建立几何模型,促使高效学习——初中“最短路径问题”的教学研究

广东省广州市荔湾区西关广雅实验学校 (510160) 王丹丽

初中平面几何的学习过程中,是在逐步的培养学生的逻辑推理能力、严谨的思维能力以及独立思考解决问题的能力,而几何题目总是千变万化,不同的图形背景有时让问题变得错综复杂,大多数学生感觉到很困难,总是手足无措;“最短路径问题”就是很典型的问题,事实上,很多时候解题方法是相似的,正所谓“万变不离其宗”,因此在中考复习时,建议在引导学生解决这类问题之后,及时归纳总结,提炼解题方法,这将能更大程度的提升学生学习效率和解决问题的能力.

1 解决“最短路径问题”的两个基本事实依据

1.1 点与点间的距离:“两点之间,线段最短”

如图1-1,点A到点B间的最短路径为线段AB,由此引申出三角形三边关系: 三角形任意两边之和大于第三边.

图1-1

1.2 点与直线间的距离:“点与直线上任意一点连线中,垂线段最短”

如图1-2,点P与直线l上的点A、B、C、D的连线中,线段PB的长度最短.

图1-2

2 深入常见模型,建立解题策略

化归思想是中学数学学习中常见的思想方法,“化归”即转化归纳,在解决数学问题过程中,往往需化繁为简,化难为易,化未知为已知,化归思想在数学研究中无处不在[2].

线段和的最短路径问题的基本模型.

模型一两定点一直线[3]

类型1: 两定点在同一直线异侧

例1如图2-1,定点A、B在直线l的异侧,在直线l上找一点P,使得PA+PB的值最小.

解如图2-1-1,连接AB交直线l于点P,点P即为所求作的点. 可以用三角形任意两边之和大于第三边进行证明,理由: 两点之间,线段最短

图2-1

类型2: 两定点在同一直线同侧

例2如图2-2,定点A、B在直线l的同侧,在直线l上找一点P,使得PA+PB的值最小.

解如图2-2-1, 作点B关于直线l的对称点B′, 连接AB′交直线l于点P,点P即为所求作的点.

图2-2-1

图2-2

作对称实现了点B与点B′的等价变换, 此时PA+PB=PA+PB′, 将定点A、B在直线l的同侧转化为定点A、B′在直线l的异侧,取最小值时,作对称能将折线APB转化为线段AB′. 其中选择点A作对称也是可以达到转化作用的.

模型二一定点两直线[3]

类型1 定点在两直线夹角的内部

例3如图2-3,点A位于直线m、n夹角的内部,在直线m、n上分别找点P、Q,使PA+PQ+QA最短.

解如图2-3-1,作点A分别关于直线m、n的对称点A、A′′,连接A′A′′交直线m于点P,交直线n于点Q,点P、Q即为所求作的点.

图2-3-1

图2-3

通过两次作对称,将折线APQ转化为线段A′A′′,从而取最小值.

类型2 定点在一直线上

例4如图2-4,点A位于直线n上一定点,在直线m、n上分别找点P、Q,使PA+PQ最短.

解如图2-4-1,作点A关于直线m的对称点A′,过点A′作直线n的垂线,垂足为点Q,交直线m于点P,点P、Q即为所求作的点.

图2-4-1

图2-4

通过作对称, 将折线APQ转化为线段A′Q, 又因为点Q为直线n上的动点,根据“点与直线上任意一点连线中,垂线段最短”,所以过点A作直线n的垂线段,从而取最小值.

模型三两定点两直线[3]

类型1: 两定点在两直线的外部

例5如图2-5,l1//l2,l1,l2之间距离为d,在l1,l2分别找M、N两点,使得MN⊥l1,且AM+MN+BN的值最小.

解如图2-5-1, 将点A向下平移d个单位到A′, 连接A′B交直线于点N,将点N向上平移d个单位到M,点M、N即为所求作的点.

图2-5-1

图2-5

因为动点间线段MN为定长,这里求AM+MN+BN的值最小相当于求AM+BN的值最小,将点A平移到A′相当于将线段AM平移至A′N,此时AM+BN=A′N+BN,转化为例1 的问题.

类型2: 两定点在两直线夹角的内部

例6如图2-6,点A、B位于直线m、n的内侧,在直线m、n上分别找点D、E,使四边形ADEB周长最短.

解如图2-6-1,作点A关于直线m的对称点A′、作点B关于直线n的对称点B′,连接A′B′交直线m于点D,交直线n于点E,点D、E即为所求作的点.

