以内的加法和减法（二）”这两个单元中，教材侧重通过“看图写算式”的形式引导学生理解加、减运算的含义，并用加法或减法算式表示现实情境中的数量关系。在“20以内的进位加法”“20以内的退位减法”这两个单元中，教材通过对话、表格以及图文结合的形式，给出一些结构相对完整的实际问题，引导学生联想加、减运算的含义，将实际问题转化为相应的数学问题，并列式解答。

相差关系主要渗透在一年级下册和二年级下册的计算教学中。其中，“求一个数比另一个数多（或少）多少”的实际问题，主要集中在一年级下册第四、七单元“100以内的加法和减法（一）”“100以内的加法和减法（二）”。而“求比一个数多（或少）的数是多少”的实际问题，没有紧跟着编排在“求一个数比另一个数多（或少）多少”的实际问题之后，而是在二年级下册第三单元“三位数的加减法”中才首次出现。教材两次渗透相差关系的时间间隔将近一个学年，二年级上册教材中也没有例题和习题涉及相差关系。

二、问题情境的语义结构分类统计

我们经常说，加法解决“两部分合起来一共有多少”的问题，减法解决“求还剩多少”的问题。仅仅是这样吗？从卡朋特和默泽尔的研究成果可知，依据问题情境的语义结构，用加减法解决的实际问题可分为合并型、变化型、比较型3个大类型，每一个大类型的实际问题都涉及加法和减法，共细分为8个子类型。笔者以8个子类型的语义结构为标准，对西师版教材中出现的“用100以内的加减法解决的实际问题”问题进行分类统计，结果见表1。

从各子类型题量在总体中的占比来看，总量未知题的数量占比接近40%，结束量未知题和差值未知题的数量占比都达到20%，说明西师版教材非常重视合并型总量未知题、变化型结束量未知题、比较型差值未知题这三个子类型的基本数量关系的渗透。由基本数量关系变式而来的实际问题的题量非常少，合并型部分量未知题的题量占比为10%左右，而变化型中变化量未知题、起始量未知题，以及比较型中较大数未知题、较小数未知题在教材中只有几道，占比都不足4%。

分类梳理例题和习题后发现，西师版教材中渗透3个基本数量关系的例题的数量较多，其他5个类型的例题极少，变化量未知题1道例题也没有。教材中出现的“用100以内加减法解决的实际问题”例题有45道，只有5道例题以“问题解决”形式用于实际问题的教学，其中总量未知题2道，部分量未知题1道，差值未知题2道。在其余的40道例题中，教材侧重呈现加减运算的計算方法，没有提供问题解决的一般步骤，缺乏教学数量关系和问题解决方法的内容。教材从二年级上册开始设置“问题解决”专题课，侧重于问题解决的基本方法的教学。

三、教学建议

1.重视用加减法的含义理解基本数量关系

西师版教材中，“用100以内的加减法解决的实际问题”的例题和习题数量非常充足。教学中不能仅仅把这些例题作为引入计算的情境，还要把这些例题作为教学运用加减法的含义理解数量关系的载体，让学生结合计算内容的学习初步理解加、减法的含义，形成依据加、减法的含义理解数量关系、选择运算方法解决实际问题的思路。

例如，教学“5以内数的加减法”例1时，让学生看图说图意“2辆小轿车和1辆小轿车，合起来是3辆小轿车”，引导学生明确其意义可以用“2+1=3”这样的加法算式来表示，使学生初步体会到加法能表示“把两部分合起来”，在类似的实际问题教学中渗透合并型的基本数量关系“部分量+部分量=总量”。同样，引导学生感知“原来的与增加的合并起来就是现在的”“把原来的分成两部分，拿走一部分就剩下另一部分”这样的问题情境，让学生依据加、减法的含义列出算式，同时渗透变化型实际问题的基本数量关系“起始量+变化量=结束量”“起始量-变化量=结束量”。

2.增加基本数量关系的变式问题

适当增加一些变式问题情境，一方面能使学生在理解变式问题情境、选择运算方法解决问题的过程中不断丰富对加、减法含义的理解；另一方面能使学生了解更多的实际问题的呈现方式、结构特点以及数量关系，积累分析和解决实际问题的经验。

合并关系“部分量+部分量=总量”可变式为“部分量=总量-部分量”。合并关系可拓展成变化型（增加）的基本数量关系“起始量+变化量=结束量”，还可进一步变式为“结束量-变化量=起始量”和“结束量-起始量=变化量”。

