问题导学式数学课堂的实施*——以“二项式系数的性质”为例

广东省深圳市罗湖高级中学 (518000) 朱丛云

发现问题、提出问题,感悟数学与现实之间的关联是核心素养导向下的课堂教学的重要特征;学会用已有的知识解决实际问题,在各种情境下运用数学知识,不仅让学生学会知识,更帮助学生学会思考、解决问题. 以“杨辉三角与二项式性质”为例,谈谈问题导学下的情境式数学课堂教学设计.

“杨辉三角”是我国古代数学重要的研究成果之一,它与二项式系数性质紧密结合,研究杨辉三角,可以进一步加深学生对二项式系数的认识,在高中数学教学中,“杨辉三角”很好地提供了创造情境的题材.

《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订版)》提出,情境创设和问题设计要有利于发展数学学科核心素养基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质,创设合适的教学情境、提出合适的数学问题,引发学生思考与交流,形成和发展数学学科核心素养. 教学情境和数学问题是多样的、多层次的. 教学情境包括: 现实情境、数学情境、科学情境,每种情境可以分为熟悉的、关联的、综合的. 数学学科核心素养在学生与情境、问题的有互动中得到提升. 在教学活动中,应结合教学任务及其蕴含的数学学科素养设计合适的情境和问题, 引导学生用数学的眼光生进一步理解现象、发现问题,使用恰当的数学语言描述问题,用数学的思想、方法解决问题. 在问题解决的过程中,理解数学内容的本质,促进学生数学学科核心素养的形成和发展.

从知识的上下位关系看,学生已经熟悉了二项展开式及其通项,并且对二项展开式进行细致分析,了解了二项式系数的相关概念. 本节课就在此基础上将二项式系数性质和“杨辉三角”结合起来,建立相关知识的联系.

在本节课的教学组织过程中, 利用小组自学、对学、群学、上台展示、评价超越的方式,建构数学情境,设计自主学习单将教学内容前置,以问题的形式建构数学知识,感受数学文化,拓展教学情境,借助表现性教学的理念,引导学生用数学的语言表达解决数学问题的过程,从而实现新课改提出的在情境中拓展,在表达中提升.

以下为新教材普通高中教科书数学选择性必修第一册第五章计数原理“4.2 二项式系数的性质”的教学案例及其思考.

1 教学案例

问题1: 观察杨辉三角上下行的关系,你能根据杨辉三角的上一行写出下一行吗?

追问: 观察杨辉三角的每个数和组合数之间的联系,你能将杨辉三角的每一个数用组合数的形式写出来吗? 杨辉三角里的数字是肩上的两个数的和,写成组合数的形式怎么表示呢?

设计意图: 列出杨辉三角的部分行后,借助上下行的规律, 让学生观察到杨辉三角里的数字是肩上的两个数的和,通过递推的思想可以写出杨辉三角的任一行.

问题2: 观察杨辉三角的任意一行, 与首末两端“等距离”的两个二项式系数有什么关系呢? 考虑每一行的增减性,从左向右,二项式系数是怎么变化的呢? 每一行的二项式系数何时取得最大值? 你能用函数的思想统一描述这些性质吗?

设计意图: 每一行从左到右的二项式系数就是一个离散的函数,离散的函数左右两边是对称的,在中间取得最大值.从函数角度研究问题时,可以画出它的图象,利用结合直观,数形结合地进行思考,这对发现规律,形成证明思路等都有好处.

问题3: 杨辉三角的第一行的系数之和等于21第二行的系数之和等于22, 第三行的系数之和等于23, ……第n行的系数之和等于多少? 你能证明你的猜想吗? 证明:C0n+C1n+C2n+···+Cnn=2n.

问题4: 以第6 行为例, 偶数项的二项式系数的和与奇数项的二项式系数的和有什么关系呢? 以第n行为例,二项展开式中, 偶数项的二项式系数的与奇数项的二项式系数的和有什么关系呢? 证明:C0n+C2n+C4n+···=C1n+C3n+C5n+···

设计意图: 在二项式定理(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-b2+···+Cknan-kbk+···+Cnnbn中,令a=-1,b=1,则得到每一行的系数之和为0,即可得出二项式展开式中,奇数项的和与偶数项的和相等. 是问题3 的递进式表达.

问题5: 阅读课本,观察杨辉三角,你还能找出哪些规律?

设计意图: 开放性的问题,可以激发学生进一步研究杨辉三角的兴趣.

通过对杨辉三角隐藏内容和关联知识的探索,学生发现了发现菲波纳契数列,三角形数、正方形数,发现分形三角形,高阶等差数列等.

学生进一步加深了对二项式系数相关性质的运用. 本节课的教学设计,引导学生从问题出发,归纳数学思想,从熟悉的情境中设计出合适的问题,帮助学生建构数学. 如何进一步升华知识,拓展内容,让学生在关联的情境和综合的情境中应用杨辉三角解决问题呢? 为此,我进一步拓展了教学设计. 由于这两个问题是有挑战性和趣味性的,在实际教学过程中,学生的好奇心被激发出来,更加积极主动.

