在问题提出中发展学生批判性思维①——以《角的平分线》教学为例

杨 辉

(上海外国语大学附属外国语学校东校 200092)

从“工业时代”到“信息时代”的社会变革,促使学校从20世纪培养“记忆者”的教育,转型为21世纪培养“探究者”、“思考者”的教育,新时代的教育改革尤其关注当今国际教育界“核心素养”潮流中强调的“批判性思维”(critical thinking)[1]. 格雷戈里·巴沙姆等人将批判性思维界定为:有效识别、分析和评估观点和事实,认识和克服个人的成见和偏见,形成和阐述可支撑结论、令人信服的推理,在信念和行动方面作出合理明智的决策,所必需的一系列认知技能和思维素质的总称[2].

相较于问题解决,“问题提出”给学生提供了更多学习的机会[3]. Ellerton提出了数学课堂中“问题提出”的积极学习框架(Active Learning Framework),认为只有问题解决而不包含问题提出的课堂会弱化学生的学习体验,剥夺了反思、批判和质疑的机会[4]. 蔡金法等人认为教师在组织问题提出活动时,师生和生生在交流、互动、批判、反思等过程中能够实现课堂的“社会建构”[5]. S. Supandi等人通过实验组与控制组的比较研究发现,运用问题提出的教学策略能有效提升学生数学批判性思维[6]. Silver等人提出,学生可以通过三个问题提出阶段来学习数学[7],笔者根据其原文阐述的“问题提出的三阶段”绘制图1.

图1 问题提出的三阶段

本文根据Silver等人问题提出的三个阶段,以沪教版八年级“角的平分线”的教学为例,探讨如何引导学生在数学学习中运用问题提出策略,学会科学质疑、批判反思,成为具有批判精神的学习者.

1 学科内容分析

本课时内容取材于沪教版八年级第一学期第十九章《几何证明》“角的平分线”第一课时．在单元规划中,本课位于“线段的垂直平分线与角的平分线”单元,其既是对六年级“线段与角的画法”内容的延续,也为今后进一步学习几何论证打下认知基础.

“角的平分线”是初中数学中的一个重要知识点,它在沪教版、苏教版和人教版三种教材中的具体内容及分布情况虽各有不同(如表1所示),但共性是都用折纸的方法引出角的平分线的性质定理,并且对其逆定理的教学都比较简略,如沪教版在得到角的平分线的性质定理后,便直接给出其逆定理.

表1 三种教材中有关角平分线的内容

2 学习者分析

八年级学生正处于青春期,精力旺盛,思维活跃,已初步具备一定逻辑推理能力,但仍然需要借助实验几何开展论证几何的学习.在本课的实际教学中,学生往往对角的平分线定理逆命题的表述不严谨,遗漏条件“在角的内部”,那为何要添加这个条件呢?这便是课堂中学生的真实问题,而沪教版在课本边款中有对“点到射线距离”的说明,教师应研究教材、用好教材,以学生自然生成的“真问题”为契机、以教材为载体发展学生的批判性思维.

3 学习目标分析

根据对教材和学生的理解,教师为这节课预设了三个目标:

(1)初步掌握角的平分线的性质定理及其逆定理,能运用角的平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题;

(2)经历从操作实验到演绎推理的数学活动,进一步体会实验归纳和演绎推理的作用;

(3)通过运用新知提升发现、提出、分析、解决问题的能力,在分享交流中,增强数学学习的自信.

基于目标,确定本节课的教学重点:掌握角的平分线的性质定理及其逆定理. 基于学情,确定本节课的教学难点:探究并证明角的平分线的性质定理的逆定理.

4 教学设计及改进过程

授课教师、教研员以及专家对本课进行“一课三磨”,其循证研究流程如图2所示.

图2 “一课三磨”循证研究流程图

4.1 第一次教学:在“做中学”的情境中提出问题

教学设计:

本章进入到论证几何阶段,这是几何学习的重大转折,为做好从实验几何到论证几何的衔接和过渡,本节课让学生在“做中学”,通过类比已有知识,在数学内部创设情境并提出问题,旨在实验→归纳→猜想→证明的研究过程中,指导学生掌握学习几何图形的一般方法.

教学实施:

上一节课学生学习了线段垂直平分线定理及其逆定理,本节课通过类比线段垂直平分线的研究过程,师生一起探究角的平分线. 课上教师给每位学生发了一张扇形纸片,让学生将扇形纸片看作一个角,并折出角的平分线.

师:请观察这条角的平分线,类比线段的垂直平分线定理,你想提出什么问题?

生:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,那么角的平分线上的点到角的两边的距离相等吗?

