基于情境 问题导向 思维可见①——以苏科版九下7.1正切第一课时为例

钱建芬

(江苏省苏州市吴江区实验初级中学 215200)

数学学科是培养学生熟练掌握数学知识、数学思维,形成学生数学能力与数学品质的基础学科.教师在教学中创设真实情境,引导学生用数学的眼光发现生活中的问题,并将其转化为数学问题,进而用数学思维去探究、分析问题,用数学方法解决问题.那如何帮助学生走出“概念学习靠硬背、规律探究靠套路、实际应用靠刷题”学习的困境是一线数学教师关注的热点问题.本文以九年级下册第1课时的教学为例,谈谈如何设置层次鲜明的探索任务,渗透多元化的思维表征,促进学生的思维可视化,让学生的经验成为课程教学的重要资源,在彼此影响中,不断提升思维品质和学习能力.

1 教学内容与解析

本节课内容是九年级第七章锐角三角函数的第一课时,“7.1正切”是揭示角度与数值(线段比值)的对应关系的一节概念课,与以前学过的一次函数、二次函数及反比例函数有所不同;同时,也是首次用符号来表示的一类函数.锐角三角函数是函数知识的深化和延伸,也是对直角三角形各元素之间关系的进一步探究,是三角学的学习起点.在实际教学中,正切函数概念的建立是教师教学的重点和学生学习的难点.

2 教学设计与反馈

2.1 创设情境,唤醒思维

来源于真实生活场景的课堂教学情境,既能帮助学生反刍经验,暴露学生的认知盲点,又能启发学生形成高质量的问题,同时还有助于教师针对性地组织教学活动,激发学生学习的兴趣和探讨问题的欲望.在本节课教学中以探究楼梯的倾斜程度为主线,设计一组问题串,环环相扣,引导学生用头脑中的图式去同化当前学习的知识,在解决实际问题的过程中不知不觉地内化新知识、掌握新技能,可谓“生其自然、成其必然”.

问题1人们在行走的过程中免不了爬坡．如图1,你建议老年人走哪个台阶比较合适?说说你的理由?

图1

设计意图通过这一真实的生活场景让学生感受台阶陡缓与其倾斜程度有关,从数学的视角来看,倾斜程度可以用倾斜的角度(以下简称:倾角)来确定,倾角越大台阶就越陡,即把生活问题转为数学问题,帮助学生从感性认识逐步上升到理性认识,引导学生发现问题,唤醒数学思维,并带着问题深入探究.

2.2 问题导向,激活思维

在数学学习过程中,适切的问题能够激发学生的高阶思维.有质量的问题不是停留在获得答案,而是要让学生能够在研究、破解问题的过程中体会问题背后的本质,即数学的本原性知识.所以,教师在厘清数学知识的内在逻辑的基础上,帮助学生完成从情境体悟到知识感知,从具体事物到抽象概念之间的过渡,学生在体验中内化新知识.

问题2如图2,你如何判断下面的台阶哪个更陡一些?能否用适当的方法进行描述?(准备好相应纸板模型,小组合作, 给出结论,并说明理由)

图2

设计意图此环节延续前面的问题,组织学生动手实践深入探究,通过实验操作体会用倾角大小来比较台阶坡度的陡缓,即台阶的水平宽度相同时,比较台阶的高度,图①与图②比较;台阶高度相同时,比较台阶的水平宽度,图②与图③比较;当台阶的水平宽度和高度都不相当时,比较它们之间的“比值”,图①与图③比较.这一过程为角度比较转化为角边比较搭建“桥梁”,为教学环节的自然过渡做好铺垫工作,帮助学生形成概念的毛坯.

学生经过生活经验的思考,通过测量、比较台阶的倾角角度大小来判断(可以测量倾角的角度大小,也可以通过模板操作叠合法比较角度大小)坡度的陡缓,角度越小,坡度越小,即坡度越缓,学生因为有学习比值定义法的经验,自然会想到通过比较台阶的垂直高度与水平宽度的比值大小来判断坡度陡缓.比值越大,表明台阶倾斜程度越陡.

2.3 活动操作,聚焦思维

数学知识由表层的数学内容与深层的数学思想两部分构成.表层的数学内容即平时所说的知识点,深层的数学思想对应着数学学科素养,两者共同促进,互为因果,缺一不可.在数学的探究过程中,注重学生的体验:交流、合作、表达、感悟、思考和表达等,在解决问题中不断形成问题解决的方法和积累处理问题的经验,并增强探究活动带来的成功感和获得感.

问题3如图3,在图2中的①③两个台阶,你有什么发现?

图3

设计意图这一环节的设计,让学生发现台阶③是台阶①向上延伸的样态,即在③中截取一个全等于①的三角形,或者在③中嵌套一个相似三角形①:把生活原型抽象为数学模型,启发学生关注倾角和其对边与邻边的比值之间的大致关系.问题探究围绕台阶的倾斜程度展开,环环相扣,层层递进.

学生在比较①②③三组台阶坡度陡缓时,不难发现最陡的台阶是②,它的垂直高度与水平宽度的比值为0.75. 而①③台阶垂直高度与水平宽度的比值都是0.5,同时将①模板与③模板重叠,发现它们的倾角能重合,这说明①③两组台阶的坡度陡缓是相同的.这时,关于正切函数的数学模型已经形成,为深入学习铺设好了思维提升的通道.

2.4 聚焦理解,提升思维

学生个体对知识的真正掌握和理解,体现在自觉应用知识解决问题,形成自动化的“反射弧”.教师需要指导学生将新认知与旧认知融合,扩充其已有的认知体系,将新认知内化为自己知识体系中的一部分.

