集合的概念及运算中的易错点剖析

■何 敏

集合的概念与运算比较抽象,同学们初学很容易犯错。下面对集合中的易错点进行剖析,希望对同学们的学习有所帮助。

易错点1：忽视集合元素的互异性与题设条件

例1若集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},A∩B={9},则a的 值 是( )。

A.-3,3,5 B.-3,5

C.3,5 D.-3

错解：由A∩B={9},可得2a-1=9或a2=9,即a=±3或a=5。应选A。

剖析：上述解法忽视了集合元素的互异性和已知条件。

正解：由题意得a=±3或a=5。当a=3时,A={-4,5,9},B={9,-2,-2},与集合中元素的互异性矛盾;当a=5时,A∩B={9,-4},与已知条件矛盾。所以a=-3,应选D。

提醒：解决含参数的集合问题时,不能忽视元素的互异性与题设条件,以免出现增解。

易错点2：集合关系中忽略空集的讨论

例2已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-mx+2=0},且A∩B=B,求实数m的取值范围。

错解：由题意得A={1,2}。由A∩B=B,可得B⊆A,所以1,2 是方程x2-mx+2=0的根,所以m=3。

剖析：上述解法认为集合B={x|x2-mx+2=0}中有两个元素,忽略了B为空集和两等根的情况。

正解：由B⊆A,可对集合B进行分类讨论,即B=∅,B={1}或B={2},B={1,2}。

提醒：解决有关A∩B=∅,A∪B=∅,A⊆B等问题时,容易忽视空集的情况而出现漏解,这就需要注意特殊情况下的探究。

易错点3：忽视集合转化的等价性

例3已知集合A={x|ax2+2x+1=0}为一元集,求a的值。

错解：集合A为一元集,即方程ax2+2x+1=0有两个等根,由Δ=4-4a=0,可得a=1。

剖析：上述解法认为所给方程为一元二次方程,忽视了对二次项系数的讨论。

正解：当a≠0时,由Δ=4-4a=0,可得a=1;当a=0 时,可得,符合题意。故a=1或a=0。

提醒：在进行集合转化时,要注意转化的等价性,否则就会产生增解或漏解。

易错点4：忽视补集思想的应用

例4设集合,3∉P,那么实数a的取值范围是_____。

错解：初看本题,往往会感觉无从下手,不知道从其反面逆向思维,导致无法解决。

剖析：从反面入手,利用元素和集合之间的关系切入,构建不等式求解。

正解：由P= {x|ax+2＞a},可得∁RP={x|ax+2≤a}。因为3∉P,所以3∈∁RP,所以3a+2≤a,所以a≤-1。故实数a的取值范围是(-∞,-1]。

提醒：这种在正向思维受阻后改用逆向思维的思想,就是数学上的补集思想。