变换视角 众口能调——一节专题复习课的实践与思考

⦿ 河南省体育中学 王亚敏

⦿ 郑州市第一中学 崔亚利

解题教学作为数学教学的基础,其意义在于帮助学生学会应用数学知识、巩固数学知识、发现数学知识.作为学校教育实践者的一线教师,应从自身鲜活的教育实践出发,在数学教学中要培养学生思维独创性、深刻性与灵活性,养成独立思考的习惯.针对中考压轴题中常出现二次函数与角度结合的问题,提高复习效率让不同层次的学生皆有收获是我们追求的目标.本文中笔者以一节专题复习课“二次函数中的角度问题”为例,展示专题复习课能有效地让学生唤醒并保持记忆,同时进一步深化思维,使不同特色的学生均有收获和进步,实现众口能调的教学过程.

1 例题呈现

(1)如图1,P是二次函数图象上在对称轴右侧的一个动点,∠POA=∠POB,求点P的坐标;

图1

(2)如图2,如果一次函数图象与y相交于点C,点D在线段AC上,与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E,∠CDO=∠OED,求点D的坐标.

图2

2 例题分析

重点：初中数学教材中没有提到解析几何这样的名词,但是解析几何的基本思想——以数解形、以形助数——已经为学生所接受和习惯.中考数学压轴题往往与解析几何有关,此类题型中的角度问题也是中考的热点问题.综合运用简单的解析几何知识与平面几何知识解决问题成为大势所趋.

难点：这道例题综合考查学生对函数、方程等初中数学核心内容的掌握和运用情况.第(1)问的解决,最朴素的思路是直接设坐标直接求.但是这样困难重重,突破并不容易.那么换种思路,转向间接求,想办法先求出直线OP的表达式,再与抛物线表达式联立求点P的坐标.

3 学生的课堂反馈

3.1 第一类解法

直接求解,这也是多数同学思考的方向,但是能坚持下来并突破的人并不多.直接求解也分两个方向.

学生2:我能突破.

如图3,过点P作x轴的垂线,交OA于点M,交x轴于点N.

图3

点评：这个方法用到的角平分线性质定理教材中没有,属于补充内容,所以有一部分同学从这个方向突破有难度.

学生3:我千方百计写出OP的表达式,想通过联立OP的表达式和二次函数的表达式求出点P的坐标.而由∠POA=∠POB知∠POB=22.5°,我知道tan22.5°就是kOP,但是,这不是特殊角怎么办?

学生4:tan 22.5°可以通过构造法求出来.

图4

点评：这个方法思路直接,但需要突破非特殊角的正切值,有些同学解决起来有困难.不过,对提出问题的同学仍要提出表扬,毕竟在黑暗中摸索了一段距离,有了强烈的认知冲突,再得到解决办法,不仅印象深刻,思维也得到了延伸.

3.2 第二类解法

放眼射线OP乃至直线OP,只要直线OP上能够出现一个特殊点(方便求出其坐标),就能定位OP.这一类方法应该是命题者的本意.此类方法也有两种.

学生5:我注意到OA⊥CB,设直线AB与PO交于点G,如图5,过点Q作QG垂直于x轴,垂足为G,则△OAQ≌△OGQ.

图5

图6

点评：这两个同学的思路非常好,变换视角,不是紧盯着点P不放,而是放眼望去,寻找直线OP上更好求的点,曲线救国.这类办法综合运用了解析几何与平面几何的知识,很好地考查了初中数学的核心知识,这两种方法也是出题人的本意.

3.3 第三类解法

学生得到的第三类解法如下.

图7

点评：这个方法虽然超出了初中课标范围,但事实上班级中至少有三分之一的同学能够掌握,并且很好用.学有余力的同学应该掌握.

事实上,在十几年前的初中教学中,高中的两点间距离公式、斜率计算公式、中点坐标公式、互相垂直的两条直线(斜率存在)的斜率之积等于-1等知识是直接渗透给初中生的,这是心照不宣的事实.负责中考命题的团队与一线教师团队,如同设置密码和破译密码的对台戏似的,在中考实践中往往能碰撞出意想不到的思维火花.了解一线教师真实的教学情况,知道实践中已经走得有多远,负责中考命题的团队才能准确定位翻新花样的中考题应该带我们到哪里去.教材改革、新课程标准、中考导向等合力之下,一线教师课堂的真实状态也应有其参考价值.

4 利用思维导图,整理第(2)问解题思路

思维导图是理清思路和加深记忆的工具,能够激发创意、节省时间,让学生有序地去学习.通过思维导图(如图8)整合学生的解法,让众多解法条理清晰、可视化,归类整理.解题教学中的这个环节充分展示了思维过程,关注各类学生的思维生长点,对不同层次的学生拓展思维、提升解题能力大有裨益.

图8

第(1)问的思维导图略,第(2)问的思维导图如图8所示.

5 教学总结与反思

解题教学中教师的精讲和点评很重要,这需要教师精心备课.学生给出的解法多种多样,教师随时都要把握学生解法的精髓.教学中,针对学生的第一类解法,通过点拨,帮助和鼓励他们把问题解决彻底.很显然第一类解法不是出题人的本意,于是引导学生转换视角.第二类解法,不是盯着点P不放,而是放眼望去,让特殊点跃入眼帘,以形助数得到直线OP上特殊点的坐标,然后得到直线OP的表达式,再联立方程组以数解形,这是中学数学的核心内容之一.第三类解法是针对学有余力的学生,两条直线的夹角正切值公式在解决角度问题往往举重若轻,比如第(2)问的解决就可用到.第三类解法与第二类解法是殊途同归,最后都是联立方程组以数解形.

数学核心素养的提升是一个过程,它需要在多角度的深切体验中深化.具体知识与问题是数学思维的载体,变换视角解决同一问题并发现这些方法间的关联与统一是提升思维品质常用的策略——通俗来说就是办法总比困难多.变换视角,经历从不同角度寻求分析问题与解决问题的方法的过程,体验解决问题的多样性,掌握分析问题与解决问题的一些基本方法.解题教学中,教师的升华总结、视角归类可以让不同层次的学生都打开思路,选择适合自己的方法走下去,同时使学生感受换一种眼光看问题,数学核心素养得到了提升,思维的深刻性、广泛性与创新性得到拓展.如果真对提高学生思维能力有所帮助,则它不仅仅是一种方式和技巧,说它是一种智慧也并不为过.变换视角解题,改变课堂上有人吃不饱、有人消化不了的现象,各层次学生博采众长均有收获,使众口难调的课堂变得众口能调.