在高中数学教学中开展探究性学习的实践与思考

朱海峰　杨丽萍

【摘要】本文阐述探究性学习选题的原则和分类方式，深入挖掘教材中的探究性学习材料，结合案例分析函数、几何和概率统计三个方面的选题并说明探究性学习的选题操作方法，论述促进高中数学探究性学习顺利开展的三条途径，旨在促进新课程、新教材、新高考改革走向深入。

【关键词】探究性学习 高中数学 教学实践

【中图分类号】G63 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）20-0080-04

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课程标准》）提出：数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容。在《课程标准》中，必修课程的主题五、选择性必修课程的主题四以及选修课程中，都有数学建模活动和数学探究活动，且以课题研究的形式开展，要求学生在每个课程段完成其中的一个课题研究。数学探究性学习是指围绕某个具体的数学问题，开展自主探究或合作研究最终解决问题的过程，具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论。探究性学习是新课改以来学生学习数学的重要学习方式方法，也是学生提升数学核心素养的重要方式。自2021年秋季学期起，广西正式启动实施普通高中新课程、新教材改革，高一年级启用新教材。然而，在启用新教材一年多的時间里，由于培训不到位以及教师对新课程认识不足，导致探究性学习活动并没有得到有效开展。

因此，本文首先阐述探究性学习选题的原则和分类方式，让读者熟悉探究性学习；其次，笔者通过研究教材，挖掘教材中的数学探究性学习素材，主要从函数、几何和概率统计等三个方面进行选题，结合案例说明探究性学习的选题操作方法；最后，笔者根据日常的教学活动，总结促进高中数学探究性学习顺利开展的三条途径，抛砖引玉，给教师提供一些参考。

一、探究性学习选题原则和分类方式

（一）探究性学习选题原则

根据新课程“以人为本”的教育理念，笔者认为探究性学习选题应当遵循微型化原则、可操作性原则以及生活化原则等三个原则。

微型化原则指的是选题宜小不宜大、宜精不宜泛。选择能够在一节课或者半个小时左右完成的“微课题”，比如探究椭圆的第二定义、探究复数的三角表示、探究正方体的侧面展开等，既能吸引学生的注意力，提高学生的课堂参与度，又容易达成探究的目的。

可操作性原则是指选择的课题具备一定的可操作性，具有起点低、爬坡缓、落点高等特点。选择的课题应符合学生的能力水平和认知水平，学生“跳一跳”能解决或者通过查阅资料、运用信息技术能够解决，使学生充满自信。比如游客增长模型、抛硬币实验等。

生活化原则是指选题要突出数学来源于生活又应用于生活的特点。《课程标准》指出：教师应该充分利用学生已有的生活经验，指导学生把所学的数学知识运用于现实中，以体会数学在现实生活中的应用价值。学生充分体会到数学的魅力，自然就会对数学学习充满兴趣。比如摩天轮运动模型、用猜价格游戏引入零点和二分法、动手制作常见几何体模型等。

（二）探究性学习分类

根据不同的分类标准，探究性学习可以划分为不同类型。

从探究内容来源分析，可以将探究性学习分为“知识（定理）来源探究”和“知识（定理）延伸探究”，例如探究函数概念的历史发展、笛卡尔与解析几何等就是知识（定理）来源探究，探究椭圆的第二定义、祖暅原理等是知识（定理）延伸探究。

从探究的自主程度分析，在教师引导下进行的探究称为“引导式探究”，课堂教学中的探究基本上属于“引导式探究”，具有时间短、见效快、适应性强等特点；学生独立自主进行的探究称为“自主式探究”，例如测量建筑物的高度、某形状物体的体积等。

从探究过程中使用的工具分析，不需要借助信息技术的探究称为“传统式探究”，例如用向量法研究三角形的性质，这一探究性学习用纸与笔基本上就能完成，探究抽签是否公平也可以不借助信息技术完成；需要信息技术辅助的称为“信息技术探究”，例如立体几何截面、均匀随机数的生成、陌生函数的图象和性质等，这些都是可以借助信息技术完成的探究。

