在同课异构中感悟执行数学学科本质的教学

王昌林 李伟 杨坤林

[摘  要] 文章从两堂“等差数列的前n项和”的同课异构研讨课的教学实录出发，对比两堂课的教学设计与现场实况，分析教学设计与教学中值得肯定与存在不足的地方，并提出明确的教学方法，给出领悟和开发教材的建议;最后以具有数学学科本质的教学观为基础，给出执行数学学科本质的教学设计与案例.

[关键词] 教学实录;同课异构;学科本质;等差数列

问题提出

近期，笔者听了两堂“等差数列的前n项和”的同课异构研讨课.根据课前了解，两堂研讨课的授课对象是两个水平相近且在学校处于中等偏上的班级.教师甲以人教A版《普通高中课程标准试验教科书·必修5》（下文简称旧教材）开展授课，教师乙则以人教A版《普通高中教科书·选择性必修第二册》（下文简称新教材）开展授课.两堂课有相同的教学设计，例如都用“小高斯”的故事作为课题引入;也有不同的教学设计，例如倒序相加法的讲解过程，教师甲注重数形结合，教师乙则注重数列本身的逻辑推理.对于本节知识内容所涉及的“小高斯”的故事是否起到引导作用、等差数列求和的奇偶项的困扰该如何处理、倒序相加法的讲解是否突兀、数与形是否被埋没、讲与练是否失衡等问题的解决，到底哪位教师的教学设计更符合学生的认知规律？引发笔者深思.

课堂对比与评析

1. 情境导入

教师甲：

讲述泰姬陵的传说，指出泰姬陵的陵寝中有一个以大小相同的圆宝石镶饰而成且共有100层的三角形图案，让学生思考并计算这个三角形图案共花费了多少颗圆宝石. 紧接着讲述“小高斯”的故事以及高斯算法.

教师乙：

用多媒体设备播放“数学天才高斯的故事”微视频，然后让学生思考并回答问题“‘1，2，3，…，100是什么数列？高斯计算的问题实质是什么？”

评析 教师甲导入的泰姬陵传说和“小高斯”故事存在重复的现象，而且讲述泰姬陵传说时只给了一张泰姬陵的远景图片，并不能达到激发学生学习兴趣的目的. 泰姬陵传说和“小高斯”故事虽为后面的数列求和埋下了伏笔，它们所占用的时间过多. 教师乙则目标明确，直奔主题. 微视频的引入使课堂更具直观性与渲染力. 导入是教师在一个新的教学内容或教学活动开始时，引起学生注意、激发学生学习兴趣，引导学生明确学习目标、形成学习动机的一类教学行为[1]. 好的导入环节应该既围绕主题又富有新意、既简洁明快又直奔主题.

2. “奇偶项”的处理

教师甲：

高斯算法是否具有一般性？换句话说，等差数列從第一项起至某一项的所有和能不能像高斯那样去计算？你能解决以下问题吗？

（1）数列1，2，3，…，该数列前201项的和是多少？

（2）数列1，2，3，…，n，该数列前n项的和是多少？

教师乙：

问题1：高斯算法的巧妙之处在哪里？

问题2：用高斯算法求S=1+2+3+4+…+100+101会出现什么问题？

问题3：请同学们计算S=1+2+3+…+n（n∈N*）.

评析 高斯算法与一般的等差数列求和还有一定的距离[2]. 两位教师都成功设计了从特殊到一般的教学过程. 为了过渡，旧教材与新教材都设置了与1+2+3+…+n有关的篇幅，但旧教材没有明确展示奇偶项的过程;新教材则注重奇偶项的处理，清晰罗列了n分别为奇数和偶数两种情况. 在教学过程中，教师应该给学生提供充足的时间让其感受与探索知识本身的内在规律.

3. “求和公式”的处理

教师甲：

步骤1：用图案展示第1层到第100层的圆宝石排列情况，引导学生联系高斯算法，联想“首尾配对”摆出几何图形，即引导学生思考如何将图案与高斯的倒序相加联系起来，将两个三角形拼成一个平行四边形.

步骤2：给出数列{a}前n项和的定义，引导学生探究任意的等差数列{a}的前n项和的关系式，并写出等差数列的求和公式S=.

步骤3：引导学生结合等差数列的通项公式a=a+（n-1）d，推导出等差数列的另一求和公式S=na+d.

步骤4：利用梯形的面积公式，帮助学生记忆等差数列的求和公式.

教师乙：

步骤1：引导学生联系S=1+2+3+…+n（n∈N*），让学生自主探讨等差数列{a}的前n项和S=a+a+a+…+a+a.

步骤2：询问学生“等差数列的求和公式是根据什么特征推导而来的？数列求和的本质是什么？”

步骤3：引导学生将等差数列的通项公式a=a+（n-1）d代入S=，然后变形并整理得S=na+d.

