充分条件、必要条件判断的五个途径

■顾 艳

充分条件、必要条件的判断与应用贯穿于高中数学的始终,是高中数学中最基本的内容之一。下面结合实例,就充分条件、必要条件的常见判断技巧与方法加以剖析,意在“抛砖引玉”。

一、特值法

特值法判断充分、必要条件时,直接通过特殊值的选取,代入分析与判断。特值法的关键是起到筛选作用,利用特殊值来确定不成立问题,由此判断命题之间的推不出关系。

例1设a,b是实数,则“a＞b”是“a2＞b2”的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

分析：直接选取特殊值判断,进而确定命题成立的条件。

解：当a＞b时,如a=0,b=-1,a2＞b2不成立;反之,当a2＞b2时,如a=-1,b=0,a＞b不成立。所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件。应选D。

由于特值法判断充分、必要条件的片面性和局限性,经常用于判断命题不成立时的情况,而命题成立时就不能用特值法了。

二、定义法

定义法判断充分、必要条件时,直接判断“若p,则q”和“若q,则p”的真假情况即可。定义法的关键是看由条件推出结论,还是由结论推出条件,还是互相推出。

例2(多选题)下列结论中正确的是( )。

A.“x2＞4”是“x＜-2”的必要不充分条件

B.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件

C.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件

D.“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件

分析：通过不等式的求解、三角形的形状的判断、代数关系式的值,以及数的性质特征等,结合充分、必要条件的定义,进而确定结论的正确性。

解：A 中,x＜-2⇒x2＞4,但x2＞4⇔x＞2或x＜-2,不一定只有x＜-2,A 正确。B中,AB2+AC2=BC2⇒△ABC为直角三角形,反之,若△ABC为直角三角形,当B或C为直角时,不能推出AB2+AC2=BC2,B错误。C中,a2+b2≠0⇒a,b不全为0,反之,由a,b不全为0⇒a2+b2≠0,C 正确。D 中,当x2为无理数时,x为无理数,反之不成立,D 正确。应选ACD。

定义法判断充分、必要条件的本质就是判断两个命题之间的推出关系。

三、集合法

集合法判断充分、必要条件,就是利用命题中对应集合的包含关系来分析与求解的。集合法的本质是回归命题的集合本源,借助所对应的集合加以转化求解。

例3设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

分析：利用集合法的思维切入,结合集合性质进行正向推理判断,再利用集合中的Venn图,进行逆向推理判断。

解：若存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC,则可以推出A∩B=∅。

若A∩B=∅,由Venn 图(如图1)可知,存在A=C,同时满足A⊆C,B⊆∁UC。

图1

所以“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充要条件。应选C。

集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},若A⊆B,则p是q的充分条件;若A⊇B,则p是q的必要条件;若A=B,则p是q的充要条件;若AB,则p是q的充分不必要条件;若AB,则p是q的必要不充分条件。

四、等价法

等价法判断充分、必要条件,就是利用原命题与其对应的逆否命题的等价关系来分析与求解的。

例4给定两个条件p,q,若¬p是q的必要不充分条件,则p是¬q的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

分析：利用“¬p是q的必要不充分条件”无法直接判断,通过对逆否命题的判断,结合等价关系可使问题迎刃而解。

解：因为¬p是q的必要不充分条件,所以q⇒¬p,但¬p⇒/q。其逆否命题为p⇒¬q,但¬q⇒/p。所以p是¬q的充分不必要条件。应选A。

等价法判断充分、必要条件的本质就是建立原命题与其逆否命题之间的关系,即从逆向思维进行分析与判断。p是q的充分不必要条件(必要不充分条件、充要条件),等价于¬q是¬p的充分不必要条件(必要不充分条件、充要条件)。

五、传递法

传递法判断充分、必要条件,就是利用充分、必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn。传递法是判断含有三个及以上命题之间的关系时必须采用的一种基本方法。

例5已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q成立的( )。

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

分析：通过命题p、q、r、s之间的递推关系,结合传递性,可得p与q之间的递推关系。

解：依题意得p⇒r,r⇒s,s⇒q,且r⇒/p,结合传递性得p⇒r⇒s⇒q。因为r⇒/p,所以q⇒/p,所以p是q成立的充分而不必要条件。应选A。

若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“p⇒q且q⇒r”,所以“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)。传递法判断充分、必要条件时,要正确构建命题间的链接,同时考虑相互之间是否等价。

设甲是乙的必要条件,丙是乙的充分但不必要条件,那么( )。

A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件

B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件

C.丙是甲的充要条件

D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件

提示:甲是乙的必要条件,所以乙是甲的充分条件,即乙⇒甲。丙是乙的充分但不必要条件,则丙⇒乙,乙⇒/丙,显然丙⇒甲,甲⇒/丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件。应选A。