操作:在刚才的折痕上任找一点(不与顶点重合),分别过该点作到角两边的垂线段,并测量两条垂线段的长度.

师:你的测量结果是什么?你有什么猜想?

生:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

学生通过实验操作形成角的平分线定理的猜想后,教师运用几何画板动态演示角的平分线上运动的点到角两边的距离的数据,学生发现与其猜想吻合,于是证明猜想的命题是一个真命题.接着,师生共同证明角的平分线的性质定理及其逆定理,再运用角的平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题.

教学反思:

第一次教学是一节原生态的课,教师对“问题提出”式的教学还停留在理论阶段,缺乏实践经验,因此在教学中仍然出现问题基本由教师提出,师生互动以一问一答为主,课堂氛围不够活跃等问题,教师通过反思认为,第二次教学应该给学生更多提出问题的机会.

4.2 第二次教学:在化解教学难点的过程中提出问题

教学设计:

第二次教学中,教师将教学难点作为问题提出的切入点和落脚点.学习线段的垂直平分线时,学生已经历了构造其逆命题的过程,通过类比学生容易构造角的平分线定理的逆命题,但在叙述时一般不会加限制条件“在角的内部(包括顶点)”,学生在阅读课本中指出的“点到射线的距离”的概念后,仍然容易与“点到直线的距离”的概念相混淆,这便是本节课的教学难点,教师企望通过预设活动“辨一辨”,使学生正确理解射线外一点到射线的距离的几何解释. 这样的教学设计有助于学生“有效识别、分析和评估观点和事实”,为批判性思维的发展做好准备. 其他部分的教学环节与第一次教学相同,在此不再赘述.

教学实施:

在对角的平分线性质定理的逆定理的探究中,教师请学生类比上一节课“线段的垂直平分线”的研究思路,学生认为需要探究其逆命题,一位学生脱口而出:“逆命题是到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”,教师并不急于纠正,而是抛出了如下问题和活动.

师:角的两条边是什么线?

生:射线.

师:什么是一个点到射线的距离?(学生没有作答)

教师请学生阅读课本第106页左上角的“边款”:平面上一个点到射线的距离是指这点与射线上各点的距离中最短的距离.

教师出示活动“辨一辨:如图3,在射线OA外有一点P,图中哪一条线段的长表示点P到射线OA的距离?”,一些学生认为线段PH的长表示点P到射线OA的距离,究其原因,学生将“点到射线的距离”与“点到直线的距离”两个概念相混淆了,于是教师引导学生圈画概念中的关键词,通过生生交流,学生正确理解了相关概念.

图3

在解决问题的过程中,教师提醒学生想一想刚才那位同学提出的逆命题是否是一个真命题,学生展开了小组讨论.

生1:“到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”是一个假命题吧?

生2:为什么呢?

生1:我可以画一个反例(如图4所示).

图4

生2:这个点P到角的两边的距离相等吗?

生3:看一下定义吧.

生2:哦,符合的,点P到角的两边OA、OB的距离都是线段PO的长,它们相等.

生3:反例成立!

教学反思:

在第一次教学设计的基础上,教师希望通过挖掘教材中的素材以化解学生学习的难点,在引导学生提问中发展批判性思维.在正确理解“点到射线的距离”后,学生不难举出反例说明“到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”是一个假命题,但也有学生对反例是否满足“点到角两边距离相等”这一条件提出疑惑,此时,学生自觉地“回归定义”,发现反例符合定义.由此可见,学生在反复质疑、释疑的过程中,其科学质疑的精神与批判性思维被积极调动.但教师有时想让学生提问的引导性问题太宽泛,学生不知道提出什么问题,比如最后总结环节,教师问学生:“你们还有什么问题吗?”,学生问不出问题．有时教师因赶时间着急代替学生问出了自己想问的问题,反映出教师固有的对于课堂的“控制”与“主导”,但培养学生的“反思精神与批评思维”需要有引导、有方向、有时间.

4.3 第三次教学:在解决问题后通过反思提出问题

教学设计:

在专家的指导下,笔者将沪教版第十九章《几何证明》的第二节“线段垂直平分线和角的平分线”作为一个单元进行教学(如图5所示),其主要研究的内容是线段垂直平分线和角的平分线定理及其逆定理,在研究方法上,学生可通过类比线段垂直平分线的研究路径,探究角的平分线的相关定理.

图5

第三次教学的亮点在于,教师引导学生重新审视角的平分线定理及其逆定理的研究过程,鼓励学生通过反思,敢于质疑,在解决问题后提出新问题.

