初中数学集中思维能力培养的教学策略

⦿江苏省靖江市新港城初级中学 朱 淋

集中思维与发散性思维相对,属于一种聚合性思维,是将不同角度信息中的本质特征提取出来,通过逻辑思考、有序整合,集中解决问题的一种思维方式[1].在学习中集中性思维与发散性思维同样重要.发散性思维有利于发展学生的数学想象能力和创新意识;集中性思维是推动数学逻辑思维能力发展的有效思维形式,有利于在解决问题过程中进行抽象和概括,有利于数学概念的形成和学生认知能力的发展.如图1,在解决数学问题的思维过程中我们可以有效感知集中思维的价值.

图1

本文中结合教学实践,阐述在数学课堂教学中培养学生集中思维的教学策略,以促进学生核心素养的发展,供各位同仁参考!

1 总结归纳,发展集中思维能力

教材中的例题和习题是讲授知识、提升学生解题能力的重要载体.但例题教学的作用还不止于此,教师应借助例题教学渗透数学思想,提炼数学模型,培养学生总结和归纳的能力.归纳是数学研究中发现数学结论的重要途径,引导学生由特殊到一般进行归纳总结,获得结论,是符合学生思维习惯的一种推理方式,有利于学生集中思维能力的发展.

案例1“直线与圆的位置关系二”例题变式

已知△ABC是圆O的内接三角形,∠CAD与∠ABC相等,请判断直线AD与圆O的位置关系,并说明理由.

生1:假设内接三角形ABC为直角三角形,圆心O在三角形的一条边上,如图2,AB为圆的直径,直线AD与圆O相切.

图2

师:很好,此时三角形是一种特殊的三角形.如果△ABC为锐角或者钝角三角形,圆心O与三角形的位置关系是什么样的?请尝试将图形画出来.

生2:假设内接三角形为锐角三角形,如图3,圆心O在△ABC的内部;若内接三角形为钝角三角形,如图4,则圆心O在△ABC的外部.

图3

图4

师:很好!观察这几个图形,我们可以发现直线AD与圆O都相切.那么,弦切角有什么结论呢?

生3:因为∠CAD与∠ABC相等,所以弦切角与它所夹的弧所对的圆周角相等.

师:总结得非常到位!在遇到圆的切线问题时,可以通过弦切角作“切直径”寻找解决路径.

本案例主要讨论直线与圆的相切问题,教师引导学生由直角三角形到一般三角形进行探讨,渗透了从特殊到一般的研究方法,化繁为简,逐渐明晰解题思路,进而解决问题.最后,教师还引导学生进行总结归纳,获得一般性的数学结论,这一总结归纳过程蕴含着数学猜想、推理和证明的研究方法,是研究数学问题的一般过程.由此在掌握数学知识的基础上,更好地发展学生的思维能力,培养学生的创新意识.

2 抽象概括,发展集中思维能力

抽象与概括能力是数学学习的关键能力,数学概念的形成,数学定理、命题的发现都是从具体问题中抽象概括而来的.抽象是从具体问题中提取本质特征,发现一般性的规律,而将一些非本质的和个性化的特征舍去的思维过程.数学概念和定理的学习,不仅仅要让学生记住相关的知识内容,更重要的是让学生在理论的推导过程中体验知识的形成过程,使抽象思维与概括能力得到有效锻炼,从而提升集中思维能力.

案例2“函数”概念的教学

师:请大家依次完成以下三道例题.

欧阳锋双腿发软，就差没跪在地上：“对不起，大哥，大姐，都怪我，我喝醉了酒，做了不该做的事，可我真的不是故意的，请原谅！”

例1根据圆的周长与半径的关系式,完成表1.

表1

例2假设一辆汽车行驶的速度为60 km/h,设行驶的路程和时间分别为s(单位:km)和t(单位:h),请写出s与t的关系式.

例3图5是由火柴棒拼出的系列图形,若第n个图形由n个正方形组成,写出火柴棒的根数y与正方形个数n之间的关系式.

图5

(学生独立完成以上例题.)

师:观察例1～3的关系式,可以发现它们都体现了事物的一个变化过程,并且每个关系式都存在两个变量,那么这些变量之间存在什么关系呢?

生1:如果其中一个变量的取值发生变化,另一个变量都有唯一确定的值与之对应.

师:很好!这就是一种函数关系,由此可以提炼出函数概念的关键点.(1)函数描述的是一个变化的过程;(2)存在两个变量;(3)变量之间具有对应关系.

“函数”概念对学生来说较为抽象,倘若将之生硬地输出,学生很难真正理解概念的本质.本案例中通过不同的实例引导学生观察和分析,归纳不同实例的本质属性,进而抽象出函数的概念,提炼出函数的本质特性.在此基础上可以通过练习进行巩固强化,帮助学生更好地理解和掌握概念.这种抽象与概括数学定义的过程不仅使学生完成了认知任务,同时发展了思维能力,使学生的集中思维能力朝着更高层次发展[2].

3 类比联想,发展集中思维能力

思维的起点在于联想,而联想产生于类比.数学知识中有许多表面类似而本质不同的内容,在学习过程中可以采用类比和联想的方法.教师引导学生结合已有的知识将以往类似的问题与新的问题进行对比、分析和联想,通过类比,找到共同之处,进而寻找解题的路径,提高学习效率,发展思维能力.

案例3几何问题

(1)如图6,在正方形ABCD中,AE与BC相交于点E,作DF与AE垂直并与AB相交于点F,求证:AE=DF.

图7

图8

数学教材中不同章节的知识之间可以相互进行类比,如一元一次不等式可以与一元一次方程进行类比,相似三角形知识可以与全等三角形知识进行类比.同一道题的前后问题也能通过类比法进行解决.案例3中第(1)问与第(2)(3)问虽然在具体求解上不同,但是解题步骤和思路具有相似性.第(2)问与第(1)问可以进行类比,通过平移,第(2)问与第(1)问的图形是一样的,设问看似是从求数量相等转变为求比值,实际上仍然是线段之间的数量关系;第(3)问可以类比第(2)问的解法,同样想到平移的方法,只不过将全等图形变成了相似图形进行求解.本案例通过解题教学使学生学会分析对比、联想概括,提升解题能力.

综上所述,集中思维体现了抽象和综合性的思维过程,有利于促进学生理解数学概念,形成理性观点,有效推动学生逻辑思维的发展.因此,教师在教学中要不断研究实践,引导学生进行分析研究,体会数学结论形成的思维过程,发挥集中思维的积极作用,提升学生的思维品质,从而更好地发展核心素养.