变化型（减少）的基本数量关系为“起始量-变化量=結束量”，其变式就是“结束量+变化量=起始量”和“起始量-结束量=变化量”，也就是求被减数和减数的实际问题。教学时可增加这样类型的问题：“碗里有25颗球，拿走了一些球，还剩3颗球。拿走了多少颗球？”首先让学生明确“原来的球分为拿走的和还剩的这两部分”，得出“原来的球-拿走的球=还剩的球”这一基本数量关系；然后追问：“要求还剩多少颗球，只要从原来的25颗球中去掉什么就可以了？”学生由此明确“要求拿走多少颗球，只要从原来的25颗球中去掉还剩下的3颗球就可以了”，依据减法的含义列出算式“25-3=22”。至此，学生建立了数量关系“原来的球-还剩的球=拿走的球”（起始量-结束量=变化量）。同样的思路，可以建立数量关系“变化量+结束量=起始量”。

比较型较大数未知题和较小数未知题，就是“求比一个数多（或少）的数是多少”的实际问题。教材中给出的2道例题以计算方法教学为主，教学中要重视引导学生利用直观手段分析数量关系。例如，教学问题“小明有13颗球，小红比小明多2颗。小红有多少颗球？”时，首先明确“小明的球的颗数是较小数，小红的球的颗数是较大数”；然后让学生通过一一对应摆圆片表征题意：第一行摆13个圆片表示小明的球，因为小红比小明多2颗，所以第二行先摆出和小明同样多的13个圆片，再接着摆出2个圆片表示多的球；再分析解题思路：小红的球（较大数）可以分成两个部分，一部分是和小明同样多的13颗球（较小数），另一部分是比小明多出的2颗球（相差数），要求小红有多少颗球（较大数），就要把这两个部分合起来，列出加法算式“13+2=15”。这样，学生建立起数量关系“较小数+相差数=较大数”。

教学中，还要让学生通过辨析来理解数量关系。例如，解答“小明有13颗球，小明比小红少2颗。小红有多少颗球？”时，很多学生仅凭个别关键词语选择计算方法，见到“多”就加，见到“少”就减，这显然是错误的。因此，教学时教师要通过比较引导学生思考：“小明比小红少2颗球，说明谁的球多些，谁的球少些，相差几颗球？”学生得出“小红的多些，也就是较大数；小明的少些，也就是较小数；相差2”，明白应该将小红的球的颗数（较大数）分成两部分，一部分是和小明的球的颗数同样多的13颗（较小数），另一部分是相差的2颗（相差数），和小明的颗数同样多的13颗（较小数）与相差的2颗（相差数）合并起来等于小红的球的颗数（较大数）。同样的思路，对于“小红有15颗球，小红比小明多2颗。小明有多少颗球？”这个问题，从小红的球的颗数（较大数）中去掉相差的2颗（相差数）就等于小明的球的颗数（较小数）。经过思考，学生建立了“较大数-相差数=较小数”“较小数+相差数=较大数”这两个数量关系，以及相应的分析思考方法，突破思维定式。

3.自然渗透解决问题的步骤与方法

笔者认为，从一年级加减法教学开始，就要自然渗透解决问题的步骤与方法。

一是怎样理解问题。一年级开始就要逐步培养学生精准提取信息的能力。比如，图画、文字相结合的实际问题，就需要解读文字信息，有的题目还要从图画和文字中找到隐含的信息。有的题目有多余信息的干扰，要引导学生排除这些无关信息。还要注重从图画向文字的过渡，学生找到条件和问题后，要让学生说一说完整的题目，这样有助于学生整体把握要解决的问题和已知条件，感知条件与问题之间存在的数量关系。

二是怎样分析问题。简单实际问题教学中，画图是最常用、出现次数最多的一种分析方法，要让学生经历画图的过程，通过画图来厘清数量关系。还要重视学生解答问题习惯的培养，包括规范列式、正确运算、良好的书写等习惯，都需要在日常教学中一点一滴地培养。

三是怎样进行检验、回顾与反思。简单实际问题教学中，重视渗透运用相关的另一个数量关系来检验答案是否正确的方法，以及引导学生回顾实际问题的具体分析思路，体会分析方法的好处，从而实现举一反三。