教学实施:

教师从两个方面对学生的提问进行了启发,一是分拆角的平分线定理的条件和结论并进行重组,二是由图4中的一个反例推向一般情况.学生经过独立思考后再小组讨论,以小组为单位筛选出如下两个问题.

生1:“如果点Q在∠AOB的平分线上,点D、E点分别在射线OA、OB上,且QD=QE,那么QD⊥OA,QE⊥OB”是一个真命题还是假命题?

其他同学轻松地通过举反例说明它是一个假命题(如图6所示),分别在射线OB、OA上取点E、D,使得OE=OD,且∠OEQ≠90°,∠ODQ≠90°,从而得到△OEQ≌△ODQ.在这张反例图中,师生进一步开展了如下的探讨.

图6

师:∠QEO与∠QDO有怎样的数量关系?

生2:相等.

生3:不一定,它们也可以互补,以点Q为圆心,QD的长为半径作弧交射线OA于点D′,通过“全等三角形对应角相等”和“等边对等角”可得∠QEO+∠QD′O=180°”.(如图7所示)

图7

生4:在角的外部有到角的两边的距离相等的点,这些点组成的图形是怎样的?

有学生认为是∠AOB平分线的反向延长线(如图8所示),也有学生认为是由∠AOB两边的反向延长线所围成的阴影区域(如图9所示),又有学生发现在图9阴影区域外还存在到∠AOB两边距离相等的点,但无法准确描述点的集合.

图8

图9

在学生思考、讨论的基础上,教师设计了可供学生课后选做的探究型作业“画图探究”.

画图探究定义:平面上一个点到射线的距离是指这点与射线上各点的距离中最短的距离.过点P作射线OA所在直线的垂线,垂足为点H,设射线OA外一点P到它的距离d,其几何表示如下:图z-1 图z-2 图z-3当垂足H在射线OA上时,如图z-1,d= ;当垂足H在射线OA的反向延长线上时,如图z-2,d= .特别地,当点P在射线OA的反向延长线上时,如图z-3,d= .(1)平面上,哪些位置的点P到射线OA的距离是线段OP的长?请在图z-4中画出. (2)平面上,哪些位置的点P到射线OA和到射线OB的距离都是线段OP的长?请在图z-5中画出. (3)平面上,到∠AOB的两边距离相等的点的集合是什么?请你在图z-6中画出这些点组成的集合,然后以小组为单位进行分享交流.图z-4 图z-5 图z-6

探究型作业中的第(2)问便是课上学生提出的问题,前三道填空题和第(1)问是教师向学生提供的脚手架,三道填空题帮助学生理解“点到射线的距离”的几何意义,第(1)问点P的集合是图10中阴影区域(含直线OC,其中直线OC垂直于射线OA),第(2)问点P的集合是图11中阴影区域(含直线OC、OE,其中直线OC垂直于射线OA、直线OE垂直于射线OB),即两个集合的公共部分,第(3)问在第(2)问的基础上,增加一条∠AOB的平分线.

图10

图11

教学反思:

教师请学生反思角的平分线定理及其逆定理的研究过程,鼓励学生用批判的眼光和发散的思维提出新问题.学生的表现往往超出教师的想象,学生提出的每一个问题,又会引发新的思考与问题提出,其中也蕴含了诸多数学思想方法,譬如分类讨论、化归、由特殊到一般等,学生的批判性思维在反思、质疑、互动中不断迭代和发展.为体现“课程-教学-作业-评价”的一致性,教师设计了“点到射线的距离”的探究型作业,旨在将课堂探究活动延伸到课后.从“点到直线的距离”到“点到射线的距离”,再到“点到角的两边的距离”,问题还可进一步一般化为“点到图形的距离”,如2021年上海市中考数学试卷第18题(如图12所示),此题正是源自教材边款中“点到射线的距离”的说明.能否更进一步一般化为“平面上两个图形间的距离”?2018年北京市中考数学试卷第28题(如图13所示)就新定义两个图形间的“闭距离”,“闭距离”的定义基本上与高等数学中两个图形间的距离定义相同[8].由此可见,在日常教学中挖掘好教材资源对学生思维能力的发展尤为重要.

图12

图13

5 三次教学对比与分析

本节课教师进行了三次教学,第一次教学是一节以教师提问为主的课,教师在深入学习了“问题提出”相关理论,并在第一次实践的基础上进行了第二次教学,但由于引导学生提问的问题设计指向不明确,学生不知道问什么问题,或者提出的问题与本课内容没有关系,第三次教学教师针对前两次教学暴露出的问题,在专家的指导下进行调整,比如通过类比使问题设计的指向性更明确.以引入、表述、反思“角的平分线性质定理的逆定理”三个环节为例对比三次教学(如表2所示).

