以学定教,让数学学习真正发生

梅升

[摘  要] 建构主义学习理论提出：学习者在原有认知经验的基础上生发出新的知识，是学习真正发生的过程. 因此教师设计教学时，需充分了解学生的原有认知结构，以学定教，让知识自然生成. 文章以“向量的加法”的教学设计与评析为例，提出：尊重个体差异是“以学定教”的前提;教师精心预设是“以学定教”的关键;发展核心素养是“以学定教”的目标.

[关键词] 以学定教;个体差异;精心预设

“以学定教”是指根据学情确定教学方案. 学情包括学生的知识与技能基础、现有的认知水平、对新知的情绪等;定教是指在合适的起点选择最优的教学手段，促进学生的发展. 在教学中，囿于课堂时间与空间的限制，“生成知识”需耗费较多的时间，有些教师就选择奉送概念、直给结论等方式缩短教学时间. 这种忽视知识形成过程的教学方法，严重阻碍了学生思维的发展.

俗话说“磨刀不误砍柴工”，想让学习真正发生，就要在“以学定教”的基础上实现知识的“再创造”. 本文以“向量的加法”的教学设计与评析为例，提出“以学定教”的前提、关键和目标，与君共勉！

教学设计与评析

第一个环节：情境导入

情境1 如图1所示，机场A没有直达机场B的航班，若想到机场B需从机场A出发经机场C转机，该如何设计飞行航线呢？

情境2 如图2所示，已知长江江水向东流动的速度为12.5 km/h，若渡船的船速为25 km/h，该渡船想要垂直地从长江南渡口开到长江北渡口，该怎么确定其航向？

问题1 在两幅图（图1、图2）中分别画出两次位移的合成与速度的合成，如果将它们视为向量，分析三者间具有怎样的关系.

问题2 如何用数学符号表达它们的关系？

问题3 填空：①已知非零向量a，b，在平面内____，作____，____，那么向量____叫做a与b的和，写作____. 求两个向量和的运算，叫做____;②a+0=（  ）;③a+（-a）=（  ）.

问题4 写出向量的加法法则.

问题5 说说向量加法中的平行四边形法则与三角形法则的区别与联系.

评析 两个情境都源于学生熟悉的现实生活，且与物理学科中的“矢量的合成”有着异曲同工之妙，不仅成功吸引住了学生的注意力，让学生对向量的加法产生了探索欲，还从一定程度上实现了学科间的关联，让学生感知物理与数学学科之间的联系，为后续深入探讨“如何加向量”奠定了基础.

纵观上述几个问题的设计，前两个问题（问题1和问题2）主要引发学生在观察中对向量的加法产生直观感知与体验，并尝试将这种体验用数学语言表达出来;问题3、问题4属于对向量加法的概念与方法的归纳过程，这也是对数学知识进行规范表达与提炼的过程，意在引导学生学会用规范的数学语言对向量的加法加以概括;问题5意在引导学生对向量加法中平行四边形法则与三角形法则进行类比，发现这两种向量加法法则在本质上属于“异途同归”，而且平行四边形法则还可以转化成三角形法则，从而揭示向量加法法则的本质规律，学生的思维也在类比思想的应用中得以有效发展.

第二个环节：尝试体验

向量a与b如图3所示，作出向量a+b.

评析 充分了解学情是“以学定教”的前提. 在探究前，学生的认知水平究竟处于什么样的层次？是否具备一定的潜能，能独立思考并解决一些问题？这些都是客观判断学情的基本条件，也是进行教学安排的依据. 在情境导入时，虽让学生对向量加法法则进行了提炼与总结，但学生理解与掌握的程度究竟如何？是表浅记忆，还是真正理解了向量加法法则呢？这些都需要通过检验才知晓.

尝试体验环节能让教师洞察出学生是否真正了解了向量加法中“首尾相接”的内涵，當遇到没有平行四边形与三角形作为背景依托时，两个向量处于共线状态该如何作出“和向量”？若学生的思维出现了卡壳状态，则教师可通过适当点拨为学生指点迷津. 如引导学生将目光回归到向量加法的概念中来，根据首尾相连与起点指向终点的特征来分析并解决问题.

因此，这是一个引发学生产生主动思考的环节. 看似简单的一个问题，却蕴含着大能量，学生通过主动思考、探索与尝试，将原本浮于表面的认识逐渐内化到认知体系中，形成深度思考. 随着问题的解决，不少学生从中探寻出了重要的通性通法，并在知识的本质中摸索到了重要规律.

当然，若学生在此环节中出现了思维障碍与错误解法，教师可通过适当点拨，帮助学生调整解题思路，并在思维冲突中进一步深化对向量加法法则的认识.

第三个环节：探究释疑

探究1 如图4所示，请用作图法来验证向量a，b，c的加法交换律与结合律.

探究2 （1）如图5①所示，求+++;（2）如图5②所示，求同一平面内n（n>3）个向量的和.

探究3 如图5③所示，若将同一平面内的n个向量首尾相连，形成封闭的折线，求这n个向量的和.

评析 新课标明确提出：有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式. 数学学习需要主动性，而探究过程则是体现学生为课堂的主人，发挥其学习主动性的重要契机.

探索作为教学活动的重要环节，是培养学生实践能力与创新意识的主要途径，也是促使学生形成深度学习的载体，对提升学生的学习能力与思维能力具有重要影响. 观察上述三个探究问题，其彼此独立，又有一定的联系. 它们不仅能深化学生对向量加法运算律的认识，还能促进学生数形结合思想、类比思想等的形成.

