在立几教学中引导学生构造正方体①

吴凯红 朱胜强

(南京外国语学校 210008)

立体几何是中学数学教学中的难点之一,这其中很重要的一个因素是立体几何学习需要更多的直观想象.虽然平面几何与立体几何同为几何,但平面几何图形中所见几何元素的关系,一般都是它们之间的真实关系.而立体几何图形则是在二维平面中描述三维空间的几何对象,所见几何元素间的关系一般是空间对象在一定的直观画法下得到的二维平面关系,真实的空间关系需根据相应的直观画法原理逆向直观想象获得.学习立体几何时,直观想象力的暂时不足自然地会影响学生对问题的理解与思考,处理不当,有可能使学生产生畏惧心理,不利于后续学习.

利用几何图形描述问题,是借助几何直观理解问题及运用空间想象认识事物的基础.未能选择恰当的图形揭示研究对象的特征,常成为问题思考无法深入的直接原因.如何帮助学生成功跨越这一障碍呢?在这个问题的解决上,正方体的作用怎么强调都不为过.

正方体是空间图形中最特殊且内涵极其丰富的几何图形,它享有“万能模型”的美称.正方体是空间坐标架的基础,自然是立体几何教学的一个关键出发点.此外,它还有如下四个特征.[1]

(1)正方体是学生生活中较早接触和相对熟悉的空间图形,从其直观图出发,易于展开空间想象,形成正确的空间认知.借用它进行立体几何教学,有助于学生观察点、线、面位置,建立空间概念,克服畏难情绪,降低思维难度.

(2)正方体能完美体现立体几何核心知识.正方体包含了众多空间基本的线线关系、线面关系、面面关系,基于正方体模型,即可把立体几何中的基本概念与基本定理梳理清楚.

(3)对正方体进行伸压变换可以得到长方体,进行切截、割补,可以得到各种各样的柱体、锥体、台体等,既可以拓展、丰富立体几何的研究空间,又可揭示图形及知识间的内在联系.

(4)正方体是探索解题思路的重要突破口.很多立体几何问题由于线面关系复杂或图形不容易画出,容易导致思路阻塞,借助正方体模型,可以把研究对象置于更直观的背景中,从而便于认清问题的本质属性.

虽然正方体在立体几何学习中所能发挥的积极作用已为大家所知,但在实践中也常常发现学生缺乏借助正方体思考问题的意识.这提醒我们,在教学中需要引导学生,让学生学会构造正方体并借助正方体探究立体几何问题.下面结合具体问题谈一点做法体会,以期与大家交流探讨.

1 利用正方体中异面直线关系

正方体中几乎包含了空间点、线、面间所有类型的位置关系.立体几何中,通常用线段表示直线,用平行四边形表示平面.当考察的对象较少,关系较简单时,按书本介绍的方式来处理基本能将问题描述清楚.但如果考察的对象较多,特别是遇到像异面直线这样相对复杂的关系时,能否用恰当的方式刻画问题直接影响空间想象的效果.此时,正方体不失为一种理想的选择.

例1已知三条直线两两异面,能与这三条直线都相交的直线有( ).

A.0条 B.1条 C. 2条 D.无数条

分析异面直线在直观图中所见到的是相交或平行的线,刻画两条直线的异面关系,通常借助一个平面加以衬托.当三条直线两两异面时,虽然也可以用一个或两个平面衬托,但进一步确定能与它们都相交的直线时,就显得困难了.这时可启发学生联想,有没有熟悉的空间图形中存在着两两异面的三条直线的呢?

正方体的棱所在直线中存在着多种位置关系.图1所示正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB,B1C1,DD1为三条两两异面的直线.因此,可以考虑是否存在与这三条直线同时相交的直线?若存在,有多少条?

图1

不妨将在空间找线的问题转化为在平面内找线的问题.在直线AB上取一点E,得平面EDD1,使该平面与直线B1C1相交,记交点为G.则直线EG与直线DD1在同一平面内,当它们不平行时,必定相交.此时,直线EG便是与直线AB,B1C1,DD1都相交的直线.改变点E的位置,可得无数条满足条件的直线.因此,只能选择D.

问题解决后,还可进一步引导学生提出问题:已知四条直线两两异面,是否一定存在与这四条直线都相交的直线呢?

仍可在正方体框架中思考.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知AB,B1C1,DD1,A1C是四条两两异面的直线.是否存在与这四条直线都相交的直线呢?