二、依托教材开展探究性学习案例分析

笔者对新教材设置的栏目进行了初步统计，新教材必修和选择性必修五本教材中，共安排了“探究与发现”13处、“阅读与思考”25处、“数学探究”2处、“数学建模”2处、“信息技术应用”7处、“拓广探索”题目185道。按照高中数学四大主线内容统计，函数主线素材有18份、代数与几何素材有23份、概率与统计素材有9份、数学建模活动和数学探究活动素材有4份。下面，本文从函数、代数与几何、概率与统计三个方面各选一案例进行分析，供各位同仁参考。

（一）案例1：等差数列与等比数列的类比（选择性必修第二册第四章第56页）

类比即类同、比类、推类，与“从无到有产生数学”的数学抽象素养和“从少到多发展数学”的逻辑推理素养本质相同，与数学建模、直观想象、数据分析等也有内在关联。等差数列和等比数列在很多方面都具有类比关系，是很好的探究性学习素材。

教师给学生展示如下探究性学习素材。

等差数列与等比数列的“对偶关系”：把等差数列的一个关系式中的运算“+”改为“×”、“-”改为“÷”、正整数倍改为正整数指数幂，相应地就可以得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立。

1.根据以上说法，你能发现等差数列和等比数列的哪些对偶关系式？

2.在等差数列{an}中，若a2023=0，则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a4047-n（n∈N*，n＜4047），相应的，在等比数列{bn}中，若a2023=1，请你类比推测出对偶的等式，并加以证明。

此案例中，可以根据概念、递推关系、通项公式、项的性质等发现对偶关系。在探究性学习活动过程中，学生既能对等差数列和等比数列的知识进行复习巩固，又能探究出等差数列和等比数列之间的联系，做到举一反三、触类旁通，发展数学学科核心素养。

类比思想在高中数学中无处不在，教材的编写也有意加强渗透类比的思想方法，从等式性质到不等式性质，从平面向量到空间向量，从平面几何到空间立体几何，从圆到椭圆，从椭圆到双曲线，从等差数列到等比数列，等等。合理地运用类比思想，不仅能让学生加深新旧知识之间的联系，构建完备的知识体系，还能发展学生的创新思维和发散思维，达到举一反三的效果。

（二）案例2：容器中水的问题（必修第二册第八章第145页）

如图1，透明塑料制成的长方体容器ABCD- A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜。随着倾斜度的不同，有下面五个命题：

1.有水的部分始终呈棱柱形；

2.没有水的部分始终呈棱柱形；

3.水面EFGH所在四边形的面积为定值；

4.棱A1D1始终与水面所在平面平行；

5.当容器倾斜如图1（3）所示时，BE·BF是定值。

其中所有正确命题的序号是_____，为什么？

学生经过探究后可以得到正确的命题序号为1、2、4、5。教师再展示如下问题，引导学生探究走向深处。

如图1，透明塑料制成的正方体容器ABCD- A1B1C1D1内灌进一些水，若固定底面的点A在地面上，再将容器倾斜，水面可能呈现哪些形状？

以上兩个探究活动都是考查用一个平面去截立体图形所得到的截面图，前者的平面要求过直线BC，而后者的平面没有固定，因此结论具有开放性，考查了学生的直观想象、数学建模、逻辑推理等数学学科核心素养，教师在设计探究性学习方案时，如果能够将实物演示、动画演示与逻辑推理等方式结合，将会呈现一节很好的探究性学习课。

（三）案例3：病毒检验次数问题（选择性必修第三册第七章第91页）

某单位有10 000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者。假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10 000次，统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验。如果混合血样阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对该组内的5个人每个人再分别化验一次。

1.按照这种化验方法能减少化验次数吗？

2.如果携带病毒的人只占2%，按照k个人一组，k取多大时化验次数最少？

学生经过探究，得出如下结果。

这道探究性学习题考查了学生的数学建模、数学运算和数据分析等数学学科核心素养。教师在教学过程中适当引导学生关注科技发展、社会民生等，利用所学知识解决问题，坚定理想信念，厚植爱国情怀，体现了数学的育人价值。