评析 对等差数列前n项和公式的推导，教师甲注重数形结合，教师乙则注重数列本身的逻辑推理，都是可行的. 值得注意的是倒序相加法的教学不能强加于学生，应在学生充分理解等差数列的特征性质后，利用等差数列中的“平均数”，通过“倒序相加”实现“不同数的求和转化为相同数的求和”的目的，这是推导等差数列前n项和公式的指导思想，也是本节课的教学主线[3]. 对等差数列的前n项和公式进行推导，应经历“首位配对—分类讨论—倒序相加”的认知过程，其中蕴含着代数推理的一般方法，可使学生从中领悟到特殊到一般、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，也让学生完整经历探索数学公式的代数思维过程.

4. 课堂总结

教师甲：

引导学生回顾特殊到一般的研究方法;让学生体会等差数列的基本表示方法以及倒序相加法和数形结合思想;使学生掌握等差数列的两个求和公式及简单应用.

教师乙：

问题1：从这堂课中你学到了哪些重要的知识呢？

问题2：在等差数列的前n项和公式的推导过程中用到了什么方法？

问题3：在获得等差数列的前n项和公式的过程中，你体会到了哪些数学思想方法？在公式应用中又体会到了哪些数学思想方法？

问题4：在学习函数时，我们学到了函数的哪些知识？其研究路径和方法是什么样的？我们研究数列和研究函数的路径和方法有何联系？

评析 一堂好课不仅要有一个好的开端还要有一个好的结尾. 课堂总结的方法和形式是多样且不拘一格的.教师甲采用归纳概括式的总结方式，教师乙则采用问题探究式的总结方式，其中归纳概括式的总结方式是绝大多数课堂的总结方式. 无论是哪一种总结方式，其目的都在于归纳总结学生所学知识，让学生感悟思想方法，帮助学生建构知识网络，从而为学生继续探索做铺垫.

教学思考与感悟

1. 明确教学方法

数学教学就是在教材与教育之间搭建桥梁，桥梁稳定与否取决于教师对教材的理解是否透彻、加工是否周密，从而创造性地设计课堂. 常言道：学之道在于“悟”，教之道在于“度”.教学是讲方法而不是简单传授知识，要让学生学到方法从而领悟到知识的内在本质. 如何教学呢？问题的合理设置就是一个好的应对措施. 问题的合理设置可以从角度、梯度、深度、广度和难度等五个“度”进行，具体如下：

（1）紧扣教学目标，符合学生实际，问题具有针对性;

（2）设问循序渐进，思维逐次深入，问题具有层次性;

（3）引发认知冲突，激活学生思维，问题具有挑战性;

（4）解答思路多样，思维活动开放，问题具有开放性;

（5）面向大众学生，符合认知水平，问题具有适切性.

2. 透彻领悟与开发教材

教材浓缩了数学家的思维成果，凝聚了编写者的集体智慧，是实现课程目标的重要资源，也是课堂教学设计的主要依据. 因此，透彻领悟教材首先应该尊重教材. 透彻领悟教材的关键在于领悟教材的学科知识背景与基本要求，而领悟学科知识背景在于关注知识的学术形态与开发知识的教育形态. 教材是静态的，学生是动态的，文字是无声的，思考才是炽热的. 教材再创造是领悟学科知识背景的具体体现，也为课程的开发做好了铺垫. 奥苏贝尔指出：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么我将一言以蔽之曰：影响学习的唯一重要的因素就是学习者已经知道了什么. 要探明这一点，并应据此进行教学.”[5]因此，教材开发要立足学情，以学习水平中等偏下的学生作为参照起点，以教材结构和知识联系作为逻辑起点，以学生的认知水平和知识基础作为现实起点，最终设置合理的问题起点并对教材进行再创造.

3. 具有数学学科本質的教学观

《普通高中数学课程标准（实验）》提出的高中课程的10条理念中的第3、第7、第9条分别指出：倡导积极主动、勇于探究的学习方式;强调本质，注重适度形式化;注重信息技术与数学课程的整合. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出的4条高中课程的基本理念中的第3条指出：把握数学本质，启发思考，改进教学. 可能许多一线教师受希尔伯特的“形式主义”和布尔巴基学派的“结构主义”思潮的影响且陷入其中，但丢掉数学的背景和本质肯定是不可取的. 形式化虽然是数学的特征之一，但不能过度. 高中数学需要返璞归真，应该努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质[6]. 高中数学教学应以发展学生数学学科素养为导向，创设合理的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学知识的本质. 通过独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学生学习数学的兴趣，培养学生良好的学习习惯.

4. 执行数学学科本质的教学设计

（1）创设问题情境为切入点，让探究更加自然.