在直线AB上取一点E,得平面EDD1.使该平面与直线B1C1及直线A1C分别相交,记交点分别为G,K(如图2).则仅当E,G,K三点共线,且三点所在直线与DD1不平行时,满足条件的直线才存在.直观感觉上,似乎难以保证这样的直线存在,能否定它的存在吗?

图2

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,假设存在直线l与直线AB,B1C1,DD1,A1C都相交.将正方体ABCD-A1B1C1D1绕直线A1C旋转120°,记直线l旋转后所得直线为l′,则l,l′及直线A1C交于同一点.旋转后直线AB,B1C1,D1D顺次轮换(如图3).所以,l′与直线AB,B1C1,DD1,A1C也都相交,且各交点都不在l上.这说明这四条直线都在相交直线l,l′确定的平面内,这与它们两两异面矛盾.因此,这样的直线l不存在.

图3

图4

在立体几何中研究一些对象之间较复杂的关系时,可以充分利用正方体中已有的线面关系来呈现,然后在正方体框架的衬托下展开思考.当然,这样研究往往会将原有问题特殊化.不过,这种特殊化既可以为一般性思考提供可供参考的方向,也可为否定猜想提供有用的反例.

2 利用正方体中的垂直关系

空间两条平行直线,在直观图形中仍可用平行线表示.但空间两条垂直的直线,在直观图中对应的两条线不一定还垂直,相应地线面垂直、面面垂直也存在着类似的情况,这常使学生在遇到空间与垂直有关的问题时觉得不太适应.正方体中有着丰富的垂直关系,既有线线垂直,线面垂直,又有面面垂直.因此,在探索与垂直相关问题时,借助正方体常可化难为易.

例2一个二面角的两个面分别与另一个二面角的两个面垂直,这两个二面角的大小是否一定相等或互补?

分析学生对此问题常作出肯定回答.产生错误的主要原因是将空间问题与平面中的问题类比所致.即使学生被告知错误后,仍无法找到错误的原因.因为学生画不出反例图形来作出合理解释.

怎样引导学生发现呢?可在正方体ABCD-A1B1C1D1中展开思考.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,先确定一个二面角,如二面角A-BC-B1.容易看出,二面角A-A1D1-B1的两个面分别与该二面角的两个面垂直,这两个二面角符合相等或互补的关系.是否存在不同的可能呢?

这就要寻找与面ABCD及面BCC1B1分别垂直的平面构成二面角.为此,先找与这两个面垂直的直线.易知AB⊥平面BCC1B1,AA1⊥平面ABCD,所以过AB的平面与过AA1的平面构成的二面角符合要求.

比如,在棱BC上任取一点E,可得经过AA1的平面AA1FE,它与经过AB的平面ABB1A1构成二面角E-AA1-B,其中∠BAE为二面角的平面角.当E在BC上移动时,二面角E-AA1-B的大小不断变化,但始终有平面AA1FE⊥平面ABCD,平面ABB1A1⊥平面BCC1B1.这样便得到了反例图形.

上述反例图形中,有一个二面角是直二面角.能构造出让两个二面角大小都可以改变的反例图形吗?

注意到BC⊥平面ABB1A1,所以过直线BC的平面也都与平面ABB1A1垂直.在棱A1B1上任取一点G,得二面角G-BC-A,∠ABG为其平面角.在二面角G-BC-A与二面角E-AA1-B中,平面AA1FE⊥平面ABCD,平面ABB1A1⊥平面BCHG.移动点E或点G都可以随意改变相应二面角的大小(如图5).

图5

由于正方体中有着众多的垂直关系,因此在正方体框架中作垂线、确定垂面就显得简便易行,并且也容易判断直线、平面之间是否存在垂直关系.值得注意的是,正方体中的这些垂直关系在长方体中同样也存在,所以在构造反例图形时,也可以在长方体、甚至是棱柱或棱锥中进行.只不过相比较而言,正方体是学生更为熟悉的几何体,以它为载体思考问题,可将更多的精力聚焦于难点的突破上.

3 通过割补建立几何体与正方体的联系

正方体的每一个面都是正方形,相邻的面都互相垂直,相对的面都互相平行.所有棱长都相等,一个顶点处的三条棱两两互相垂直,等等.许多几何体也部分拥有上述这些几何特征,遇此情形可考虑通过割补的方法建立几何体与正方体的联系,为解决问题搭建台阶.