实践证明，高效的探究活动须全体学生积极主动地参与，那么教师应为学生提供充足的时间与良好的探究平台，鼓励学生通过小组合作的方式不断深化对知识的理解，并在积极的讨论与交流中进行总结、展示. 学生因亲历互动、交流、质疑与思辨的过程，不断积累探究经验与研究方法，故能够更加深刻地认识向量加法法则.

第四个环节：实际应用

题1 如图6所示，已知点O是正六边形的中心点，请在图中作出以下几个向量：①+;②+;③+.

题2 解决情境2中的问题.

评析 任何知识的学习都是为实际应用服务的，上述两个问题是检验以上教学成效的重要指标，尤其是题2要求学生解决情境2中的问题，起到了首尾呼应的效果. 学生在新知建构的基础上再回过头来重新思考原来的问题，能够产生不一样的学习体验.

上述两个问题都凸出了向量加法在复杂图形中的应用，着重考查学生对新知的加工处理能力以及思维能力. 学生的数学能力的强弱，体现在解题思路上. 因此，数学教学离不开解题训练，问题的设计与选择至关重要，过于简单的问题达不到产疑、启思的效果，而过于复杂的问题又让学生寸步难行.

在解题教学中，若教师自顾自地讲解，将浪费学生思考的时间. 因为教师的思维起点与学生的认知水平不在同一个层次，教师的思路无法替代学生的思路. 要使解题教学发挥其价值，最好的方法是在尊重学生的基础上，鼓励学生独立思考，教师“放权”给学生，让学生勇敢地表达、展示，只有会“倾听”的教师才是好教师. 学生展示思维的过程，是发展个性的过程，是树立创新意识和提高核心素养的过程.

教学思考

1. 尊重个体差异是“以学定教”的前提

哈佛大学的加德纳教授认为：每个人的智力都是多元的，每个人都拥有不同程度的九种智力，这些智力组合在一起就形成了个体差异. 对于学生而言，个体差异是客观存在且不可否认的事实，不同的学生存在不同的智力强项、心理倾向与学习风格. 教师应充分尊重学生客观存在的个体差异，尽可能地发展学生的智力强项，让每一个学生都能在教学中获得不同程度的发展，让课堂教学效益最大化.

面对不同认知水平的学生，教师应从学生思维能力的差异着手，由浅入深地设计出层次分明的问题，让问题成为学生思维成长的“脚手架”.

对于基础较薄弱的学生，教师应特别关注他们对基础知识的掌握，不论是课堂教学的哪个环节，都要做到不抛弃、不放弃，用平等的眼光去看待他们，用更多的耐心去培养他们，尽可能让他们在课堂中受到更多的关心，使其收获学习的成就感，建立学习信心;對于学优生，教师需要关注的是这类学生所提问题的深度与新颖程度，观察他们的解题技巧与创新意识的发展，必要时可适当地“加餐”，以拔高他们的思维.

对于基础较差的学生而言，虽然有情境探究作为基础，但在实际应用环节中仍然存在不能充分理解题意、害怕计算等问题. 此时，教师可有意识地放慢教学速度，认真倾听这部分学生的解题思路，必要时通过耐心引导与鼓励，让他们真正体验向量加法法则的内涵.

承认并尊重学生的个体差异，利用各种教学手段杨其所长，是实施“以学定教”的前提.

2. 教师精心预设是“以学定教”的关键

凡事预则立，不预则废. 新课标明确学生在课堂中的主体地位，但教师的引导作用不容小觑. 虽说如今的课堂强调学生主体参与，注重师生、生生的合作交流与动态生成，但这一切都是在教师精心预设的基础上有计划、有目标、有组织地实施. 缺乏精心预设的课堂，只能是一盘散沙，最终落得个假热闹.

想让课堂教学达成预期目标与成效，教师不仅要在课前充分了解学情，还要在课堂中掌握好学生的思维动向，适当时给予点拨与引导，让学生的思维围绕核心问题展开. 例如认知水平较弱的学生解决探究3的问题时，教师要关注他们的思维动向，必要时进行点拨，让他们结合图形与向量加法法则分析问题.

如图7所示，教师精心预设一般分为原行为阶段、新设计阶段与新行为阶段. 本节课笔者以五个逐层递进的问题有效激发学生思考，学生的行为表现也基本在笔者的预设范围内，由此产生的教学成效较明显.

3. 发展核心素养是“以学定教”的目标

如今的学科教学都以发展学生的学科核心素养为目标，数学教学亦不例外. 数学核心素养涵盖六大要素，一堂好课，必然是围绕学生的六大素养进行的. 要让核心素养在课堂中扎根，就要将培养学生核心素养的理念根植于每一个教育工作者的脑海中.

尽管随着时代的进步与发展，学生获取知识的途径越来越丰富，但课堂依然是进行教育教学的主阵地，是学生汲取知识、发展核心素养的重要场所. “以学定教”能有效启发学生的思维，在“以生为本”的基础上，提升每一个学生的思维品质，让每一个学生获得“三会”能力.

总之，发展学生的数学核心素养是时代赋予教师的任务，“以学定教”是实现这一目标的根本. 鉴于此，每一个教师都应树立“以生为本”“立德树人”的教育理念，不忘数学教学的初衷，做好精心预设，有效培养学生的创新意识，让数学学习真实发生.