基于“数形结合”思想的小学数学深度学习的探索

江露露

【摘要】如何让小学生理解抽象的数学概念、数学规律，“数形结合”就是他们学习数学的支架。文章通过“以形助学”“以数解形”“数形结合”的方法，促进学生深度学习。

【关键词】小学数学；“数形结合”；深度学习

深度学习，已经成为课堂教学改革的主流。深度学习不但要求学生把握数学知识的本质，更要把握数学知识的结构，知道是什么和为什么。然而，在教学实践中，许多学生对数学知识的学习只是求于表面，实际上并不知道概念的本质属性和公式、法则的来龙去脉。那么如何在有限的时间内，让小学生的学习更有意义呢？笔者近几年的教学研究发现，利用“数形结合”的数学思想不仅可以帮助学生形象理解，更能促进学生思维的提升。

一、“以形助学”，让学生深刻理解知识内涵

在教学“除数是整数的小数除法”中，笔者尝试利用“数形结合”的方法来解释算理。此课作为小数除法的开端课，在整个单元中有着重要的意义。对于“5.34÷3”该怎么计算，教材中通过单位转化和小数的组成这两种方法，将被除数转化成整数，最后呈现竖式解法。在竖式中，学生最容易出错的地方便是商的小数点的定位问题。对此，笔者在两个班级分别用了两种不同的教学方式，第一个班根据教材编排进行教学并设计了如下作业：

你能解释一下为什么商是1.78，而不是178呢？

在这份作业中，66.7%的学生知道竖式中的“3”“21”和“24”表示的含义，46.7%的学生结合之前学习过的小数的意义和单位转化来解释小数除法中“商的小数点要和被除数的小数点对齐”这一道理，17.8%的学生通过估算给出了解释。但让人感到困惑的是，班级中还有约三分之一的学生知其然，但不知其所以然。

为此，笔者通过对教材中的例题进行适当改编和补充，在另一个班级进行了另一种教学方式：

1.出示情境：小胖、小巧、小丁丁想每人做一个手工送给小亚，现在一起买了一包5.34元的彩纸。如果3人平均摊（AA制），平均每人需要付多少元？

2.结合已有知识解决5.34÷3=（  ）。

（1）估算。

（2）小组讨论：5.34÷3=（  ）。

（3）小组反馈。方法一：单位转换；方法二：小数的组成；方法三：534÷3÷100。

（4）用小数的组成（方法二）试一试：完成课本P18。

①12.8÷8=（  ）。

12.8是（  ）个0.1，（  ）÷8=（  ），（  ）個0.1是（  ）。

②8.54÷7=（  ）。

（  ）是（  ）个（  ），（  ）÷（  ）=（  ），（  ）个（  ）是（  ）。

（5）说一说这些方法的共同点：都是将小数除法转换成整数除法。

3.尝试竖式计算并交流反馈：使用除数是整数的小数除法算理。

4.小结归纳除数是整数的小数除法的计算方法。

在理解竖式算理时，媒体动态演示将5个1、3个0.1、4个0.01平均分成3份（图1）的画面。首先，将3个1平均分成3份，每份即1个1。接着，将剩下的2个1转换成20个0.1，与之前的3个0.1组合，即将23个0.1再次平均分成3份，每份是7个0.1。然后，将剩下的2个0.1转换成20个0.01，并与4个0.01合并成24个0.01，每份又分得8个0.01。在具体情境中进行了三次动态的“分与合”，有效实现了竖式的意义建构。

在这一学习活动中，学生结合图形的演示去理解小数除法的计算过程，理解除数是整数的小数除法竖式计算的关键。第一，当整数部分有剩余时，可以将它转换为以0.1为计数单位的数，并将其与十分位上的数合并成几个0.1，以此类推。第二，理解转化思想，计算除数是整数的小数除法本质上就是将其转换成整数除法进行计算。第三，在图形“分与合”的过程中，构建了竖式与图形之间的关联，理解商的每一个数位上的数字表示的含义，商的小数点要和被除数的小数点对齐的道理。

由此可见，“以形助学”能够把看不见、摸不着的思维过程以画面的形式呈现出来，不但能帮助学生深刻理解，更能让学生在学习过程中产生兴趣，实现深度学习。

二、“以数解形”，让学生深度参与知识形成过程

“以数解形”主要借助于“数”的精确性、程序性和可操作性来阐明“形”的属性及用代数方法解决几何问题等。

如在三年级第一学期“三角形分类”的教学中，出示以下6组小棒，哪一组的小棒可以围成三角形？

（1）3cm、4cm、5cm（2）3cm、6cm、9cm

（3）5cm、5cm、5cm（4）4cm、4cm、9cm

（5）4cm、5cm、7cm（6）3cm、3cm、2cm

学生围绕核心问题：“怎样的三根小棒才能围成三角形”展开活动。在拼摆和观察的过程中，发现能围成三角形的只有第（1）、第（3）、第（5）组。另外三组，因为某一根小棒长度较短，所以不具备围成三角形的条件。接着，引发了学生的猜想和思考“只有在每组中任意两根小棒的长度和大于第三根小棒长度的前提下，才能围成三角形”。为了验证猜想，学生再次聚焦这些数据，随后例举更多的数据进行验证，最终归纳发现其特点。将严谨的“数”作为理论的有利支撑，为了让论点更有说服力，学生再次反向验证了另外三组不能围成三角形的数据。最终得出结论：“三角形任意两边之和大于第三边”。在拼摆、观察、猜想、探究、验证的过程，用数发现三角形三边之间的特殊关系，进一步提高学生的数学素养。

