从克拉维斯的《几何原本》注看数学家的创新

汪晓勤

(华东师范大学教师教育学院 200062)

在创新意识成为核心素养、拔尖创新人才的培养备受关注、人工智能(如Chat GPT)对学校教育提出挑战的今天,人们开始倡导数学“留白创造式”教学[1],即立足立德树人的教育根本任务,为学生自主学习、创获新知提供足够思维空间和探究机会的教学方式.那么,如何通过课堂留白来引发学生的创新?本文以16世纪德国著名数学家克拉维斯(C. Clavius, 1538-1612)《几何原本》注[2]中的部分内容为例,总结数学家完成创新工作时所运用的策略,为留白创造式教学的实施提供思想启迪.

1 新命题的发现

《几何原本》命题Ⅰ.16称:“在任意三角形中,若延长一边,则外角大于任一内对角.”该命题对于四边形成立吗?如图1所示,考察矩形、一般平行四边形、梯形、含三个钝角的四边形,外角大于所有不相邻内角的结论并不成立.

图1 一些四边形

克拉维斯构造了一个外角大于所有不相邻内角的四边形,据此得到一个新的命题.如图2,四边形ABCD中,∠ABC为钝角,∠BAD为直角,BA与CD的延长线交于点G,则外角DCE分别大于三个不相邻的内角.即

图2 含有两个钝角和一个直角的四边形

图3 等底等高或同底等高的梯形之间的关系

命题1若四边形的一个内角为直角,其对角为锐角,则该锐角的邻补角大于所有不相邻的三个内角.

《几何原本》第一卷给出以下四个命题:

命题Ⅰ.35:同底且位于同样两条平行线之间的平行四边形相等;

命题Ⅰ.36:等底且位于同样两条平行线之间的平行四边形相等;

命题Ⅰ.37:同底且位于同样两条平行线之间的三角形相等;

命题Ⅰ.38:等底且位于同样两条平行线之间的三角形相等.

克拉维斯则提出了两个梯形之间的关系:

命题2同底、位于同样两条平行线之间且相对的底相等的梯形相等;

命题3等底、位于同样两条平行线之间且相对的底相等的梯形相等.

利用命题Ⅰ.37和Ⅰ.38可证明命题2,利用命题Ⅰ.38可证明命题3.

《几何原本》命题Ⅰ.43指出:“在任意平行四边形中,位于对角线两端的两个平行四边形的补形相等.”如图4,欧几里得考虑的对角线两端的平行四边形具有一个公共顶点(位于对角线上),克拉维斯则考虑了两个平行四边形没有公共顶点的情形,进而提出新的命题.如图5,在平行四边形ABCD中,点I和J位于对角线AC上,四边形AKJL和IHCF均为平行四边形,则余形KBHIJ(或KBHM)和LJIFD(或LNFD)相等,由此可得

图4 《几何原本》命题Ⅰ.43

图5 命题Ⅰ.43的推广

图6 命题Ⅲ.22的逆命题

命题4在任意平行四边形中,位于对角线两端、且没有公共顶点的两个平行四边形的补形相等.

《几何原本》命题Ⅲ.22称:“圆内接四边形的对角之和等于两直角.”克拉维斯则证明了该命题的逆命题:

命题5在四边形中,如果对角之和等于两直角,则过任意三个顶点的圆也经过第四个顶点.

克拉维斯采用了反证法:已知四边形ABCD的对角之和为两直角,假设顶点D不在经过顶点A、B、C的圆上(位于圆内或圆外),则在圆上取一点E,于是由命题Ⅲ.22可得∠B+∠E等于二直角,从而∠E=∠D或∠D′,这是不可能的.

2 新方法的运用

《几何原本》命题I.32称:“在任意三角形中,如果延长一边,则外角等于两个内对角之和,且三角形的三个内角之和等于二直角.”公元5世纪,古希腊哲学家普罗克拉斯(Proclus)证明:n边形的所有内角之和等于(2n-4)×90°.如图7所示,普罗克拉斯从n边形的某个顶点出发作对角线,将多边形分割成n-2个三角形,从而得出结论.克拉维斯则在n边形内部任取一点,连结该点与各顶点,将多边形分割成n个三角形,从而得出结论.如图8所示.这种证明更能为学生所理解.

