一类多维斑块环境下捕食扩散模型的持久性

张 敬，芦雪娟，马丽丽

(齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006)

0 引言

捕食者与食饵间的捕食关系在自然界中是最常见的生物种群关系，二者在长期的进化过程中互相选择，保持着系统的动态平衡.但由于人类活动对自然界的侵扰，致使捕食者与食饵种群的栖息地不断遭到破坏，被分割成分散的多个斑块，形成了同种群的若干个不同斑块生存环境.针对这一现象，多斑块环境下捕食模型的动力学分析已经成为一个新的研究课题.

1951年，Skellam的工作标志着斑块种群动力学研究的开始；1974年，Levin 提出了斑块环境物种在不同斑块间的扩散问题[1]；通过对斑块捕食扩散模型的研究发现，扩散对系统平衡态的稳定性和种群持续生存都会产生重要影响[2-6].

1 模型建立

本文讨论n维斑块环境下具有一般性功能反应函数且食饵和捕食者同时扩散的捕食扩散模型

(1)

假定捕食功能反应函数为fi(Xi),Xi∈(0,+∞)为以下3种函数：

( i )fi(Xi)=biXi,bi>0,i=1,2,…,n;

bi,ci>0,i=1,2,…,n;

bi,ci>0,i=1,2,…,n.

2 一致有界性

定义向量

假设A0满足非负初始条件

由常微分方程组解的存在唯一性定理知，系统(1)存在唯一满足条件(2)的解(X(t),Y(t)).

定理1若系统(1)满足初始条件(2)，则当t>0时，系统(1)的解(X(t),Y(t))中的Xi(t),Yi(t),i=1,2,…,n均为正且最终一致有界.

证明首先证明当t>0时，Xi(t)>0,i=1,2,…,n.

整理得

令

对(3)式两端关于t积分有

由于Xi0(0)>0，所以Xi0(t)>0,t>0.

若i≠i0,i=1,2,…,n，再次对系统(1)的第一个方程两端关于t积分得

其中

同理可证当t>0时，Yi(t)>0,i=1,2,…,n.

再令

则

由定理1可以构造系统(1)的可行域

显然Γ是系统(1)的正不变集.

3 一致持久性

在系统(1)中令Yi=0,i=1,2,…,n，则Xi满足方程

(4)

假设

(5)

其中s(A)=max{Reλ}，λ是矩阵A的特征值.由文献[7]可以得到

引理2假设条件(5)成立，则系统(1)存在唯一无捕食平衡点Y0=(X0,0)，其中0=(0,0,…,0)T.

类似文献[8]的再生矩阵法，令

由于V为单调不可约M矩阵，所以V的逆矩阵是一个正矩阵.

且系统(1)至少存在一个共存平衡点.

证明令

显然，H是正不变集，系统(1)从集合H出发的轨线最终都进入到H0.令∂H0=HH0.由定理1可知H0是正不变集，且系统(1)是点耗散的.

定义

M∂={A0∈∂H0:Φt(A0)∈∂H0,∀t≥0},

则可以断言

M∂:={A0∈H:Yi(0)=0,∀i=1,2,…,n}.

考虑辅助系统

考虑辅助系统

4 结论