小学数学建模教学的实施与分析

林昭峦

［摘  要］ 数学模型是联系生活实际与数学学科的桥梁，学生建构数学模型的过程既是将生活实际“数学化”的过程，又是学生的思维得以有效训练的过程。文章认为创设生活情境为建模的基础，抽象事物本质为建模的关键，渗透数学思想是建模的灵魂，解决实际问题是建模的拓展。

［关键词］ 模型；建模；数学思想

学生建构数学模型的过程既是训练思维的过程，也是“数学化”的过程。数学建模能有效地帮助学生发现数学、创造数学、形成解题技巧和发展数学核心素养等。在小学数学建模教学中，教师应从知识的本质与价值着手，进行深度剖析与思考，力求让学生感悟数学建模的过程，为形成良好的模型思想奠定基础。

一、创设生活情境——建模的基础

数学模型是联系数学知识与现实生活的桥梁，任何模型的获得都源自对实际生活的抽象。因此，教师要创设丰富的生活情境给学生感知知识再创造的机会，让学生在情境，中感知生活与数学的自然联系，为科学建模奠定基础。

建模之前，学生需要对模型的原有形态有一个大致的了解，只有掌握模型原有形态的特点，才能从真正意义上通过模型来简化问题。但是，小学生的生活阅历尚浅，认知水平不高，对生活实际问题的理解不够深刻，这些会导致学生从实际问题中抽象模型时出现障碍。想要在这方面有所突破，教师应组织学生参加社会实践活动，引导学生亲历生活实际，获得良好的生活体验，让学生主动获取相关的数学信息与材料，增强数学意识。

教师在创设问题背景时，应考虑学生的认知水平，分析学生是否对背景材料感兴趣。当然，创造性地使用教材也是一个好方法，教材是教学的主要依据，是学生赖以学习的根本。结合教学内容创设情境，既可以弥补只依靠教材教学所带来的枯燥性与抽象性，又能丰富学生的认知背景，为简化问题、建构模型的教学奠定基础。

案例1  “平均数”的教学

情境：某小学正在建造花圃，砖块堆放的位置影响了学生的正常通行。如图1，甲、乙两组学生准备将这些砖块清理掉，并在教师的组织下进行了1分钟的搬砖比赛。

问题：（1）通过读题审题，大家获得哪些信息？

（2）哪组搬得快？为什么？（从图1所提供的信息来看，甲组一共搬了15块砖，乙组一共搬了12块砖，显然是甲组搬的总量多，由此可确定甲组搬得快）

（3）若乙组来1名学生帮忙，他1分钟可以搬4块砖，此时乙组所搬砖块的总量就是16块，由此可判定乙组赢得了比赛，对吗？

（4）若你是甲组成员之一，对这个比赛有没有反对意见？为什么？

（5）比赛必须讲究公平，在人数不相同的情况下，不能用比总数的方法来确定比赛胜负。在人数不同的情况下，有没有办法来判断哪组搬得快呢？

（6）既然大家提出利用平均数来比较，究竟什么是平均数呢？（要求学生结合自身已有的认知经验进行解释）

（7）这里我们涉及两种（砖块数量与平均数）评判胜负的标准，你们觉得这两种标准在适用范围上有什么区别？

丰富的生活情境与平均数的意义有机地融合在一起，在激發学生探索欲的同时还将平均数的本质隐含在情境中。这个情境具有模糊性与开放性特征，学生不能在短时间内就完全认清情境的内涵。因此，教师通过分层提问的方式，激发学生的思维矛盾，让学生自主获得更好的评判标准，为平均数的出场做了充足的准备。随着问题的有序推进，学生的认知也随之深入。

此过程是帮助学生从常见的生活比赛场景中抽象平均数的过程，这不仅反映出甲、乙两组搬运速度的快慢，还让学生从中感知平均数的概念。通过生活情境导入，促使学生自主建构模型，初步认识平均数的意义。

二、抽象本质属性——建模的关键

让学生在教学活动中，经历观察、分析、比较、判断等过程，抽象出数学事物的本质属性是建模的关键，这也是数学建模最重要的环节。培养学生的能力是数学教学的主要目标，一直以来，能力立意的教学原则让教师越来越注重培养学生的自主概括与抽象能力，期望学生在学习过程中通过自主探索抽象出数学事物的本质。