图7 普罗克拉斯的证明

图8 克拉维斯的证明

《几何原本》命题I.47就是著名的毕达哥拉斯定理(勾股定理):“在直角三角形中,直角所对边上的正方形等于直角边上正方形之和.”如图9所示,欧几里得以全等三角形为媒介,证明正方形AFEC和BCHG的面积分别等于长方形AIKD和DKJB,从而得出结论.

图9 欧几里得关于勾股定理的证明

利用《几何原本》之前已经出现的有关命题,克拉维斯给出了两种全新的证明.

证法1:如图10,分别在Rt△ABC的两条直角边AC和BC上作正方形ACEF和BCHG,延长FE和GH,交于点K.连结KC并延长,交AB于点D.分别过点A和B作AB的垂线,交FK和GK于点I和J,连结IJ.易证:Rt△AIF≌Rt△CKE≌Rt△ABC,Rt△JBG≌Rt△KCH≌Rt△ABC,故知四边形AIJB为正方形,且AI∥DK∥BJ.利用命题I.35得

图10 勾股定理新证之一

S□ACEF=S=S▭AILD,S□BCHG=S=S▭BJLD,

故得

S□ACEF+S□BCHG=S▭AILD+S▭BJLD=S□AIJB.

与欧几里得不同,克拉维斯在Rt△ABC的斜边AB的同侧作三个正方形,并以平行四边形为正方形和长方形之间的媒介,得出结论.

证法2:如图11,同证法1,分别在Rt△ABC的两条直角边AC和BC上作正方形ACEF和BCHG,过点A和B作AB的垂线,分别与FE的延长线和GH交于点I和J,连结IJ.过点C作AB的垂线,分别与AB和IJ交于点D和K,连结CI和CJ.利用命题I.41得

图11 勾股定理新证之二

S□ACEF=2S△ACI=S▭AIKD,

S□BCHG=2S△BCJ=S▭BJKD,

故得

S□ACEF+S□BCHG=S▭AIKD+S▭BJKD

=S□AIJB.

这里,克拉维斯在Rt△ABC的斜边AB的同侧作三个正方形,并以三角形为正方形和长方形之间的媒介,得出结论,证明过程更加简洁.

克拉维斯还用同样的方法证明了帕普斯命题(勾股定理的推广):如图12(1),在任意三角形ABC的两腰AC和BC上分别作平行四边形ACEF和BCHG,FE和GH的延长线交于一点K,连结KC并延长,交底边AB于点D.分别过点A和B作DK的平行线,交FE和GH于点I和J,则平行四边形AIJB的面积等于平行四边形ACEF和BCHG的面积之和.如图12(2)和12(3),利用《几何原本》命题I.35,克拉维斯分别以平行四边形ACKI和BCKJ为媒介,建立平行四边形ACEF和AILD、平行四边形BCHG和BJLD之间的等面积关系.

图12 克拉维斯关于帕普斯命题的证明

3 新课题的研究

人们很容易将“等边多边形”和“等角多边形”混为一谈,“等边”和“等角”是否等价?《几何原本》第四卷中有如下作图问题:

命题Ⅳ.11:作已知圆的内接等边且等角的五边形;

命题Ⅳ.12:作已知圆的外切等边且等角的五边形;

命题Ⅳ.15:作已知圆的内接等边且等角的六边形;

命题Ⅳ.16:作已知圆的内接等边且等角的十五边形.

可见,“等边”和“等角”是不同的条件,否则只要说“等边”或“等角”即可.克拉维斯敏锐地捕捉到两者的差别,并作了深入的研究.他首先证明:

命题6圆内接等边多边形必是等角的.

如图13,若圆内接多边形是等边的,则以各边为底、圆心为顶点的等腰三角形两两全等,因而它们的底角两两相等,从而各内角两两相等.

图13 圆内接等边多边形

图14 圆内接等角多边形

那么,一个圆内接等角多边形满足什么条件才同时是等边的呢?克拉维斯接着证明了三个命题:

命题7边数为奇数的圆内接等角多边形是等边的.