表2 三次教学师生活动对比

在引入环节,前两次教学由教师引入,第三次教学通过类比上一节课“线段的垂直平分线”的研究过程,在研究角的平分线定理后,学生自然地提出想要研究其逆命题,体现了思维的主动性.

在表述环节,第一次教学教师直接告诉学生由于角的平分线是角内部的一条射线,因此要加条件“在角的内部(包括顶点)”,第二、第三次教学中,教师作为课程的再设计者,基于教材内容开发出更多有思维含量的教学任务,通过阅读理解,学生的头脑经历了“加工处理信息”的过程,但学生的信息加工处理可能会受已有认知的影响产生偏差,产生认知冲突,教师再让学生通过阅读、辨识、讨论等活动求得“认知平衡”,这在批判性思维上体现为“认识和克服个人成见”,在这个过程中学生的批判性思维被充分调动.

在反思环节,第一次教学教师只关注到知识层面. 第二次教学在回顾相关定理后,由教师提出拓展问题“平面上,到一个角两边距离相等的点的集合是什么?”,但学生觉得唐突,不知道怎么想到这个问题. 第三次教学在“由特殊到一般”的观念指导下,学生不难想到由一个点推广到“点的集合”. 批判性思维具有反思性. 学生在独立思考与交流讨论中对问题本质进行反思、剖析,将思维从个别推向一般,使认识深化.

三次不同的教学设计中学生的批判性思维表现也是不同的(如表3所示).第一次教学中,教师请学生在“做中学”的情境中通过类比已学知识提出合理的疑问,学生的提问体现了批判性思维的质疑性.第二次教学中,教师通过开发教材资源化解教学难点,学生在小组讨论中自发地提出对猜想、观点等的质疑.第三次教学中,教师引导学生通过反思提出问题,学生将角的平分线性质定理及其逆定理的条件和结论进行重组,提出了新的命题,体现了批判性思维的求异性;在师生讨论中,学生对同伴观点提出不同看法;在小组讨论中还有学生根据“由特殊到一般”的思想方法提出问题,展现了批判性思维的建构性.可见,第三次教学中学生批判性思维的表现更为充分,批判性思维的特征更为多样.

表3 三次教学学生批判性思维表现对比

6 反思与总结

6.1 问题提出三阶段教学的本土化

Silver等人在1996年发表的“问题提出三阶段”虽对当下我国的课程与教学改革有一定的借鉴意义,但其理论与实践内容仍需进行本土化的改进与补充.笔者在将问题提出三阶段教学运用于日常课堂中发现,由于教学进度的限制、用问题提出开展课堂教学的时间不可控等因素,教师往往会对“问题提出三阶段”教学浅尝辄止.

要将“问题提出”在课堂教学中落地生根,建议教师有侧重、有选择地运用“问题提出三阶段”开展教学,根据不同课型教师可让学生根据生活情境或数学内部情境提出问题,或在解决给定问题的过程中提出问题,也可以通过布置能力拓展型作业、综合实践型作业让学生在解决问题之后提出问题,再分析并解决问题,如此循环往复,有利于促进学生 “四基”、“四能”的发展.另外,还要注意将提出的问题与现实世界相联系,使问题具有现实意义,有助于学生的“三会”培养.

6.2 批判性思维的特征与培养

在数学学科中,发现和提出问题,通过部分已知信息对结论进行猜测,通过逻辑推理验证猜想的探究过程,就是批判性思维的具体体现[9].批判性思维具有质疑性、求异性、建构性等思维特征[10].学生是学习的主动建构者.在课堂教学中,教师应抓住批判性思维的特征,鼓励学生基于已有的数学事实和活动经验对问题、解法、观点、思考过程等提出合理的疑问,在质疑与释疑的迭代中,学生或对问题进行化归,或辩证地思考问题,或对已有观点进行综合、分析、联系、整合、重构等,这是批判性思维在课堂中的生动表现,也是培养批判性思维的关键所在.

教育的本质是培养思维,培养思维的最好场所是课堂.通过“一课三磨”的循证研究,笔者提炼了三条培养学生批判性思维的路径:(1)基于单元整体教学,创设情境引导学生通过类比提出问题,指向批判性思维的质疑性;(2)设置认知冲突,通过内省反思与互动讨论,产生新观点、提出新问题,指向批判性思维的质疑性与求异性;(3)通过对问题解决过程的反思,运用“由特殊到一般”、“由一般到特殊”、“条件与结论交换”等方法提出问题,指向批判性思维的求异性与建构性.总之,教师要从“如何研究”、“如何发现”的方法论层面启发学生“提出问题”,从而推动批判性思维的发展.