尺规作图的回归:为何,何为

刘春书

(江苏省南京市板桥中学 210039)

尺规作图在初中平面几何中的地位可以说是“几经沉浮”．改革开放前对几何作图要求较高,改革开放后因为义务教育的逐步普及,一段时间内对几何作图的要求逐步弱化,至2001年《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的版本,尺规作图的要求已经降至最低．《义务教育数学课程标准(2011年版)》开始逐步提高对尺规作图的要求,重新要求了解作图的道理;《义务教育数学课程标准(2022年版)》对尺规作图的要求进一步提高,小学阶段就开始增加尺规作图,初中阶段基于基本作图的简单几何作图要求有所提升,要求经历尺规作图的过程,理解尺规作图的基本原理与方法．

尺规作图重新回归的初心是什么?尺规作图重新回归后应该怎么做?为回答上述两个问题,我们先从一道尺规作图题说起．

1 从一道尺规作图题说起

问题:如图,已知线段AB和∠D,用直尺与圆规作满足∠ACB=∠D的所有点C．

1.1 理解题意,分析问题

分析问题,思考题目中求作什么:作满足∠ACB=∠D的所有点C．与A、B两点连线的夹角等于∠D的点有无数个,它们构成一条弧．作弧等同于作圆,需确定圆心与半径,圆心确定则半径确定,因此,确定圆心是关键．

思考作法,尺规作图分直接作或间接作,由问题可知本题作弧,作弧的关键是作圆心,直接作需研究圆心的性质;间接作需先作一个满足条件的点C,连接AC、BC得△ABC,再作△ABC外接圆的圆心．

1.2 直接作圆心

如果直接作圆心,即作一个点O,使得∠AOB=2∠D．

思路1如图1,假设已经作出,画出草图,执果索因,分析圆心O具有的性质．连接AO、BO得等腰△ABO,其顶角∠AOB=2∠D,则∠A=∠B=90°-∠D,即∠D的余角,底边AB长确定,即△ABO是确定的,则圆心O可作．因此,先在∠D图形上作出其余角,然后在线段AB上作出∠A=∠B=90°-∠D,即∠D的余角,从而作出圆心O,进而作出所求的圆弧,作图思路如图2所示．

图1

图2

由于OA=OB,所以点O也在AB的中垂线上．因此,也可以由AB的中垂线与射线AO或BO相交得到圆心O．

图3

图4

1.3 间接作圆心

间接作圆心,即先作一个满足条件的点C,从而得△ABC,再作△ABC的外心,即得所求的圆心O．要想作出一个点C,可以将△ABC从角或边两个方向特殊化,如∠A=90°或∠B=90°,又因为∠ACB与AB确定,则△ABC确定;再如AC=BC或AB=BC、AB=AC,又因为∠ACB确定,则△ABC确定．特殊化使得△ABC确定,从而可以作出一个特殊的点C．

思路3如图5,从角的角度进行特殊化(即强化角的条件),假设点C满足∠ABC=90°,则∠A=90°-∠C=90°-∠D,即∠D的余角,由于∠D确定,则∠A确定,又因为∠ABC=90°,AB确定,则△ABC确定．因此,可以在∠D图形上作∠D的余角,再作∠CAB等于∠D的余角、CB⊥AB,从而得点C,最后作△ABC的外心O,作图思路如图6所示．

图5

图6

思路4如图7,从边的角度进行特殊化(即强化边的条件),假设存在点C使得AC=AB,则∠B=∠C=∠D,此时,等腰△ABC腰和底角确定,则等腰△ABC确定．因此,先作∠ABC=∠D,再以A为圆心、AB长为半径作弧交∠B的另一边,得点C,最后可以作出△ABC的外心O,作图思路如图8所示．

图7

图8

老子说“道生一,一生二,二生三,三生万物”,其中“道生一”是从无到有的创造,在前面思路3、思路4中,特殊化就是“生一”的“道”,特殊化使得相关几何元素确定,便于尺规作图．

思路5如图9,先在∠D的图形中作一个线段EF,使得EF=AB,下面只需作△CAB≌△DEF,进而可作得△ABC的外心O．

图9

思路6如图10,作射线AM,假设AM上存在点C,∠ACB=∠D,则∠B=180°-∠A-∠D,由于∠A、∠D确定,即∠CBA确定,因为AB、∠A、∠B确定,则△CAB确定．因此,先作射线AM,然后在∠D图中作∠PDN=∠A,再作∠ABC=∠NDT,从而得点C,最后作△CAB的外心O,作图思路如图11所示．

