利用导数证明不等式的技巧策略

■浙江省杭州育新高级中学 周小锋

证明不等式在高考数学试卷中是一个永恒的难题,充分体现了数学基础知识的交汇性与综合性,数学思想方法的创新灵活多样性,经常出现在高考试卷的压轴题的位置。而导数作为一种数学工具,对于证明不等式问题更是一种具有创新性的应用。本文结合实例,就利用导数证明不等式的几种常见方式,合理总结证明技巧方法与规律。

一、构建函数

利用待证不等式的结构特征来构建相应的函数,利用导数法及其函数的单调性来化归与转化,是证明一些涉及函数的不等式问题中最常用的技巧方法,而其他方法技巧中往往也离不开构建函数这一关键步骤。

点评:当证明含参不等式问题时,经常通过合理构建一边含参,一边为常数(往往是0或1等),对应构建形如“左减右”型(或“复杂减简单”型,以及除式等特殊形式)的函数,进而利用新函数的构建与求导,结合函数的单调性、极值与最值等知识来合理分析与转化,得以合理巧妙证明相应的不等式。

二、放缩法

放缩法证明不等式是在综合导数及其应用,以及函数的单调性等的基础上,进一步利用不等式的性质、重要不等式的结论(lnx≤x-1,ex≥x+1,当且仅当x=1时取等号),借助导数法的应用来综合分析,实现不等式的证明。

点评:在证明一些含有lnx与ex型的超越函数所对应的复杂不等式问题时,经常利用相应的重要不等式结论lnx≤x-1、ex≥x+1等进行合理放缩处理,巧妙转化,进而得以证明相应的不等式。

三、切线法

切线法证明不等式问题,往往是数形结合的“产物”,也是问题前后联系的进一步应用,利用前面问题所探求的切线方程,巧妙利用导数、函数的单调性及图像特征来分析与转化。

例3已知函数f(x)=ex-x2。

(1)求函数f(x)的图像在x=1处的切线方程;

解析:(1)对f(x)求导得f′(x)=ex-2x,所以f′(1)=e-2,f(1)=e-1,所以函数f(x)的图像在x=1处的切线方程为y=(e-2)(x-1)+e-1,即y=(e-2)x+1。

(2)令函数g(x)=f′(x)(x>0),求导得g′(x)=ex-2。当xln 2时,g′(x)>0。所以函数g(x)=f′(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增,则g(x)min=g(ln 2)=f′(ln 2)=2-2ln 2>0,所以函数f(x)=ex-x2在(0,+∞)上单调递增。

由函数f(x)的图像在x=1处的切线方程为y=(e-2)x+1,f(1)=e-1,可猜测:当x>0时,f(x)≥(e-2)x+1。

证明如下:设函数h(x)=f(x)-(e-2)x-1(x>0),求导得h′(x)=ex-2x-e+2。令函数m(x)=h′(x),求导得m′(x)=ex-2。

当xln 2时,m′(x)>0。所以h′(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增,则h′(1)=0,0

又h′(0)=3-e>0,所以存在x0∈(0,ln 2),使得h′(x0)=0。故当x∈(0,x0)∪(1,+∞)时,h′(x)>0;当x∈(x0,1)时,h′(x)<0。所以h(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增。

点评:该题的第(1)问是求曲线的切线方程,要注意其切线方程是后续切线法证明不等式的“台阶”,可运用切线放缩法进行放缩解决问题。此类综合应用问题往往呈现特殊的规律性:多步设问,层层递进,上问结果,用于下问。巧妙利用切线法来转化,合理有效证明相应的不等式。

四、极值点偏移法

证明一些含有函数的极值点或零点等的特殊不等式时,往往利用极值点偏移法,巧妙通过消参或消元等方式,合理构建函数,结合导数的运算与应用,以及函数的单调性、极值、最值等来综合应用,进而证明对应的不等式成立。

例4已知f(x)=x,m∈R。若函数f(x)的两个极值点x1,x2满足x1e2。

证明:欲证x1x2>e2,需证lnx1+lnx2>2。

由函数f(x)有两个极值点x1,x2,可得f′(x)有两个零点,又f′(x)=lnx-mx,所以x1,x2是方程f′(x)=0的两个不同实根。

点评:利用导数证明不等式问题时,关键就是合理消参,或合理消“变”,或减少参数个数,或减少变量个数,合理借助新函数的构建与导数的运算,利用函数的单调性、极值与最值等来转化与应用。

利用导数证明不等式问题时,其实质就是借助导数的应用,结合导数的运算,以及函数的单调性、极值或最值等相关知识,从而达到“数”与“形”的联系,合理依托端点效应,巧妙缩小变量的取值范围,借助直观分析,合理寻找临界,进而巧妙实现对应的不等式证明问题,全面提升函数与导数的综合应用与巧妙转化,提高数学能力,培养数学核心素养。