一类薛定谔-泊松系统多重解的存在性

胡天群，陈林松，周 鉴*

(贵州师范大学 数学科学学院，贵州 贵阳 550025)

多重解的存在性，其中位势函数V(x)是可变号的.当f和V满足适当条件时，利用变分法和Morse理论得到了该系统多个非平凡解的存在性.

0 引言

研究R3中的薛定谔-泊松系统

(1)

系统(1)由Bench等[1]首次提到，用来描述非线性稳态的薛定谔方程与静电场之间的相互作用，它广泛出现在量子力学模型和半导体理论[2-6].

2007年，Wang等[7]首次研究了具有不定位势的薛定谔-泊松系统，其中f是渐近线性的.Chen等[8]假设非线性项f是4-超线性的，通过局部环绕定理和喷泉定理，得到了系统(1)至少一个解和无穷多个解的存在性.Liu等[9]通过Morse理论也研究了f是4-超线性的情况，Alves等[10]利用形变引理和Miranda定理得到了系统(1)的一个变号解.当f为3次线性和非线性时，Liu等[11]研究了系统(1)的非平凡解的存在性.Lin等[12]研究了系统(1)的基态解的存在性，其中V(x)弱可微且渐近趋于常数.

以下假设以下条件成立：

(V)V∈C(R3)是下方有界的，且对任意实数G>0，有μ(V-1(-∞,G])<∞，这里μ表示R3上的Lebesgue测度；

(F1)f∈C(R3×R)且存在p∈(2,6),C>0，使得对任意的(x,t)∈R3×R，有

f(x,t)≤C(1+|t|p-1);

(F3)存在0

(F4)f关于变量t是奇函数，即f(x,-t)=-f(x,t).

众所周知，系统(1)具有变分结构，其解是H1(R3)×D1,2(R3)上泛函

的临界点问题，其中φu为泊松方程

-Δφ=u2

(3)

在H1(R3)中的唯一解.由文献[13]的定理2.2.1可知

(4)

首先介绍Schrödinger算子-Δ+V的特征值问题.考虑以下由极小极大值定义的递增序列λ1≤λ2≤…≤λn，

(5)

如果λ∞是有限的，则λ∞是-Δ+V本质谱的底，并且对于任意的n∈N，不等式λn<λ∞意味着λn是有限重的特征值[14-15].如果V是下方有界的，则λn有定义且有限.

本文考虑系统(1)的多重解的存在性，得到如下主要结果：

定理1设条件(V)及(F1)～(F3)成立.若存在k≥1使得0∈(λk,λk+1)，则系统(1)至少具有两个非平凡解.

定理2设条件(V)及(F1)～(F4)成立.若存在k≥1使得0∈(λk,λk+1)，则系统(1)至少具有k对非平凡解.

需要指出的是，运用山路引理、喷泉定理、环绕定理、变分法等[7,8]来研究系统(1)时，通常对f做一些合适的假设(例如(AR)条件和当|u|→∞时F(x,u)/u4→+∞).然而，本文假设位势函数是可变号的，非线性项f是渐进线性的，没有(AR)条件和当|u|→∞时F(x,u)/u4→+∞，因此方法与前述文献有很大不同.本文对位势函数分区域进行讨论，利用Morse理论得到系统(1)的多重解的存在性，相比经典的变分法更直接.

1 准备工作

由于V是下方有界的，所以可以选择m>2，使得对任意的x∈R3有

(6)

令

为H1(R3)的一个线性子空间，对任意的u,v∈E，定义

|u|s≤τs||u||, ∀u∈E,

(7)

这里|·|s为Ls(R3)范数.

命题1[17]存在正常数a>0，对任意的u∈E，有

(8)

众所周知，在条件(F1)与(F2)下，泛函Φ属于C1(E,R)，且对任意的u,v∈E，其导数为

Φ的临界点即为系统(1)的解.