命题8边数为偶数、但有两条邻边相等的圆内接等角多边形是等边的.

命题9边数为偶数、但在两条等边之间有偶数条边的圆内接等角多边形是等边的.

克拉维斯接着证明:

命题10圆外切等角多边形必是等边的.

如图15,若圆外切多边形是等角的,则以各边为底、圆心为顶点的三角形均为等腰三角形,且它们两两全等,因而各边两两相等.

图15 圆外切等角多边形

图16 圆外切等边多边形

那么,一个圆外切等边多边形满足什么条件才同时是等角的呢?克拉维斯接着证明了三个命题:

命题11角数为奇数的圆外切等边多边形是等角的.

命题12角数为偶数、但有两个邻角相等的圆外切等边多边形是等角的.

命题13角数为偶数、但在两个等角之间有偶数个角的圆外切等边多边形是等角的.

4 讨论

以上我们看到,克拉维斯在注释欧几里得的命题时,发现了新命题、新方法和新课题.那么,他又是如何在传承中作出创新的呢?爱因斯坦(A.Einstein, 1879-1955)曾经说过:“提出一个问题往往比解决该问题更重要.解决一个问题,可能只不过是一种数学或实验技能;但要提出新的问题、新的可能性,从新视角看旧问题,需要创造性的想象力,这标志着科学的真正进步.”[3]正是由于能够提出新的问题、猜想新的可能性以及从新视角看旧问题,克拉维斯才能做出创新工作.

4.1 发现新命题的策略

克拉维斯采用了两种发现新命题的策略.第一种策略是“否定属性”.虽然美国学者布朗和华尔特于20世纪80年代提出这种策略[4],但实际上它在历史上早已有之.克拉维斯在《几何原本》命题的基础上发现新命题的基本流程如图17所示.

图17 克拉维斯发现新命题的过程

《几何原本》命题I.16可以重新表述为:“若一个多边形的边数为3,则其任一外角均大于其不相邻的内角.”该命题所蕴含的部分属性是:(1)多边形的边数为3;(2)研究的目标是多边形的外角与不相邻内角之间的大小关系.克拉维斯否定属性1而保留属性2,即提出问题:如果边数不是3,结果又如何?将多边形的边数改为4,对外角和内角的关系进行探究,就得到新命题1.

命题I.35可以重新表述为:“若两个平行四边形具有相同的底边,且位于同样两条平行线之间,则两者面积相等.”该命题所蕴含的部分属性是:(1)研究对象为两个平行四边形;(2)它们有一条公共底边;(3)它们位于两条平行线之间;(4)研究的目标是面积关系.克拉维斯否定属性1而保留属性2-4,即提出问题:如果不是平行四边形,结果又如何?将平行四边形换成“梯形”这一新属性,克拉维斯得到新命题2.类似地,改变命题I.36的一个属性提出新问题,对问题的探究导致新命题3的发现.

命题I.43可以重新表述为:“在任意平行四边形中,过对角线上任意一点,作两条邻边的平行线,则位于该对角线两端的两个平行四边形的补形相等.”该命题蕴含的部分属性是:(1)已知的多边形是平行四边形;(2)所取的点在对角线上;(3)所取的点数为1,或对角线两端的两个平行四边形具有一个公共顶点;(4)研究的目标是两个补形之间的关系.克拉维斯否定属性3,提出问题:若在对角线上所取点数不是1,或者对角线两端的两个平行四边形没有公共顶点,则结果又将如何?对该问题进行探究,导致新命题4的发现.

第二种策略是“互换属性”,即将原命题中的条件和结论互换,探究逆命题是否成立,从而发现新命题.在《几何原本》中,欧几里得同时给出了部分原命题及其逆命题,如“大边对大角”(命题I.18)和“大角对大边”(命题I.19),勾股定理(命题I.47)及其逆定理(命题I.48),“等边对等角”(命题I.5)和“等角对等边”(命题I.6),等等.但在很多命题的逆命题上,他为后人留了白,命题Ⅲ.22就是克拉维斯补白的结果.