图10

图11

思路7如图12,点C满足∠ACB=∠D,且∠ACB的两边过定点A、B,可以弱化条件,先作∠AEF=∠D,∠AEF只经过点A,然后再通过位似变换作∠ACB既经过点A也经过点B,从而可作得△CAB的外心O．弱化就是先满足部分条件,再通过图形变换逐步满足所有条件．

图12

1.4 实施计划,作图验证

图13

2 尺规作图回归:为何

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准》)强化尺规作图,其目的是什么,基于哪些方面的考虑?最大的考量因素就是深化新课程改革,落实核心素养．

2.1 发展数学核心素养

《标准》强调要加强几何直观,培养空间想象能力．几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯,通过尺规作图等活动感知图形的结构特征、感悟尺规作图的合理性,是培养学生几何直观的重要途径．过去在“图形与几何”的教学中,有目的、有意义的动手操作太少,因此,《标准》对初中阶段的尺规作图提高了要求,希望能够引导学生经历构思图形、设计流程、作图验证的过程[2]．在上述尺规作图的案例中,无论是直接作圆心O,还是先作一个特殊的点C,都是先画草图,然后依据草图分析圆心O或点C应具备的条件,启发学生如何应用基本作图作出圆心O或点C,最后通过实际作图验证自己的想法,在这样的过程中,培养学生的几何直观和空间想象力．

在尺规作图的过程中特别强调推理能力．推理能力主要是指从一些事实和命题出发依据规则推出其它命题或结论的能力,其中要让学生感悟推理是数学学习中的一种基本活动,是理解数学和解决问题的主要方式．在上述尺规作图的案例中,作图思路的寻求需依据草图进行逆推分析,即执果索因,这个过程有利于学生推理能力的发展．

2.2 培养问题解决能力

PISA2022数学测评框架明确了问题解决与数学推理的关系,将数学推理与数学问题解决过程相融合,要求学习者围绕数学推理对问题进行表达、应用、阐释与评估,强调数学推理贯穿解决问题过程的始终．尺规作图是基于推理和操作的问题解决,教育者要充分认识到尺规作图是培养学生问题解决能力的重要路径,鼓励学生在数学问题解决的过程中借助尺规作图进行分析、判断、验证、推理,尤其在问题解决过程中遇到困难时,需利用尺规作图厘清条件,明确问题解决的关键．

在上述尺规作图案例中,学生觉得难度较大,原因有三:一是尺规作图是从无到有的过程,需勾画草图,逆推分析;二是分析能力要求较高,需依据条件思考能得到哪些结论,即明确条件所得,需分析问题思考所求作的几何图形应具有哪些性质,即明确问题所需;三是将条件所得与问题所需进行关联,需要基于求作的图形构造与之相关联的几何模型,再思考模型中基于条件确定的元素有哪些,最终回归基本作图与尺规功能进行作图．如上述尺规作图案例思路3中,需先画出符合要求的Rt△ABC,分析条件得∠D和AB是确定的,则∠D的余角即∠CAB是确定的,基于直角三角形的模型易得点C既在∠BAC的一边上,又在直角∠ABC的一边上,经历以上的思维过程,有利于提升学生问题解决的能力．

2.3 建构几何知识体系

量子论的创立者、德国物理学家普朗克曾经说过:“科学是内在的统一体,它被分解为单位的部门不是由于事物的本质,而是由于人类认识能力的局限,实际上存在着从物理学到化学、人类学到社会学的连续链条”．数学学科内在的统一尤为显著,更是客观存在的[1]．《标准》为落实核心素养,提出课程内容结构化的要求,重点是对内容结构化整合,探索发展学生核心素养的路径．

尺规作图有利于实现知识结构化,建构几何知识系统,如用尺规作角平分线,通过这个基本作图的一题多解,可以围绕两角相等把平行、三角形全等、等腰三角形、菱形、等弧、三角比等知识串联起来,从而建构如何证明两个角相等的几何知识体系．再如过直线外一点作已知直线的平行线,从依据等角(同位角或内错角相等)构造平行,到利用角平分线与等腰三角形的组合模型构造平行;从依据等距构造平行,到利用相等的平行线段构造平行,再到构造平行四边形;从依据中位线构造平行,到利用线段成比例构造平行;从依据等腰梯形构造平行,到利用等弧或等弦构造平行．因此,在整个教学过程中基于尺规作图思考如何建构平行知识体系,使得知识系统化、结构化．