三、“数形互助”，让学生自然分解难点

由于教师在教学时没有凸显“乘法分配律”与其他运算定律的本质性区别，导致学生越学越糊涂。笔者也在设想，能否借助学生的已有经验，尝试解释其中的道理。基于以上思考，在教学本课时，以教材中的例题为背景，设计如下教学环节：

出示例题1：植树节到了，果园里要种一些苹果树和梨树，每行种6棵，苹果树种了3行，梨树种了2行，为了让小朋友看得更清楚，老师将这些树用点子图来表示。请问苹果树和梨树一共有多少棵？如何列示？

1.通过点子图验证

（媒体呈现树图—点子图）

（1）展示方法。

方法一：（3+2）×6  方法二：3×6+2×6

=5×6              =18+12

=30（棵）          =30（棵）

（2）交流反馈。生1：先算出有一共有3+2=5行，再乘6得到总棵树。也可以分别计算苹果和梨的棵树，3×6是苹果树的数量，2×6是梨树的数量，最后把它们合并起来得出总棵树。生2：如果把一棵果树想象成一个点，那么从点子图上看到，每一行有6个圆，一共有这样的5行，所以一共有5个6。第二个算式则是分开计算的，红圆有3个6，黄圆有2个6，3个6加2个6也就是5个6。

（3）小结归纳：借助点子图，从几个几加几个几等于几个几的角度去分析，也能说明两种方法解决问题都是正确的。

2.通过面积图验证

出示例2：我校的花园是一个长方形，原来长6米，宽3米，扩建后，长不变，宽将增加2米，扩建后的花园面积有多大？你能用两种方法解答吗？

（1）交流。生：（3+2）×6=6×3+6×2。

（2）思考：这两个算式结果相等吗，为什么？生：第一种算法，先求现在的宽，再根据长方形面积公式求出扩建后的花园面积。第二种分别求出原来花园的面积和增加部分的面积，最后求两者之和，合并起来也是大长方形的面积。

（3）追问：如果将（3+2）×6这一算式进行展开，你们发现了什么？

（4）结合媒体在方格图上演示。

生1：（3+2）+（3+2）+（3+2）+（3+2）+（3+2）+（3+2）。

生2：（3+3+3+3+3+3）+（2+2+2+2+2+2）。

生3：6个3连加就是6×3，6个2连加也就是6×2。

（5）归纳小结：乘法分配律的特征以及字母表达式。

首先，通过具体的情境，从实物图逐渐抽象成点子图（图2），让“形”对“数”的实际意义给予了合理的解释，为后续建立乘法分配律模型埋下伏笔。其次，通过面积图让学生在脑海中初步感受了乘法分配律的特点，并顺势将长方形的长和宽改为字母（图3）。最后，再次回到乘法分配律的数学模型，将面积图与乘法意义建立联系，感受乘法分配律的内涵。在这一教学过程中，笔者利用几何模型和数学模型，帮助学生从不同角度发现乘法分配律的特点，难点自然化解。

四、“数形结合”，让学生掌握学习方法

在几何教学中，如何让抽象的题干变得具体，这就需要学生“数形结合”，利用直观的图示帮助其获得学习的路径，找到解决问题的方法。学生在审题的过程中，逐步根据题目的信息画出具体的图示，让复杂繁琐的题目变成一幅清晰、简单的“图示说明书”，也让数学学习更有趣、更直观。

例如五年级第二学期“体积与容积” 中有这样一题：有一个长12.5cm，宽10cm，高8cm的长方体水缸，原来水面高度为6cm，放入一个棱长为5cm的铁块后，现在水面高度是多少厘米？

两位学生在草稿上给出了不同的图示：

本题主要考察的是学生对于体积与容积的掌握情况，对于五年级的学生来说，具有一定难度。第一位同学是班上一位学习能力中等的孩子，对于此类较复杂的几何题，她没有直接写算式，而是在草稿上（图4）分别画了铁块进入水缸前后的草图。此同学根据所画的两幅图，先算出了水缸中原有水的体积，再算出加入铁块后，水缸中物体的总体积，最后求得现在水的高度。第二位学生的草稿（图5）与第一位同学不同的是，该学生只画了一幅示意图。在计算时，也并没有算出水缸中现有物体的总体积，而是只求出了铁块的体积（水缸中物体增加的体积），最后根据体积公式，得出了水面上升的高度。

可以看到兩位同学虽然解题方法不同，但都是借助几何图形的直观性，在头脑中形成有关体积和容积的表象，将抽象的数学概念转换为形象的图形表征，以“数形结合”的方式找到了学习路径，从而作出准确判断。

相信教师在日常教学中经常合理使用“数形结合”，孩子们会潜移默化地感受到“数形结合”的魅力，自觉地应用到自己解决实际问题的过程中，学习的主体性、能动性、独立性会不断生成、发展和提升，实现主动的深度学习。

总之，深度学习是一种浸润体验、建构知识、反思消化的学习过程。在深度学习中，教师首先要转变自己的教学观念和教学行为，抓住教学内容的本质属性，把握知识间的内在联系，设计合理的“数形结合”教学内容，发挥学生的主体作用。只有师生的倾情投入，深度学习才能真正发生。

【参考文献】

[1]曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读之四——几何直观（上） [J].小学数学教师，2013（06）.

[2]张诗德，廖云，张文勇.探索“导主和谐”教育模式，培养师生发展性学力[J].北京教育学院学报，2003（02）.