下面回忆一些抽象的临界点理论.令X为Banach空间，Φ∈C1(X,R).设u是Φ的一个孤立临界点，Φ(u)=c，则Φ在u处的第q阶临界群定义为

Cq(Φ,u)=Hq(Φc,Φc{u}),

其中Φc:={u∈X:Φ(u)≤c},Hq(X,Y)是Z上拓扑对(X,Y)的第q阶奇异同调群.称Φ对于空间分解X=X-⊕X+在0处有一个局部环绕：若存在ρ>0使得

命题2[18]设Φ∈C1(X,R).若Φ对于空间分解X=X-⊕X+在0处有一个局部环绕，则0为Φ的一个临界点，且Cl(Φ,0)0，其中l=dimX-<∞.

定理A[19]设Φ∈C1(X,R)满足(PS)条件且Φ是下方有界的，若存在k≠0使得Ck(Φ,0)0，则Φ至少具有三个临界点.

定理B[20]设偶泛函Φ∈C1(X,R)满足(PS)条件且是下方有界的，如果Φ(0)=0，且存在集合K⊂X使得K通过奇映射与Sj-1同胚，则Φ至少具有j对不同的临界点，这里Sj-1表示j维单位球面，且supKΦ<0.

2 主要结果的证明

引理1对任意的u∈H1(R3)，有不等式

证明由于φu是方程(3)的唯一解，所以

另一方面，可以推出

由此可见

引理2设条件(V),(F3)成立，则Φ是强制的，即当||u||→+∞时Φ(u)→+∞.

由条件(F3)可得

对任意的u∈E，有

因此只需证明Λ是下方有界的.

由(6)式可知V(x)≥-m，所以对任意的M>m+2h,x∈R3，有

故

相应地，将剩下的积分全部拆分到两个集合{V>M}和{V≤M}上，分明证明相应量的有界性.

条件(V)意味着{V≤M}具有有限测度.所以，应用Hölder不等式得到

因此

对于选择的M,m，上式右边显然是下方有界的.

考虑

为了验证能量泛函Φ满足(PS)条件，令

并将Φ改写成以下形式：

引理3设条件(V)与(F1)～(F3)成立，则泛函Φ满足(PS)条件，即任何满足supnΦ(un)<∞且Φ′(un)→0的(PS)序列{un)⊂E均存在收敛的子列.

由(9)和(16)式可知

通过文献[21]的引理2.3及un⇀u于E可知，当n→∞时，有

由条件(F1)和(F2)可知，对任意的C0>0，存在C1>0使得

通过(7)式及un⇀u于E，有

结合(17),(18)与(20)式可知||un-u||→0.】

引理4设条件(V),(F1),(F2)成立，则泛函Φ对于空间分解E=E-⊕E+在0处有一个局部环绕.

证明由于0∈(λk,λk+1).令E-=span{φ1,…,φk},E+=(E-)⊥，那么E-和E+是二次型Q(u)的负空间和正空间，其中

另外，dimE-=k<∞，且存在κ>0使得

±Q(u)≥κ||u||2,u∈E±.

(21)

由条件(F1)和(F2)可知，存在常数Cτ>0使得

若u∈E-，则由(7),(21)和(22)式，有

类似地，若u∈E+，则有

由于p>2，所以可选取充分小的ρ>0，使得：当u∈E-且||u||≤ρ时Φ(u)≤0；当u∈E+且0<||u||≤ρ时Φ(u)>0.】

定理1的证明根据引理2和引理3，Φ是强制的且满足(PS)条件，因此Φ是下方有界的.由引理4和命题2可知，Ck(Φ,0)0，其中k:=dimE-.由定理A可知，Φ至少有三个临界点.因此，系统(1)至少存在两个非平凡解.

定理2的证明由前面的讨论可知，Φ是下方有界的且满足(PS)条件.又由条件(F4)可知Φ为偶泛函.此外，对任意的ρ>0，令

Sρ={u∈E-:||u||=ρ}.

则由(23)式可知，存在足够小的正数ρ使得

由定理B可知，Φ至少有k对不同的非平凡临界点.】