2.4 拓展几何探究路径

通过尺规作图可以帮助学生感知图形结构特征:用尺规作出基本图形,能够帮助学生感悟尺规作图的合理性及图形的几何特征;利用尺规作图能够探讨几何图形的存在性与形状特征．因此,尺规作图可以帮助学生拓展几何探究的路径．如在教学平行四边形内容时,可以先让学生利用尺规作平行四边形,学生会从边、角、对角线等角度构造平行四边形,从而在作图过程中有序探索、研究图形的性质及判定,学生利用条件组合作平行四边形时,有的成立有的不能成立,能成立的需要再基于作图回到定义进行证明,不能成立的需要用尺规作出反例．再如通过尺规作图,在充分感悟的基础上,猜想三角形全等的判断条件,得到三角形全等判定的基本事实,及用尺规作图构造全等的反例．在上述尺规作图案例中,各种思路充分体现特殊化(强化)、减少满足的条件(弱化)、用数量刻画(量化)的探究思路,进而拓展了几何探究的路径．

3 尺规作图回归“要位”,何为

《标准》强化尺规作图,下面有必要思考尺规作图该如何教学?

3.1 理解作图依据确保想得深

尺规作图的教学要让学生逐步感悟尺规作图的依据是“相似”,其中全等也是相似,确保学生想得深．首先,五种基本作图包括作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知线段的垂直平分线、作已知角的角平分线、过一点作已知直线的垂线,其原理皆为全等,其中多为全等变换中的轴对称变换．其次,较难的尺规作图问题需要分解问题,逐步实施,经常先确保满足部分要求,再通过位似变换、旋转变换、平移变换改变大小或位置,进而满足作图要求,如上述尺规作图案例中思路5、7,其中思路7就需基于位似进行作图,要先满足形状相似再进行位似变换,进而改变其大小与位置使所作图满足条件．

3.2 感悟如何思考确保想得到

尺规作图的教学要引导学生经历构思图形、设计流程、作图验证的过程,感悟如何思考,确保学生想得到．首先要理解题意,分析问题,画出草图,就是假设存在,实现从无到有;然后利用草图,联想、思考与求作图形相关的基本模型有哪些,明确建构模型的关键点,并思考该关键点应具有哪些性质,再依据条件分析模型中确定的点、线、角、形有哪些,将两者进行关联;接着实施计划,作图验证,即再次分析条件,从宏观到微观思考先画什么再画什么,然后依序作图;最后,基于操作进行推理证明,将每一步操作都转化为一个对应的数量关系,再基于以上数量关系进行推理论证．上述尺规作图的思考过程其实与波利亚的解题表是一致的,波利亚的解题表提出解题要经历理解题意、拟定计划、实施计划、回顾反思的过程[3]．

3.3 关联基本模型与尺规功能确保想得准

尺规作图的教学要引导学生联想基本模型,充分发挥尺规功能,确保学生想得准．构成图形的最基本的元素是点,尺规作图问题一般最终都可以转化为作一个关键点．作关键点通常需要先回归基本模型,基本模型分为两大类,一类是五个基本作图,另一类是由基本作图组成的复合作图,比如过一点作已知直线的平行线、过一点作已知圆的切线、作定边定角的轨迹、利用平行线作分成比例线段、作已知两条线段的比例中项等等．作关键点通常还需回归尺规功能,尺规作图的教学要让学生体会直尺与圆规的功能,直尺功能是作直线,确定方向,圆规的功能是作弧线,截相等线段或构造对称点．比如作角平分线、过一点作已知直线的垂线等等都是先作一对对称点,再作对称轴上的两点,最后两点确定一条直线,即为对称轴．

3.4 实施“三化”思考确保想得妙

尺规作图的教学要让学生增强“三化”构图的意识,确保想得妙．尺规作图思考的策略往往分为两大类．一类是从有到有,就是基于基本模型进行作图;另一类是从无到有,就是心中没有基本模型,先作草图,进行执果索因分析,如果确定关键点的性质存在困难,此时需要三化,就是量化、强化、弱化．量化就是基于确定元素,把未知的线段和角用确定的量刻画,借助模型进行尺规作图,如上述案例中的思路2;强化就是在问题解决的过程中,满足条件的点或线很多,可以尝试将其特殊化,这样让相关几何元素数量确定,从而尺规可作,如上述案例中的思路3、4、5、6;弱化就是求作的图形满足多个条件时,先作出满足部分条件的图形,研究此图与求作图形之间的内在关联,然后再采用位似构图或旋转相似构图等作出所求图形,如上述案例中的思路7．量化、强化、弱化的本质是将问题进行转化,转化为学生已能解决的问题．