案例2  “分数的初步认识”的教学

分数的本质是什么呢？这是本节课教学的重点与难点。为了引导学生自主抽象出分数的本质，笔者结合学生的实际情况，设计了三个环节来开展教学。

1. 铺垫

笔者利用多媒体的直观演示功能，展示盘子里装有1块蛋糕的图片，提出问题：这里有1块蛋糕，现在将这块蛋糕平均分给4个小朋友，每个小朋友能获得多少蛋糕呢？

生1：每个小朋友都可以获得这块蛋糕的1/4。

师：不错，大家是怎么想到1/4这个数的？

生2：结合我们的生活实际，将1个物品平均分成4份，那么每1份应该是原来这个物品的1/4，因此每个小朋友所获得的蛋糕为原蛋糕的1/4。

教师肯定了学生的说法，并用PPT展示具有典型意义的图片（如图2），让学生从中感知图形与分蛋糕情境类似的体验，强化学生对1/4的理解。

2. 思辨

笔者借助多媒体展示被布遮挡的蛋糕的图片，要求学生说一说布下的蛋糕该怎么分。

生3：我们可以将布下的蛋糕平均分成4份，每个小朋友1份。

师：这块布下面到底有多少蛋糕呢？我们一起将布揭开看一看（利用多媒体的动画功能，揭开布，展示布下的8块蛋糕），现在该怎么分呢？

生4：每个小朋友要得到这些蛋糕的1/4，但是有8块蛋糕……

生5：刚才图片展示了1/4的表达方式，但这里有8块蛋糕，貌似不能用刚才的图片来解释。

生6：其实我们可以将这8块蛋糕理解为原来的1大块蛋糕，现在我们依然把它们平均分为4份，每人获得其中的1/4。

生7：貌似可以这么理解，原来将1块蛋糕理解为一个整体，现在我们将8块蛋糕理解为一个整体，那么每个小朋友都可以获得这些蛋糕的1/4，同样也可以用图2来表示。

师：非常棒！生7提到“整体”这个词，特别有意义。确实，我们可以先将两次待分配的蛋糕理解成一个整体，然后将它们平均分为4份，那么每个小朋友所获得的量即为原蛋糕总量的1/4。

3. 提升

师：通过刚才的分析，我们解决了“布下蛋糕的总数为8块，将它们平均分给4个小朋友”的问题。假设盘子里有12块蛋糕，我们该怎么用图来表示这些蛋糕的1/4呢？

（学生画图，交流）

生8：通过分析，发现依然可以用图2来表达这12块蛋糕的1/4。

师：哦，此话怎讲？为什么可以通用图2这幅图？

生9：我们将这12块蛋糕理解为大长方形，4个小朋友每个人获得其中的1份，就是获得该长方形的1/4，因此用图来表达的形式是一样的。

师：综上，我们发现不论是1块蛋糕，还是8块、12块蛋糕，都可以用图2来表示其中的1/4这张图还能表达多少块蛋糕的1/4呢？

（学生交流）

生10：可以表示16、20、24、28、32……

师：总之，图2所代表的是一个整体，也就是说不论这个大长方形表示的是多少块蛋糕，若将它平均分为4份，则阴影部分所表示的是这些蛋糕的1/4。

随着教师循循善诱的引导与学生的自主探索，学生的思维经历“猜想—操作”的变化过程。随着各种观点的提出、辩论与分析，学生对“1块蛋糕的1/4”和“某些蛋糕的1/4”有了明确的认识。这个过程不仅凸显了数学中的“整体”的重要性，还让学生抽离了“蛋糕数量”这个非本质属性特征。随着认识的逐渐深入，学生抽象出分数的本质，成功地建立了1/4的直观模型，其思维能力在此过程中得以快速提升。

