聚焦核心素养,促进全学段融贯通教学

山东省济南市济南新航实验外国语学校 (250000) 杨超 张素文 祁文焕

在中国知网中以“数学衔接”为主题的期刊论文共648条结果,硕士学位论文共168 条结果. 这些文献既体现出了各位专家学者对解决数学教学问题的热情,也侧面体现了小初高三个学段教学内容、教学方式、评价方式的差异性. 要改变这种现状,仅仅研究小初衔接、初高衔接是不够的,应加强各学段之间的联系,加快全学段融通一体化发展.

为此, 笔者参与了由邵丽云名师工作室开展全学段融通一体化发展的系列教研活动,并执教公开课“确定圆的条件”. 活动以现场直播课、专家引领,线下与线上结合的方式开展,线上面向济南市高中数学教师、全省中小学数学教师.活动以三个学段共有知识“圆”为课题. 各学段选择一节课,根据学生的实际情况与新课标要求,体现各学段所学知识间关联性,学生能力要求的差异性,不同学段的学生思维能力培养的延续性,进一步提高各学段教学的“针对性”、“系统性”、“连贯性”、“发展性”. (济南市小学使用人教版教材,初中使用北师大版教材,高中使用人教A 版教材)本文结合课堂观摩、执教经验、专家发言和自己的若干思考,谈一谈对于全学段融通教学的理解.

1 全学段贯通课例介绍

课例1: 小学“圆的认识”

课程设计注重“做中学”,强调活动经验的积累. 教师通过生活中的圆引入后, 设置了“画一画”、“找一找”、“投一投”三个活动,分别对应了“圆心确定了圆的位置. ”、“在同一圆内,半径都相等,半径是直径的一半. ”、“半径确定了圆的大小. ”三个知识点,活动后用墨子的名言“圆,一周同长也. ”渗透数学史知识. 最后,用短片欣赏生活中的圆,感受圆的美,升华课堂.

课例2: 初中“确定圆的条件”

课程设计注重小组合作探究和现代信息技术的应用. 回顾六年级的“确定圆的要素”、七年级圆的定义、九年级圆的定义后, 强调“圆心和半径确定了, 圆就确定了”, 进而探究“过几点可以确定一个圆? ”,即过几点的圆有唯一的圆心和半径. 通过小组合作和几何画板的演示,学生得到结论“不在同一直线上的三个点确定一个圆”. 在此基础上介绍三角形外接圆定义,并通过两个例题探究三角形外心位置和三角形形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)的关系,体现利用所学知识解决实际问题. 最后当堂检测,课堂小结.

课例3: 高中“圆的标准方程”

课程的探究过程设置了四个问题.问题1“圆的定义是什么?如何确定一个圆? ”回顾了初中圆的定义和确定圆的条件.问题2“在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢? ”在初中知识的基础上利用坐标法确定圆的标准方程. 问题3“你能总结求轨迹方程的一般步骤吗? ”确定了建系→设点→列式→化简→证明五个步骤. 问题4“已知圆心为A(a,b),半径为r,圆的标准方程是什么? ”明确了已知圆心和半径直接确定圆的标准方程的方法.

探究过后,教师设置了两个练习和两个例题. 教师通过两个练习,利用直接法求圆的标准方程,引导学生得到“圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径. ”和“确定圆的方程必须具备三个独立条件即a、b、r.”两个结论. 例1 介绍了待定系数法和几何法,渗透了数形结合的思想,培养学生数学运算素养. 例2 通过所学知识解决实际问题,渗透模型思想. 最后当堂检测,课堂小结渗透数学史内容.

2 全学段贯通分析

笔者在《基于数学核心素养的四线式教学设计——以〈余弦定理〉为例》中,根据数学学科特点提出了数学的“四线式”教学模式. 四线分别是探究线、知识线、思想线、素养线,知识线[1]. 仿照四线式教学模式,根据全学段贯通特点,下面从知识点、数学史、核心素养三方面展开讨论.

2.1 贯通知识,突破重难点

图1 是三节展示课涉及到的知识点. 小学“圆的认识”中“半径确定了圆的大小,圆心确定了圆的位置”在教材中没有具体标注, 但这个知识点是初中“确定圆的条件”转化的基础.“不共线的三点确定一个圆”也是待定系数法求圆的标准方程的基础,所以这需要小学教师着重强调. 同理,小学“圆的认识”中“同一个圆中所有半径相等”和初中圆的两个定义联系密切,而根据“圆是平面上到定点的距离等于定长的点组成的图形”可以直接写出圆的标准方程. 九年级下册第三章第三节的内容“垂径定理”更是几何法求圆的标准方程的基础. 关于圆的内容,三个学段知识相互联系,逐级递进,在教学时如果能考虑知识的前后联系,无疑能够更好的把握重点,突破难点. 本次活动中三位老师有如下几个亮点:

图1

1. 图2,小学教师重点强调“半径确定了圆的大小,圆心确定了圆的位置”,引用墨子名言“圆,一周同长也”,渗透数学史知识.

图2

2. 图3,初中教师以回顾圆的两个定义并强调“半径确定了圆的大小,圆心确定了圆的位置”,进一步探究至少过几点确定一个圆,转化为过几点的圆有唯一的圆心和半径,抓住了这一点,就找到了本节课的着力点.

图3

3. 图4,高中教师回顾九年级圆的定义,让学生具备利用坐标法研究圆的能力,复习确定圆的条件和垂径定理,引导学生多种方法求圆的标准方程,确保本节课知识在学生的最近发展区之内.

图4

图5

“圆”在小学人教版教材中是六年级上册的内容,教材强调“做中学”,通过在圆规画圆、围餐桌铁皮等活动中解决问题,引发学生思考,帮助学生理解概念,获得知识,体会数学转化思想和极限思想,培养应用意识、推理意识和几何直观.

