PBL 视域下引导学生自主探究的教学策略研究——以“专题:‘边.边.角’能判定三角形全等吗?”为例

上海市静安区实验中学 (200070) 付慧玲

PBL(Problem-Based Learning)是以问题为导向的教学方法,即问题驱动教学法. 问题驱动教学法以问题为依据引导学生进入学习过程,或者在教学中让学生提出问题,以及学习中遇到的疑惑,或是学习中的难点,从而引领学生的探究方向,激发学生的探究动力,学生主动获取知识并自我建构.自主探究的教学模式是培养学生创新实践能力的一种重要教学模式,有助于学生自主建构知识体系框架,有助于思维导图的构成,有助于学生将知识内化,形成自身的认识.

《义务教育数学课程标准(2022 年版)》在课程理念中提出: 实施促进学生发展的教学活动,有效的教学活动是学生学和教师教的统一,学生是学习的主体,教师是学习的组织者、引导者与合作者. PBL 问题驱动教学法, 紧扣课程理念,关注学生的主体地位,设计自主探究活活动,想要最大程度的提高学生的参与度和自主性, 引导学生研究教学内容,本文以专题:“边. 边. 角”能判定三角形全等吗? 为例,浅谈PBL 视域下引导学生自主探究的教学策略.

1 挖掘教材内容,设计课堂活动,引导学生自主探究

“边. 边. 角”能判定三角形全等吗? 是一节专题探究课,是上海教育出版社,九年义务教育七年级第二学期,第十四章章节末的一篇阅读材料. 在第十四章,学生学习了三角形的基本元素和有关线段,三角形的分类以及全等三角形的相关知识等;学生掌握了全等三角形的几种判定方法,且知晓了这几种判定方法的由来依据. 但是第十四章教材学习的内容并没有包含所有的判定方法,而阅读教材是对本章学习内容的补充,从整个单元设计上来讲,学习本节专题课能使得学生的知识储备更加完善和系统,结合学生的学情和学校的教学设施(平板电脑),制定如下的教学目标.

1.1 制定适切的教学目标

1. 运用方法性类比,回顾已经学习过的全等三角形判定方法的由来依据. 通过画图操作,理解“边. 边. 角”不能作为全等三角形判定方法的道理;

2. 运用平板电脑,借助现代化技术. 通过利用GeoGebra软件动态演示圆与射线的交点情况的过程, 自主探究“边.边. 角”在哪些特殊情况下能画出形状、大小唯一的三角形,在动态变化的过程中探索变量的变化规律,体会、关注临界位置;

3. 培养数学建模和数学思维能力,体会感知数学思想.在“边. 边. 角”全等三角形判定方法的探索中,完善三角形全等的判定方法,体会转化及有序分类的思想.

1.2 张弛有度,把握教学重难点

教学重点“边. 边. 角”在哪些特殊情况下能判定三角形全等的自主探究;

教学难点在动态变化过程中,探求变量变化的规律,并关注临界位置及进行有序分类.

1.3 结合现代化数字手段,丰富课堂活动,预设与实践相碰撞,全方位关注教学过程

1.3.1 复习引入之温故知新

(1)合理设置练习,进行作业讲评

操作1作图

①画ΔABC,使∠A=30°,AB=6cm,BC=3cm;

②画ΔABC,使∠A=30°,AB=6cm,BC=5cm;

③画ΔABC,使∠A=90°,AB=6cm,BC=10cm;

④画ΔABC,使∠A=120°,AB=6cm,BC=8cm.

几个练习中给定的条件均是“已知两边及其中一边的对角”,而通过画图操作,有的画出一个的三角形,有的画出两个三角形,而有的并没有画出三角形. 这里的练习设置,细心的学生会发现,给定的三角形的内角有锐角、直角和钝角,这里也是为接下来的新课学习进行铺垫.

因为,通过画三角形的操作实验已经知道,一个三角形的形状和大小可以由这个三角形中的两边及其夹角或两角及其夹边或两角及其中一角的对边或三边,这样的三个元素唯一确定;这也就是,若两个三角形满足以上所说的条件,那么它们就是全等三角形. 研究判定两个三角形全等的方法,就是从研究根据适当的三个条件画三角形开始的. 所以根据之前的学习历程,将“边. 边. 角”是否能判定两个三角形全等的问题转化为“边. 边. 角”是否能确定三角形的形状和大小的问题来研究,这里就是利用了方法性类比将问题进行了转化.

(2)环环相扣,过渡自然,提出问题1

问题1“边. 边. 角”能判定三角形全等吗?

由课前练习画出的三角形的情况不唯一,可以回答问题1,得出结论:“边. 边. 角”不具有普适性,因此不能作为判定三角形全等的方法.

通过这一教学活动,学生能够说明“边. 边. 角”不能作为判定三角形全等的方法的依据,体会了将两个三角形是否全等的问题转化为能否确定三角形的形状和大小的问题来研究.

1.3.2 设置教学活动,引导学生自主探究

顺势而为,乘胜追击,提出问题2

问题2是否在某些特殊情况下,“边. 边. 角”能判定两个三角形全等呢?

通过类比之前学习的历程,问题2 被转化为: 是否在某些特殊情况下,“边. 边. 角”能唯一确定一个三角形的形状和大小呢? 很自然的引导学生进入下一步的画图自主操作

操作2已知两边及其中一边的对角,画ΔABC.