图2-6-1

图2-6

因为定点间线段AB为定长, 要使四边形ADEB周长最短即AD+DE+BE+AB的值最小, 相当于求AD+DE+BE的值最小, 这个问题类似例3, 通过作对称,化折为直,从而取最小值.

几何题目有时主要考查知识相同,但题目灵活多变,我们需要研究分析问题的共性, 在寻找解题方法中归纳总结,建立解题模型. 在上述基本模型中涉及的直线,实际上是动点所在的直线,而直线的数量其实就是动点的数量,因此我们可以从动点数量的角度进行分析模型的解题途径,找到它们的共性.

解题策略一当题目中只出现了一个动点时:

(1)若动点所在直线在定点之间,利用“两点之间,线段最短”,直接连接;

(2)若动点所在直线在定点同侧,可作其中一定点关于动点所在直线的对称点,再连接.

解题策略二当题目中出现了两个动点时:

(1)动点所在直线平行(或共线),若两个动点间距离是定长,可以将其中一个定点沿定长方向平移定长距离,转化为只有一个动点的问题求解;

(2)动点所在直线相交,若定点在夹角内部,一般需要将内部定点作轴对称,有时需要多次对称;

(3)动点所在直线相交,定点在其中一条直线上,可作定点关于另一直线的对称点,再过该对称点做定点所在直线的垂线段.

(4)当题目中出现了三个动点时,可将其中一个动点看作定点,即可根据“两个动点”的的解法求解.

3 融汇模型思想,拓广思维宽度

“最短路径问题”题目形式之所以灵活多变, 因为它所出现的题目背景往往是与角、等腰三角形、等边三角形、正方形、菱形、长方形,圆、直角坐标系、抛物线等具有轴对称性质的几何图形结合,多以压轴题出现,综合性较强.[1]在教学中,可以筛选不同几何背景的考题,引导学生分析几何图形的特质与性质,并抽取对应模型,让学生在解题过程中,融汇模型思想,深入思考,自我突破[1].

例7 (2018 年广州中考题第23 题)如图3-1, 在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB ＞CD,AD=AB+CD.

(1)尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法);

(2)在(1)的条件下,

①证明:AE⊥DE;

②若CD= 2,AB= 4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.

第②问有两个动点M、N,定点B在动点N所在直线上,如图3-1-1 可作B关于AE的对称点,再过该对称点作AB的垂线段,垂线段长即为BM+MN的最小值. 本题考查基本作图,轴对称变换和垂线段最短基本事实,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,其难度是比较大的学会利用轴对称解决最短问题,属于中考常考题型.

图3-1-1

例8(2014 年广州中考题第24 题)已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=ax2+bx-2(a ̸=0)过点A,B,顶点为C,点P(m,n)(n ＜0)为抛物线上一点.

(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;

(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围;

第(3) 问AB、P′C′是定值,A、B、P′、C′所构成的四边形的周长最短,图3-2,只需AC′+BP′最小,若抛物线向左平移, 作C′关于x轴的对称点为C′′,当C′′,A,P′′三点共线时,AC′+AP′′最短; 若抛物线向右平移,同理可得. 本题考查了待定系数法求解析式,顶点坐标,二次函数的对称性,以及距离之和最小的问题,涉及考点较多,有一定的难度.

图3-2

例9(2020 年广州中考题第24 题)如图3-3,⊙O为等边ΔABC的外接圆,半径为2,点D在劣弧上运动(不与点A,B重合),连接DA,DB,DC.

(1)求证:DC是∠ADB的平分线;

(2)四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗? 如果是,求出函数解析式;如果不是,请说明理由;

(3)若点M,N分别在线段CA,CB上运动(不含端点),经过探究发现,点D运动到每一个确定的位置,ΔDMN的周长有最小值t,随着点D的运动,t的值会发生变化,求所有t值中的最大值.

第(3) 问如图3-3-1, 作点D关于直线AC的对称点E, 作点D关于直线BC的对称点F, 由轴对称的性质可得EM=DM,DN=NF, 可得ΔDMN的周长=DM+DN+MN=FN+EM+MN, 则当点E, 点M,点N,点F四点共线时,ΔDMN的周长有最小值,即最小值为EF=t,再由轴对称的性质继续求解.

图3-3-1

图3-3

4 结语

在实际教学中,教师应当主动深入研究问题,善于梳理各类题型,归纳总结解题方法,并能有意识地引导学生在解决问题时要通过分析,对解题思路进行“预判”与“甄别”,要多思考,比对各种解题模型,注意模型间的转化,体会化归、分类等数学思想,突出数学学的方法和基本思维模式,让学生在思考和训练中提升思维能力,提高自身解决问题的能力,培养学生思维的深度与宽度.