在北师初中大版教材中,涉及圆的内容有两部分. 七年级下册第四章第五节“多边形和圆的初步认识”将圆定义为“平面上,一条线段绕着它规定的一个端点旋转一周,另一个端点形成的图形”. 九年级下册第三章整个章节系统的介绍了圆的内容,将圆定义为“平面内到定点的距离等于定长的点组成的图形”,已经渗透了集合的思想. 初中阶段对于圆的学习主要是在九年级,利用学生已有知识和活动经验,如利用轴对称性探索切线长定理和垂径定理,利用旋转不变性探索圆的弦、弧、角之间的关系,利用演绎推理的方法研究圆心角和圆周角之间的关系. 教材内容包含了分类思想、合情推理思想、演绎推理思想,注重培养学生的推理能力.

高中阶段,圆有关的内容有两节,相对较少,分别是“圆的方程”和“直线与圆、圆与圆的位置关系”.“圆的方程”运用坐标法确定圆的一般方程或者标准方程,研究几何和代数之间的关系,体现了数形结合的思想.“直线与圆、圆与圆的位置关系”在初中“直线与圆的位置关系”的基础上,进一步定量研究. 三个学段关于圆的学习差别较大,小学阶段是对圆初步认识,初中阶段是对圆的重点研究,内容最多,高中阶段则是采用坐标法对圆进行定量研究.

三个学段关于圆的内容虽然重点不同, 但是联系密切.如小学提到的“圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小”,就是初中圆的定义和高中圆的标准方程的基础. 小学的“圆的周长”、“圆的面积”、“扇形”是初中研究“弧长及扇形的面积”的基础. 只有把握知识的前后联系, 了解学生的思维水平,教师才能确定学生的最近发展区,提高课堂效率,培养核心素养.

2.2 贯通数学史,激发学习兴趣

课例1 中运用了墨子的名言“圆,一周同长也”,渗透数学文化,增加了学生的文化自信. 课例2 中讲解了《几何原本》中第4 卷命题4. 5“作三角形的外接圆”,渗透了古希腊数学史[2]. 课例3 介绍了坐标法对几何图形的研究,渗透了解析几何的历史. 数学史是数学不可分割的一部分,目前课堂对于数学史的渗透是不成体系的,这就导致学生对数学史的认识都是零碎的,阻碍了学生数学兴趣的产生. 课例3 中老师渗透数学史知识时,提到了墨子“圆,一周同长也. ”和《几何原本》,虽然是短短几句话,但是学生对于数学史的整体认识有很大的提高. 三个学段的数学史也可以进行串联,如在各学段学习圆的有关内容之后,在复习课以数学史为主线帮助学生感受数学文化. 特别是在高中阶段,学完一部分内容之后,在复习课以数学史为主线,兼顾义务教育阶段内容,梳理数学史,帮助学生感受数学文化,激发学习数学的热情. 表1 是笔者对小初高三个学段与圆有关的数学史的梳理,供各位同行参考.

表1

2.3 贯通核心素养,体现阶段性与一致性

三节展示课中,随着年龄的增长,学生的行为活跃程度降低,但是思维的活跃程度增高. 活动设计小学以游戏为主,初中以动手操作为主,高中则以讨论探究为主,问题难度不断增加,思维含量不断增大,一方面是学生年龄特点导致,另一方面是学生知识水平不同, 数学核心素养水平不同导致.课例1 注重感知几何图形及其组成元素,课例2 注重分析图形的性质,课例3 注重建立形与数的联系. 课例1、2 注重培养几何直观素养,课例3 注重培养直观想象素养,这体现了核心素养的一致性和阶段性. 教育教学过程中,不但要注重学生原有知识水平,更要注重学生原有的素养水平. 对同类知识,明确在不同的学段核心素养培养的重点,教学才能有的放矢.

如图6,数学核心素养是数学教学的顶层设计,具有整体性、一致性和阶段性,并且三个学段的数学核心素养都体现了“三会”,即用数学的眼光观察现实世界,用数学的思维思考现实世界,用数学的语言表达现实世界(下表简称为数学眼光、数学思维、数学语言),但在具体表述又有所不同[3]. 小学阶段侧重对经验的感悟,初中阶段侧重对概念的理解,高中阶段侧重于数学的本质的探究和能力的掌握. 即低年级段数学核心素养的培养应偏于具体,更加侧重于意识方面;高年级段数学核心素养的培养应偏于抽象,更加侧重于能力方面[4].

图6

从大单元教学的角度分析,圆的相关内容,小学阶段注重培养几何直观,初中阶段注重培养推理能力,高中阶段注重培养直观想象素养. 初中阶段关于圆的学习主要是通过合情推理和演绎推理学习圆的相关性质. 数学核心素养的培养,不仅要关注到当节内容,更要从大单元的视角关注要重点培养的核心素养,还要关注其它学段相关内容注重哪方面的数学核心素养. 通过对比分析,教师应关注到数学核心素养的一致性和阶段性,关注学生原有素养水平,确定核心素养的培养增长点,才能更好的将核心素养落地.

3 结语

全学段融贯通一体化发展的系列教研,其目的是建立小学与初中、初中与高中衔接的长效机制,加强小学、初中、高中数学教学“融贯通课堂”的互学共研,让学生在“全学段贯通式教学”中得到“系统性”、“连贯性”、“发展性”的思维训练中成长;让教师在“一体化发展”中教学能力提升. 提高学生数学学科核心素养, 切实落实课堂减负提质主阵地作用,全面提高教育质量,为学生终身发展奠定坚实基础.