三、促进高中数学探究性学习顺利开展的三条途径

（一）坚持与时俱进，更新与转变教学观念

党的二十大报告指出，教师是教育强国的第一资源，是科技强国的关键支撑，是人才强国的重要保障。教师需要与时俱进，不断更新教学观念，贯彻落实党的二十大精神。教学观念对教学起着指导作用，是指导教师落实课程改革的关键。

首先，可以通过名师引领，更新与转变教学观念。目前，线上培训日趋成熟。教师通过参加线上培训，可以学习全国各地的专家和名师的最新理念与优质经验。例如，笔者通过“教研网”公众号，观看了全国各地新课程改革线上报告会，观摩了很多名师的优质课、示范课，学到了很多理论知识和实践经验。

其次，通过同伴互助，加强教师之间的切磋和经验共享，实现共同成长。比如举办数学“沙龙”、同课异构、课题研讨等活动，促进教师之间的沟通，使教师相互学习、相互提高。

最后，通过自我反思，更新自身的教学观念。叶澜教授说过，一个教师写三十年教案不一定有效果，但坚持写三年教学反思，一定能成为优秀教师。教师通过反思课堂中存在的问题，反思课堂中师生的关系，反思自身的专业素养，从而找到自己的短板，对症下药，使自己更好地成长。

（二）深入钻研教材，提炼探究性学习材料

教师可以通过熟读教材、钻研教材、吃透教材，沟通知识的内在联系；通过参加培训、课程学习和阅读资料等，领会章节的编排意图。教师要善于从更高的视角看待高中数学知识，掌握高中数学知识的延伸，如一元三次方程的解法、洛必达法则、代数基本定理、复数的三角表示、矩阵等。教材所呈现的不只是数学知识，还有蕴藏在这些知识背后的思想方法。研究提炼教材内容所体现的思想方法，如函数思想、数形结合思想、化归思想等，对开阔教师的视野、提升教师的专业素养具有重要作用。

（三）掌握信息技术，促进信息技术与教学融合

科学技术日新月异，新一代信息技术已经成为全球科技竞争的战略制高点。信息技术的发展往往带来教学方式的变革和学习方式的改变。探究性学习活动的开展离不开信息技术的支撑，比如作图软件几何画板、GeoGebra，数据处理软件Excel、SPSS、mathlab等。利用信息技术，一方面能够提高学生的学习兴趣，另一方面有助于学生探究未知问题。因此，教师要学会以上软件的基本操作，精通其中的一款或多款软件，从而充分利用信息技术辅助设计知识的生成和延伸等学习环节。

高中数学学习过程是一个漫长而复杂的过程，也是教师不断探索和研究的过程。探究性学习让学生有了探索未知领域的空间。教师应给足学生开展探究性学习的时间与空间，引导学生多角度、全方位、深层次地探究问题。本文结合教学实践总结出来的三条有效促进高中数学探究性学习顺利开展的途径还存在一定的局限性，有待今后继续深入探究。总而言之，探究性学习活动的开展，是对传统数学学习方式的革新，是夯实“四基”、培养“四能”的基本要求，是落实“三会”的重要途径，更是落实数学核心素养培养的重要抓手，对学生的全面发展具有重要意义，值得教师深入研究。

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］殷堰工.教材是开展高中数学探究性学习的重要资源［J］.中学数学月刊，2011（5）.

［3］王曦.用“几何画板”进行高中数学探究性学习［J］.中学数学教学参考，2015（1/2）.

［4］敬平焉.高中数学课堂中探究性学习的困惑与思考［J］.教学研究，2020（27）.

作者简介：朱海峰（1985— ），广西北流人，硕士，一级教师，主要研究方向为数学解题教学；杨丽萍（1991— ），广西陆川人，本科，二级教师，主要研究方向为数学解题教学。

（责编 刘小瑗）