《辞海》把“情境”解释为：“一个人在进行某种行动时所处的社会环境，是人们社会行为产生的具体条件.”在核心问题的统领下，设计一系列的问题串，让学生在疑虑中探究，在探究中经历深刻思考，通过一系列问题串的解决，核心问题被自然突破，等差数列前n项和公式的推导也就水到渠成[7].

（2）体现数学核心素养，让教学更具内涵.

数学核心素养是数学育人的集中体现，是通过数学学习而逐步形成的能力、品格和价值观念. 基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学本质，创设合适的教学情境，提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，培养和发展学生的数学学科核心素养[8]. 数学核心素养是“四基”的继承和发展.教学中教师要引导学生理解基础知识，帮助学生掌握基本技能、积累数学基本活动经验，让学生感悟数学基本思想，促进学生数学学科核心素养的持续提升[9].

（3）教学设计路径与案例.

教学设计的基本路径是什么？从现代教学系统中的教师、学生、内容、方法和媒体等5个根本要素中来看，可以学生对数学知识本质的理解为基础，将数学知识本质以问题情境的创设、教学问题的设计以及知识逻辑的梳理等方式进行教学形态的展现. 其中对于数学知识本质的理解，本节课可通过数学史建构知识结构——这并不是唯一的方式，具体应参照教材与课程标准. 教学设计路径如图1所示.

案例 与等差数列前n项和公式推导中“倒序相加”相关的教学片段.

师：对于1，2，3，…，100的求和问题，“小高斯”用到了“配对求和”的方法，同学们能否换一种方法也可以快速得到答案呢？（大多数学生都面露难色，教师坚持让学生探寻方法，逼迫学生思考）

生1：我只想得了一个一个地相加.（众生一笑）

生2：以“小高斯”想到的是S=50×（1+100）=5050，我想到的就是S=50×（100+1）=5050.

师：非常好，为什么你会想到S=50×（100+1）=5050呢？

生2：我想不到其他的了，就想到简单的加法交换律.

师：同学们对比一下50×（1+100）=5050与50×（100+1）=5050这两个式子，有什么启示吗？

生3：我们可以把S=50×（100+1）=5050看作S=100+…+3+2+1.

师：对比S=1+2+3+…+100与S=100+…+3+2+1这两个式子，还有什么启示吗？

生4：它们的和都是一样的.

生5：这两个式子一个是顺着写的，一个是倒着写的，项数一样且对应项相加都等于101.

师：既然如此，如果把它们放在一块，那么就有（教师板书过程）

[   S=1      +2     +3     +…+100

+  S=100    +99     +98    +…+1] [2S=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）]

我們就可以得到S==5050.

生（众）：原来还可以这样计算.

……

评注 该案例在核心问题的统领下，设计出了一系列的问题串引导学生思考.让学生经历“跳一跳”的思考过程，最终解决一系列的问题串，从而获得“倒序相加”的思想方法.

结语

学科本质的教学设计与教学过程是以核心素养为基础的. “等差数列的前n项和”这一堂课的知识内容充分体现了数学核心素养中的数学抽象、逻辑推理、直观想象与数学运算. 数学抽象是数列求和概念形成的前提，逻辑推理是学生从高斯算法的故事中感知命题转化的过程，直观想象能让学生感受倒序相加法的意义所在，而数学运算则能让学生领会等差数列的前n项和公式的应用. 从学科本质出发的教学设计应充分把握、凸显、导出以及强化知识的本质.

参考文献：

[1] 王晞等. 课堂教学技能[M]. 福建教育出版社，2008.

[2] 金明，黄林盛. 让学生在探究中乐享精彩数学——“等差数列的前n项和”教学设计及反思[J]. 中国数学教育，2016（22）：47-50.

[3] 章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究[M]. 华东师范大学出版社，2021.

[4] 邝孔秀，张辉蓉. 双基教学：摒弃还是发展[J]. 教育学报，2013，9（03）：42-48.

[5] 濮江，伍小红. 奥苏贝尔学习理论在中学讲授教学中的启示[J]. 四川教育学院学报，2006 （05）：20-22.

[6] 林燎. 中学数学教学要注重数学本质的呈现[J]. 数学通报，2009，48（08）：45-48.

[7] 杨勇. 突破“核心”问题 驱动自主探究——以“等差数列的前n项和”为例[J]. 教学月刊·中学版（教学参考），2020（Z1）：81-85.

[8] 董荣森，华秋艳. 基于数学核心素养视角下的情境创设与问题设计[J]. 中学数学杂志，2019（05）：16-18.

[9] 刘明. 新课标视域下高中数学教学的再审视——从2019年全国Ⅰ卷“维纳斯女神像”考题说起[J]. 江苏教育，2020（35）：24-29.