实际上,我们可以证明欧几里得很多命题的逆命题也是成立的.仍以命题I.16为例,将命题的条件与结论互换,得到新命题:“如果平面凸多边形的任意一个外角均大于其不相邻的内角,那么该多边形为三角形.”设A1A2…An为一平面凸n边形,每一个内角所对应的外角大小分别记为α1,α2,…,αn,由αi>Aj(i=1, 2, …,n,j=1, 2, …,n,j≠i)得

(n-1)α1>A2+A3+…+An,

(n-1)α2>A1+A3+…+An,

……

(n-1)αn>A1+A2+…+An-1,

诸式相加得

(n-1)(α1+α2+…+αn)

>(n-1)(A1+A2+…+An),

即

2π>(n-2)π,

于是得

n<4,

故得n=3.

4.2 发现新方法的策略

克拉维斯发现新方法的策略是“更换步骤”,如图18所示.

图18 克拉维斯发现新方法的过程

关于n边形内角和定理,普罗克拉斯证明的第一步是过多边形的某个顶点,用对角线将其分割为n-2个三角形,若不用对角线来分割多边形,结果会如何呢?克拉维斯用多边形内部一点和诸顶点的连线代替对角线,得到了新的证明方法.

类似地,在勾股定理的证明中,欧几里得的第一步是根据命题I.46分别在直角三角形三边的外侧作正方形,即斜边上的正方形与直角边上的两个正方形分别位于斜边的两侧,若斜边上的正方形与直角边上的两个正方形不位于斜边的同侧,结果会如何?图19呈现了三个正方形的8种不同作法,欧几里得选择了第一种,而克拉维斯则选择了第二种.

图19 直角三角形三边上正方形的不同作法

随着证明第一步的改变,第二步中的沟通正方形和长方形的媒介也发生了改变,两者不同的媒介对应了克拉维斯的两种新证明.

如果选择第三和第四种作图法,可以得到中国晚清数学家华蘅芳(1833-1902)的两种证明,如图20所示.

图20 华蘅芳关于勾股定理的两种证明

4.3 发现新课题的策略

克拉维斯在《几何原本》基础上发现新课题的策略是“倾听古人”,这种策略可以分解为四步:倾听、质疑、设问和探究.

对于平面凸多边形,欧几里得很清楚“等边”和“等角”是不等价的.他在第1卷中定义了等角不等边的四边形(矩形)和等边不等角的四边形(菱形),由此很容易发现,圆内接等角四边形不一定是等边的,圆外切等边四边形不一定是等角的,如图21所示.因此,欧几里得在第四卷的相关命题中,始终将“等边”和“等角”这两个条件并列.这是克拉维斯“倾听古人”所获得的信息.但“等边”和“等角”真的毫无关系吗?这是克拉维斯的质疑.有了质疑,克拉维斯就提出了具体的问题:在什么条件下等边多边形一定是等角的?在什么条件下等角多边形一定是等边的?于是,一个新的课题诞生了.

图21 从圆内接矩形和圆外切菱形看等边和等角的不同

在《几何原本》命题中寻找欧几里得默认而未曾作过证明的结论,据此展开深入研究,得到许多新的命题.“等边”和“等角”的关系是欧几里得为后世留下的十分精彩的课题.

5 结语

克拉维斯发现新命题、新方法和新课题的策略为留白创造式教学提供了参照.

首先,从克拉维斯的注解中,可以发现《几何原本》所蕴含的若干留白形式:发现之白、论证之白、方法之白和问题之白,这些形式为教师在课堂上留什么白提供了参照:可以为学生发现新知、论证命题、运用新法和提出问题提供思维空间和探究机会.

其次,从克拉维斯的注解中,可以发现若干具体的留白策略:否定属性、互换属性、更换步骤、倾听古人,这些策略为教师在课堂上如何留白提供了参照:毫无线索的留白可能导致“白留”,而有线索的留白则更为高效,可以引导学生运用“倾听”策略去补“发现之白”,运用“否定属性”和“互换属性”去补“问题之白”,运用“更换步骤”策略去补“方法之白”.

读史让我们发现留白有形,悟史让我们发现留白有方.这正印证了数学家M·克莱因(M. Kline, 1908-1992)的名言:“数学史是数学教学的指南.”