图4

图5

(1)当∠A变化时,上面等式仍然成立吗?

(2)上面等式的值随∠A的变化而变化吗?

设计意图学生通过观察与分析,操作与思考,猜想与验证,在证明的过程中运用相似三角形的相关知识,进一步训练学生的推理论证能力.体会到相似的直角三角形直角边的比值随着锐角的变化而变化,当锐角的大小确定时,比值也随之确定,即一个锐角对应一个比值,且唯一对应.强化数(比值)与形(角度)相关的模型思想,丰富了数学模型的内涵,引出“正切”定义水到渠成.

经过前三个问题的探究,学生体会到斜坡倾斜的程度与边角之间的关系,并结合图形进行准确的表达．一是让学生通过相似三角形性质推理证明,如果∠A大小不变,那么其对边与邻边之比值相等.二是借助几何画板软件演示,让思维活动可视.证明猜想,完成感性到理性的飞跃,让学生体验合理的猜想是数学教学中研究问题的方法之一.

2.5 自然生成,表达思维

在前面问题的探究中,学生形成共识:在直角三角形中,当一个锐角确定后,无论三角形的大小如何,这个直角三角形的两直角边比值都是一个固定值.此时教师要引导学生思维聚焦,让学生结合数学模型学用数学语言表达他们的思维过程和思辨结果.数学表达不仅是学生数学思考走向深入的有效路径,更是学生深度学习的重要标志.

问题5我们通过以上对图4的研究,知道了如果锐角∠A的大小不变,那么这个角对边和邻边的比值是不变的,如果锐角∠A的大小改变了,那么这个角对边和邻边的比值随之改变.请你联系以前所学知识,数学语言来描述锐角∠A与其对边和邻边的比值之间的关系.

设计意图在直角三角形中探索一个锐角同其对边邻边比值关系的过程中,学生可以体会到这种关系是对应关系.让学生参照以前学过的一次函数、二次函数及反比例函数表达方式来表达直角三角形中的锐角大小跟对边与邻边比值之间的关系.学生会产生两种表达方式,一是对边与邻边比值(因变量)随锐角(自变量)大小而变;二是锐角大小(因变量)随对边与邻边比值(自变量)而变.

追问:你能用同样的方法写出∠B的正切吗?

教师不急于给出正切定义,而是组织学生做一些因果关系的拓展性讨论.在深刻思辨的基础上,展示正切函数的概念.即以锐角为自变量,对边与邻边比值为因变量的函数关系,直指正切函数的本原,帮助学生借助数学模型形成生动的数学概念.通过正确书写函数表达式,强化正切函数的表达式和几何语言的表达.培养学生的数学表达能力,强化利用数形结合解决问题的意识.

3 教学思考

3.1 构建问题阶梯变式,促进学生思维进阶

数学教学的意义在于促进学生数学思维的发展,激发学生深刻的思维活动需要高质量的问题来引导.但是,教师的设问太多,没有逻辑没有层次,杂乱无章地堆砌,反而会使学生的思考陷入迷茫.围绕课堂教学核心问题,由浅入深、由表及里,直指数学原问题的设问,对于学生的学习才有意义．所以,教师的设问既要符合数学知识之间的逻辑脉络,也要考虑学生认知的逻辑特点,凸显问题的层次性和变式的阶梯性,从而保障课堂教学中知识的呈现和技能的训练符合学生已有认知能力,满足学生求知的需求,让学生的思维活动有一个跌宕起伏的过程,这才是学生需要的深度学习.

3.2 重视学生思考过程,关注学生数学表达

学生能用正确的数学语汇和图示来表达数学概念形成的过程以及其内涵、外延,其本质就是思维活动“可视化”高阶活动.如何做到学生有话可说,表达规范呢?教师必须坚持两个立场.一是要有儿童立场,学生视角.基于真实情境中的实际问题解决的“问题链”设计,应该尊重学生的思维发生、发展的规律,教师设问要“想学生所想,问学生所问”,只有这样才能唤醒学生经验,激活学生思维,启发学生思考,理解知识、内化知识的过程中积累经验．二是要有学科立场,即数学学科视角.从文字语言、图形语言和符号语言来规范学生的表达,数学语言的丰盈其本质就是思维品质的提升.

3.3 关注思维的“可视化”,启发学生自我领悟

不论是数学概念的理解,还是数学模型的建立,都需要学生高阶思维活动来支撑.而高阶思维活动来源于高质量的问题引导,高质量的问题来自学生在真实情境中解决实际问题的过程中.所以,问题质量与思维进阶在学生核心素养提升中相辅相成、相得益彰.所谓 “看得见”的思维就是学生在解决实际问题过程中的观念碰撞、经验分享,问题设计得越好,引发的思维越活跃,对知识的理解越深刻,形成的概念越生动.所以,教师在教学中不仅要教会学生数学知识,还要教会学生发现问题、分析问题和解决问题的方法,在解决问题的过程中,通过类比、迁移、综合、演绎等思维活动,自觉认识和领悟数学知识的本质,提升数学核心素养.

总之,我们的数学课堂应给予学生更多的数学理性思考,更多的数学思想方法,更多的人文精神,更多的人文关怀,这正是数学教学的理性回归.教师在初中数学教学中应当积极开拓学生的思维,学会自己思考,使学生的思维过程显性可见,化抽象为具体,化无形为有形,让数学课堂真正成为学生自主探索,主动发展的天地．