在关联的情境中解决数学问题(与二项式定理关联的路径问题).

问题6: 如图是城市的部分街道图. 纵横各有五条路,如果从A处走到B处(只能由北到南,由西向东),

(1)请在各交叉点标上到达那里的方法数.

(2)如果从A处走到B处(只能由北到南,由西向东)有多少种不同的走法?

生1: 到达各交叉点标上的路径数可以标注出来,可以一条条地数出来,但是比较难数清楚.

师: 是的,但是我们可以先看几个交点,数几条看看. 向右数第一个点是1,第二个点也是1,第三个点也是1,但是右下方的第一个点就会有两条路径,是上面方法数和右边的方法数的.

可以转化为求横线和纵线的排列问题.

生2: 我们把到达那里的方法数标注出来,这些数字的排列与杨辉三角中的数字排列非常的相似. 但我也说不清楚是怎么样的相似.

师: 那我们不妨把这个正方形绕着中心点顺时针转动90°,看看有什么规律?

生2: 哦,我发现了,转动后每行数字的排列就是杨辉三角中各行数字的排列.

师: 大家应该初步感受到了杨辉三角的魅力了,可为什么数字的排阵就是杨辉三角呢? 我们发现在算路径数的时候用的方法是递推,这个递推和杨辉三角中的递推有什么相似之处呢?

生3: 这个递推的方法和杨辉三角中的规律“某个数字等于它肩上的两个数字之和”是一样的.

师: 对了, 这就能解释纵横线路图的数字为什么是杨辉三角的每一排的数字了. 那么从A处走到B处的走法就是70 了.

在综合的情境中解决数学问题(弹子游戏). 设计合适的教学情境、提出合适的数学问题是有挑战性的,也为教师的实践创新提供了平台. 从数学与生活的角度,提出优秀的数学问题,可以帮助学生更好地提升数学素养. 如图,在一块倾斜的木板上,钉上一些正六角形小木块,在它们中间留下一些通道,从上部的漏斗直通到下部的长方形框子. 把小弹子倒在漏斗里,它首先会通过中间的一个通道落到第二层六角板上面(有几个通道就算第几层),以后,再落到六角板的左边或右边的两个竖直通道里去.

问题7: 如果有C0n+C1n+C2n+···+Cnn=2n小弹子落入第n层从左到右数第r个通道的可能性是多少? 如果设置奖金,两边的奖金高还是中间的奖金高?

师: 这个问题和纵横线路图问题有什么相同之处?

生: 弹子每次遇到六角板的端点都有两选择,而在每个端点的路径数就等于它肩上的两个端点处的数字之和.

设计意图: 弹子通过2n个通道,分布也就是杨辉三角的情形,分析方法也是通过“某个数字等于它肩上的两个数字之和”. 与上一个纵横线路图比,问题的情境更加综合,建构数学的想法却是一样的. 从现实情境中抽象出数学知识,最终理解生活中与数学关联的问题. 这种用数学的思维和眼光发现问题解决问题的训练,可以很好地激发学生的兴趣,提升数学学科素养.

2 教学反思

挖掘教学内容的纵深,在情境中拓展,在问题中引申,才能帮助学生提升数学的素养. 现实生活为学生的数学学习提供了大量的生活情境,从数学知识出发,建立模型,并优化解决策略,帮助学生利用已有数学知识在情境中解决问题.

2.1 基于情境,问题导学,引领学生思考

新一轮数学课程改革之后,数学的教学需要提升学生的四基四能,即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力. 传统双基主要指数学学习的结论性知识,新的双基主要指数学学习的过程性体验和感悟,这其中最重要的就是数学学科思维. 因此,数学教学不仅应教给学生数学知识,更应教会学生数学思考. 创设情境,帮助学生感悟教学内容. 课堂教学中需要有问题意识,突出问题导向,通过问题驱动学生的学习.

2.1 重视情境,考教衔接,引导学生把握数学本质

通过对2022 年新高考1 卷数学分析,22 道试题中20 道题数学情境、1 道题生活情境、1 道题科学情境,而新高考2卷中19 道题数学情境、2 道生活情境、1 道科学情境,高考数学题目呈现出“无情境不成题”的试题特点,在平时的教学中我们应当通过数学情境引导学生把握数学内容的本质.

2.3 创设情境,发展解决问题能力,培养创新意识

数学探究作为贯穿高中数学教学的重要要求,应当渗透到教学活动当中, 教学活动除了平时的通过练习巩固提升,还应适当通过问题化情境式教学引领学生创新意识的发展.情境来源于课堂知识的问题化,来源于对生活的理解和观察.教师在这部分的教学中应当主动思考,依托教学内容,创设情境,让数学课堂呈现出从知识出发,拓展到情境再回归总结数学内容本质的挖掘深入的过程.