数学运算策略的“三板斧”

江西省修水县第一中学 (332400) 刘敏

数学运算是数学学科六大核心素养之一,如何正确理解数学运算,如何提高学生的运算能力,是我们在一线教学中急需解决的问题;笔者十多年的教学经验发现许多学生对数学运算的理解不透彻,运算效率低下,只注重结果,不注重解题思路和解题逻辑;下面笔者通过一些实例就如何掌握一些常见的运算策略做出阐述,望能抛砖引玉!

1 通法不通,回归本质

案例分析: 此解法通过消元,求导取得最值,是一种常规解法,也是一种通法,貌似毫无瑕疵,但是计算相当复杂,对学生的计算能力要求很高,此时,通过对该试题的深层次的分析和思考发现,这道题的结构和常见的均值不等式应用联系紧密. 如果选择双换元思想,问题则迎刃而解.

2 变换角度,优化运算

案例分析: 此解法是通过变二元为一元、再换元,转化为熟知的一元问题,再次换元利用均值不等式求得最值,此方法要求学生熟练掌握转化与化归思想和具备较强的计算能力,在较短的时间内完成困难重重,也就是第一板斧有些失效了. 我国数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休”,既然从代数的角度运算很困难,那我们换一个角度,从几何的角度看.

利用几何意义来求,直线AB过定点Q(a,b),与x轴,y轴分别交于点B和点表示的几何意义就是ΔABC的周长,设ΔOMN的周长为l,由于OC是∠MON的平分线,E,F分别为切点,ΔABC的旁切圆为圆o,如图1

图1

图2

图3

3 对比分析,反思总结

案例3在ΔABC中, 设角A,B,C所对应的边分别为a,b,c, 记ΔABC的面积为S,且4a2=b2+2c2,则的最大值为___.

案例分析: 解法1 通过作高AH辅助线找到高h和边长a的关系式,此方法对学生的直观想象能力要求很高,不容易想到,似乎我们的第二板斧也失效了,再看看第一板斧的解法二和解法三; 也是学生最容易想到的.解法2 通过观察已知条件,变三元为二元,再利用三角换元,最后转化为只含一元的二次函数模型,然而这种转化与化归的思想方法太难, 同时对学生的代数计算能力要求比较高.解法3 通过消元变二元为一元,再换元转化成二次函数,跟解法二一样,这种转化与化归的思想需要学生在解题中多运用. 但是仍然会有很大难度,对于这种题型,有没有一种可以让大部分同学都可以有信心做出来的方法呢? 最好是能在课本中找到一种更本质的方法. 答案是有的,果不其然,在人民教育出版社普通高中课程标准试验教科书A 版选修4-4 知识模块坐标系与参数方程第一讲“坐标系”第1 节“平面直角坐标系”中的例1,课本中给出的方法是利用坐标法求解,借助坐标法我们来看解法四.

解法四:

如果我们在平时的教学中告知学生多归纳总结,不断反思,我们就可以得到这一类题的一个快速而且准确的解题模板,波利亚说过:“当我们成功的解决了一个好问题之后,我们应当去寻找更多的好问题,好问题如同某些蘑菇有些相像,它们能成堆的生长,找到一个以后,应当在周围找找,很可能在附近就有好几个”,就是需要能够用程序化的思想理解与表达问题. 这就是第三板斧——模型化策略

4 教学反思

数学运算是解决数学问题的基本手段. 数学运算是演绎推理,是计算机解决问题的基础. 现在的很多高中生计算能力很差,往往认为计算就是“死算”,而不注重多个思路的归纳总结,导致真正考试的时候要么不会,要么会而不全;新课程标准把数学运算作为六大核心素养之一,培养高中生运算能力迫在眉睫,广大中学教师在教学中应培养学生规范化思考问题,培养优秀的运算品质,只有这样,才能真正让素养落地.