三、渗透数学思想——建模的灵魂

数学思想在数学学习中的重要性是不言而喻的，它是数学教学的精髓与灵魂。在数学建模教学中，教师应立足于学生的视角，通过各种手段渗透数学思想方法，力争让学生的思维在润物细无声的感悟与体验中不断加宽与加厚，形成各种数学思想方法，提高数学应用能力。

案例3   “简单的排列组合”的教学

本节课对于小学生来说确实比较抽象，为了让学生能明白排列组合的内涵，教师可以在本节课渗透分类讨论的思想方法，以引导学生进行有效推理，自主建构知识体系。

问题情境：小明到超市购买冰激凌，看到香草味的冰激凌标价为5元，他手中有1张5元、2张2元、5张1元的纸币，若购买1个冰激凌，有多少种付款方式？

（学生分组交流，将讨论结果填入表格1）

师：只有这几种方案吗？有没有遗漏？

（学生支支吾吾，无法确定）

师：现在我们假设小明依次按照5、2、1元的顺序付款，若将他手中所拥有的钱币根据其面值与张数排列，可得表2。

师：观察表2，现在你们觉得找全了没有？

生（齐声）：找全了！

师：为什么这么肯定？一定没有遗漏吗？

生：因为是按照顺序逐一尋找的，每种情况都考虑到了，不存在遗漏的可能。

原本杂乱无章的排序方法，随着教师巧妙引导而理顺了，学生的思维实现了从无序到有序的转化。分类讨论的过程让学生充分感知分类讨论思想的重要性。

四、解决实际问题——建模的拓展

小学生受认知水平与生活经验的限制，对生活事物的认识还比较肤浅。将课堂上所建构的数学模型用来分析生活实际中的数学现象，不仅能有效地激发学生的探索欲，还能拓展模型的应用范围，深化学生对模型的理解，为他们灵活应用模型奠定基础。同时，学生在感知学以致用的过程中，还能充分体悟到数学独有的魅力。

案例4  “抽屉原理”的教学

抽屉原理是有些学生学习的薄弱之处，其实只要学生在掌握模型的基础上，弄清知识的本质，这些问题并不难解决。

师：抽屉原理由德国数学家狄利克雷于1834年提出。我们以鸽子飞回笼子为例，有6只鸽子进入5个笼子，至少有几只鸽子会飞入同一个笼子？

生1：列式为6÷5=1…1，1+1=2，由此可确定至少有2只鸽子会飞入同一个笼子。

师：这个问题中的鸽子与笼子分别对应抽屉原理中的什么？

生2：鸽子与之前我们研究的小球相对应，而鸽笼则与抽屉相对应。

师：很好，这也是人们将“抽屉原理”称为“鸽笼原理”的原因。既然存在鸽笼原理、抽屉原理，那么我们将笔袋理解为抽屉，是否有笔袋原理呢？比如，讲台上有4个笔袋，5支铅笔，至少有几支铅笔在同一个笔袋中？

生3：至少有2支铅笔在同一个笔袋中。

师：若有4个零钱包，5张纸币，不论怎么分配，至少有几张纸币在同一个零钱包内？

生4：不论如何分配，至少有2张纸币在同一个零钱包内。

师：这是不是很有意思？抽屉原理可以有如此丰富的应用，它在我们生活实际中随处可见。其实，遇到此类问题，我们只要辨别出谁是“抽屉”，谁是“物品”，即可解决问题。比如，咱们班30个学生中至少有8名学生的生日在同一个季节，聪明的你们能否应用抽屉原理进行解释？

生5：综上所述，我们可将30名学生的生日视为“物品”，将四季视为“抽屉”，列式为：30÷4=7…2，7+1=8，因此30名学生中至少有8人的生日在同一个季节内。

师：非常好！在宋代的《梁溪漫志》中，曾运用抽屉原理来批驳“算命”。由此可见，数学模型由生活抽象而来，最终又应用到生活中去。这些模型应用在实际生活中时，显得更具生命力。

总之，在新课标的指导下，现阶段的数学教学应注重对学生模型思想与实践能力的培养，尤其是建模教学贯穿所有教育阶段。教师应高度重视建模教学的价值与意义，以学生的生活经验为出发点，寻找合适的素材协助学生建构模型，让学生获得可持续性发展的能力。