(1)分析问题已知,培养解决一般性问题的思维能力

问题2 被转化为画图操作进行解决,这里不同于课前练习是给定具体的数据进行操作,而是一个很一般性的问题.

问题3那么如何体现问题的一般性呢?

这里可以用字母表示三角形的边长、相关线段的长度以及三角形内角的度数.

根据之前学习画三角形的经验,

问题4确定一个三角形的形状和大小关键在于?

确定这个三角形三个顶点的相对位置. 而已知一边可以确定三角形两个顶点的相对位置,

问题5而第三个顶点的确定关键在于?

关键在剩余两个条件是什么. 这里由学生根据问题的层层深入, 自主设计画图操作: 画ΔABC, 使AB=c,∠A=α,BC=r,其中c的长度如图所示.

(2)有条不紊,自主探究,用GeoGebra 软件动态体验,构建有序分类的思维习惯

画图操作中给定了AB长度的参考,在剩余的两个条件中考虑先画∠A=α.

问题6α的度数具体是多少未知,但是α是三角形的一个内角的吗? 三角形的内角一般可以是什么角? (锐角、直角、钝角)

根据所学知识知道它可以是锐角、直角和钝角.

问题7那么就需要对α进行分类讨论,按什么顺序讨论呢?

可以按从小到大的顺序进行讨论,因此先讨论α为锐角时,即0＜α＜90°.

接下来画角的对边BC=r,可是问题仍然存在,r的长度是多少并不知晓. 在已经画出的图上,确定长度的线段是AB=c,

问题8还可以找到一条确定长度的线段吗?

可以: 点B到射线AM的垂线段的长度是确定的,即点B到射线AM的距离h,因为经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

问题9那么请大胆猜测,r的长度与h、c的长度有关吗? 有什么关系呢?

而具体有什么关系,能不能画出三角形,需要探索尝试才能知道,这里借助现代科技手段,利用平板电脑,学生自己动手操作,自主探索,借助GeoGebra 软件的动态演示以点B为圆心,r为半径的圆与射线AM的交点情况,直观感受,如下图1 所示. 然后将探索得到的情况一一画在操作单的表格中,并填写出对应的r与h或c的数量关系.

图1 角是锐角

通过平板的演示, 学生能轻松说出圆弧与射线交点的五种情况,并能在操作单上将五种情况画出;但是从r与h或c的数量关系大小看图画的较为凌乱, 从有无交点上看也没有章法, 这里亟需培养的思维能力是: 进行有序分类.

其实在课题的开始对三角形的内角进行分类的时候,已经渗透了从小到大有序分类的思想,r的参考对象稍显复杂,是一个综合性的问题,那么要使得讨论不重复、不遗漏,有序分类就至关重要;而分类的依据,在GeoGebra 软件的动态演示中是影响交点个数的临界位置, 对应的是r与h或c的数量关系,从小到大分别是0＜r＜h、r=h、h＜r＜c、r=c、r＞c;这里对r与h或c的数量关系的确定中蕴含着数学建模的核心素养.

(3)模仿类比,自主探索,层层深入,培养触类旁通的思维能力

已经讨论了α为锐角的情况,那么α为直角、钝角的情况,完全可以运用过程性类比α为锐角的情况进行操作. 而在教学中,学生的课堂反馈非常自然,对剩余两种情况进行了有序分类,明了有序分类的意义,成功的将所学新知识迁移到解决新问题中,α为直角、钝角的两种情况分别如下图2、3 所示.

图2 角是直角

图3 角是钝角

通过设计丰富合理的教学活动,学生经历了这样的一个学习过程,见图4.

图4 学习过程

(4)借助表格,培养化繁为简的思维能力

将讨论的几种情况以表格的形式呈现,将比较复杂繁琐的问题直观呈现出来,简洁明了,有助于学生进行知识梳理,降低理解记忆的难度,增加持续学习数学的兴趣,见表1.

表1 关系表

2 于反思中前进

本次研究不仅关注教师的教学方式,而且关注学生的学习方式和获得知识的途径,同时还侧重初中阶段的“问题解决”和数学建模.

有助于教师做好学生学习路上的“引路人”. 在问题驱动教学法中,教师担任的角色是问题的提出者、课程的设计者以及结果的评估者. 教师运用一系列的问题,引导学生的思维层层递进;设计教学活动,加深学生对知识的理解;关注自主探究,渗透学习数学知识的方法,学会解决一类问题的思考方式. 有利于培养质疑问难,自我反思,勇于创新的科学精神. 问题驱动教学法让学生围绕问题寻求解决方案,能够激发学生学习的主动性,提高其在教学过程中的参与程度,提升学习的求知欲,活跃其思维.

学生经历了从特殊到一般的学习过程,培养了学生解决一般性问题、有序分类、触类旁通、化繁为简的思维能力. 其中有序分类的思想为学生后续的学习搭建了成长的台阶;在课堂活动中学生将旧知识学习的经验迁移到新问题情景中,培养了学生主动探究的学习能力. 而自主探究的学习方式,具有培养学生学会思维、形成思维方法的重要功能,对学生逐步形成良好的创新意识具有重要作用,对学生的未来发展具有不可替代的教育价值.