图6

(1)求A到平面A1BC的距离;

(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.(2022年新高考全国Ⅰ卷)

当AA1=AB,且A1BC⊥平面ABB1A1时,取A1B的中点M,连接AM,可知AM⊥A1B.因为平面A1BC⊥平面ABB1A1,所以AM⊥平面A1BC.所以AM⊥BC.故BC⊥平面ABB1A1,从而有BC⊥AB.

易得,AA1=AB=BC,且AA1⊥AB,AB⊥BC,AA1⊥BC.

因此,该直三棱柱ABC-A1B1C1可看成是由平面AA1C1C截正方体ABCE-A1B1C1E1所得(如图6(2))).容易求得D是BE1的中点.又BE1⊥平面AB1C,垂足G是正三角形AB1C的中心.所以∠AGC为二面角A-BD-C的平面角,其大小为120°.故二面角A-BD-C的大小为120°.

三条两两互相垂直的线段是正方体中最明显的几何特征.当研究的图形中存在这样的三条线段,或可以找到这样的三条线段时,便可以考虑将该问题与正方体相联系.

图7

分析简单浏览条件并不能很快找到线面角.进一步分析三棱锥的几何特征,会发现与正方体有一定的联系.

已知正方体BDCF-IHGA,用平面ABC,平面ACD,平面ABD截正方体后,可得三棱锥A-BCD(如图7(2)).

设E为AC上任一点,在平面AFCG内过E作直线FC的垂线,垂足为K,则EK⊥平面FCDB,所以DK是直线DE在平面BCD内的射影,故∠EDK即为直线ED与平面BCD所成的角.

所以,当CE=1时,ED与平面BCD所成的角为30°.

正方体的有些几何特征清晰易见,如表面的形状,各棱之间,棱与面之间的关系等.也有一些特征相对隐蔽,如面对角线、体对角线间的关系,一些特殊的截面等.在寻找所研究的几何体与正方体的联系时,需要根据几何特征展开联想,提出假设,尝试验证.

4 通过球联系正方体

研究与球相关的问题时,常需确定球心及球面上的点.正方体的中心到正方体各顶点的距离相等,到各个面的距离相等,到各棱的距离也相等.因此,以正方体的中心为球心的球,可以是正方体外接球、内切球或与各棱相切的球.由于球是旋转体,所以对于与球有关的几何元素关系的处理,学生所感受到的难度会比较大.如果将研究的问题与正方体联系起来,常可使问题变得具体直观,为探究扫除障碍.

例5如图8(1),是一个由三根细铁杆PA,PB,PC组成的支架,三根铁杆的两两夹角都是60°,一个半径为1的球O放在支架上,则球心O到点P的距离是( ).

图8

分析注意到PA,PB,PC两两成60°角,容易想到正方体中从同一顶点出发的三条面对角线,两两之间夹角也为60°.因此,可构造以O为中心,面对角线在PA,PB,PC上的正方体.

在正方体PQRS-EFGH中,PF,PR,PH两两成60°角,又正方体PQRS-EFGH的内切球O与面PQFE、面PQRS及面PEHS均相切,切点是各正方形的中心,也就是PF,PR,PH的中点.所以,球O与PF,PR,PH相切(如图8(2)).

例6六氟化硫的分子结构为正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体),如图9(1)所示.若此正八面体的棱长为2,则它的内切球的表面积为( ).

图9

分析正八面体内切球的球心也是正八面体的中心.正八面体的六个顶点可以看成正方体六个面的中心.因此,该正方体的中心也是正八面体内切球的球心.

记正方体GHIJ-G1H1I1J1的中心为O,六个面的中心分别为A,B,C,D,E,F.由此得中心为O的正八面体ABCDEF(如图9(1)).

引入正方体后,多面体、正方体、球之间的关系一目了然.以正方体为载体,几何元素间的关系显得更加清晰,相应的计算也更加简洁.

其实,正方体在研究立几问题中的作用是非常广泛的.建立空间直角坐标系是研究立几问题常用方法,确定空间直角坐标系时选择的单位正交基底,其实也是正方体从同一顶点出发的三条棱.因此,与空间直角坐标系一样,正方体框架事实上是为空间图形中不同几何对象提供了熟悉的参照,使学生在依据直观图研究问题时能更好展开直观想象.

构建正方体是帮助学生发展直观想象能力,提高对空间图形认识的一种有效措施,但教学中并不能仅停留于此.在学生能有意识地构造正方体思考问题基础上,还可引导学生构造长方体乃至更为复杂的几何体.这样,学生的空间观念便会得到更为充分的发展,直观想象素养也很自然地获得更大的提升.