次线性算子的多线性交换子在变指标Herz型空间的有界性

张 婧，程 鑫，张婉婧

(1.伊犁师范大学 数学与统计学院，新疆 伊宁 835000；2.伊犁师范大学 应用数学研究所，新疆 伊宁 835000)

0 引言与主要结果

设f∈L1(Rn)具有紧支集，对∀x∉supp(f)，T是次线性算子，定义

设b=(b1,b2,…,bm),bl∈BMO(Rn),l∈{1,2,…,m},m∈N,x∉supp(f)，由次线性算子T与BMO(Rn)函数b生成的多线性交换子Tb定义为

其中K(x,y)是T的核函数.当m=1时，该算子为一阶交换子Tbf(x)；当bl=b(1≤l≤m)时，该算子为m阶交换子.

近年来，随着对变指标函数空间的深入探讨，有关次线性算子及其交换子在变指标Herz型空间上的有界性引起了学者的关注.2010年，Izuki[1]建立了次线性算子在变指标Herz空间的有界性结果.近来，Wang等[2]证明了次线性算子从变指标Herz-Hardy空间到变指标Herz空间是有界的；王洪彬[3]证明了次线性算子一阶交换子在上述空间的有界性；程星星等[4-5]讨论了次线性算子和次线性算子的交换子的有界性；王盛荣等[6]建立了次线性算子在变指标Herz空间的加权有界性.

在变指标函数空间理论研究中，WANG等[7]证明了Littlewood-Paley算子的多线性交换子在变指标Lebesgue空间的有界性；赵欢等[8]建立了多线性Calderón-Zygmund算子与BMO(Rn)函数生成的多线性交换子在变指标Herz-Hardy空间的有界性.基于上述结果，本文考虑次线性算子与BMO(Rn)函数生成的多线性交换子在加权变指标Herz-Morrey空间和Herz-Hardy空间的有界性.

用B(Rn)表示满足p(·)∈P(Rn)且使得Hardy-Littlewood极大算子M在Lp(·)(Rn)上有界的函数p(·)的全体.

本文主要结果如下：

定理1设q(·)∈P(Rn),ωq(·)∈Aq(·),0

( i )当k∈Z，supp(f)⊆Ak且|x|≥2k+1时，T满足尺寸条件

|Tf(x)|≤C||f||L1(Rn)/|x|n.

(1)

(ii)当k∈Z, supp(f)⊆Ak且|x|≤2k-2时，T满足尺寸条件

|Tf(x)|≤C2-kn||f||L1(Rn).

(2)

dist(x,suppf)≥|x|/2.

注2当b1=b2=…=bm=b时，

即交换子Tb为m阶交换子.所以定理1和定理2对m阶交换子的结论也成立.

当k∈Z时，令球

1 预备知识和记号

赋予如下范数：

则Lp(·)(Ω)是Banach空间，称为变指标Lebesgue空间.

引理1[2]设p(·)∈B(Rn),0<δ1,δ2<1，则存在正常数C，使得对所有Rn中的球B和所有可测子集S⊂B，都有

引理2[9]设p(·)∈P(Rn)，若f∈Lp(·)(Rn),g∈Lp′(·)(Rn)，则fg在Rn上可积，并且

其中rp=1+1/p--1/p+.不等式(4)称为相关于变指标Lp(Rn)空间的广义的Hölder不等式.

文献[14]定义的Muckenhoupt权函数Ap(p∈(1,∞))可以推广到变指标情形.

定义4[11]若q(·)∈P(Rn)，且ω(x)是Rn上非负局部可积函数，则满足fω∈Lq(·)(Rn)的全体复值可测函数的集合为加权变指标Lebesgue空间Lq(·)(Rn,ω)，记为Lq(·)(ωq(·))，其范数定义为||f||Lq(·)(ωq(·))=||fω||Lq(·).

由文献[11]的注1，Lq(·)(ωq(·))的对偶空间为Lq′(·)(ω-q′(·))，这里Lq′(·)(ω-q′(·))=Lq′(·)(Rn,ω-1).

引理3[11]若Hardy-Littlewood极大算子M在对偶空间Lq′(·)(ω-q′(·))上是有界的，则存在常数δ∈(0,1)和C>0，使得对所有Rn中的球B和所有可测子集S⊂B，都有

引理4[10,11]设q(·)∈B(Rn)，则存在常数C>0，使得对所有Rn中的球B，有

定义5[2]设α∈R,0

其中

非齐次变指标Herz空间定义为

其中

定义6[13]设α∈R,0≤λ<∞,0

其中

非齐次加权变指标Herz-Morrey空间定义为

其中

其中N>n+1且

φ*是非切向极大算子，即

其中φt(x)=t-nφ(x/t).

定义7[2]设α∈R,0n+1.

( i )齐次变指标Herz-Hardy空间定义为

(ii)非齐次变指标Herz-Hardy空间定义为

定义8[2]令nδ2≤α<∞,q(·)∈P(Rn)且非负整数s≥[α-nδ2],

(a)Rn上的函数a称为中心(α,q(·))原子，如果它满足下列条件：

( i )对某个r>0，suppa⊂B(0,r)={x∈Rn:|x|

(ii)||a||Lq(·)(Rn)≤|B(0,r)|-α/n.

(b)Rn上的函数a称为限制型中心(α,q(·))原子，如果它满足条件(ii),(iii)及下列条件:

(i′)对某个r≥1有suppa⊂B(0,r).

引理5[2]令nδ≤α<∞,0

(i),(ii)中的下确界是对f的所有上述分解而取的.

BMO(Rn)空间是由满足如下条件的所有局部可积函数f构成的函数类：

特别地，

为了证明主要结果，首先建立如下引理，它是文献[10,11]中相应结果的推广.

引理6若m∈N,k>i(i,k∈Z),bl∈BMO(Rn),1≤l≤m,ωq(·)∈A1，则

这里上确界取遍Rn上的所有球B.

证明由广义Hölder不等式和引理4可以得到，对任意球B，有

令

则

因此

接下来证明(8)式.对于k,i∈Z,k>i，可以得到

所以

2 主要结果的证明

先对I1进行估计.因为k>j，所以根据Tb的定义及尺寸条件(1)可得

故由引理6、引理4以及引理3可得

对于||fj||Lq(·)(ωq(·))，有

所以，当k>j时有

当10，所以由Hölder不等式，有

当0

接下来对I2进行估计.由Tb的Lq(·)(ωq(·))有界性，可以得到

最后对I3进行估计，I3的估计与I1类似.因为k

当10，所以由Hölder不等式，有

当0

综上所述，有

那么对于次线性算子的多线性交换子，根据上述原子分解理论，有

根据Tb的定义、尺寸条件(3)及广义的Hölder不等式可以得到

先对F1进行估计.因为k>j，所以由引理6可以得到

由引理1及引理4可得

当0

当10，所以，由Hölder不等式可得

最后，估计F2.类似地，当0

当1

所以

需要说明的是，定理2的结果在非齐次的情况下也是成立的.