指向深度学习的数学概念结构化教学——以“二次函数”课堂教学为例

杨牛扣 (江苏省泰州市姜堰区第四中学 225500)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(下称《课标2022》)指出:要注重教学内容的结构化[1]85.由此可见,“结构化”是数学教学的基本要求.那么,数学概念教学如何引导学生通过“结构化”教学促进其深度学习呢?最近,在一场特级(骨干)教师“牵手农村教育”送教活动中,笔者观摩了一位青年教师执教的一节“二次函数”课,引发了对指向深度学习的结构化概念教学的思考.

1 教学片断

本节课内容选自苏科版教材九年级下册第五章《二次函数》第一节,下面呈现教学简案及笔者的分析与思考.

片段1 旧知回顾

问题1 一般地,在一个变化的过程中有两个变量x和y,如果对于变量x的值,变量y都有的值与之对应,那么我们称y是x的,其中x是,y是.

追问1:何为一次函数(正比例函数)?

追问2:何为反比例函数?

片段2 新知探究

问题2 一粒石子投入水中,激起的波纹不断向外扩展,扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是什么?

问题3 用篱笆围成一个长方形的生物园来饲养兔子,已知篱笆的长是16 m,写出兔子的活动范围y与长方形的长x之间的函数关系式.

追问:这两个函数关系式中自变量的次数分别是多少?

问题4 一面长与宽之比为2∶1的矩形镜子,四周镶有边框．已知镜面的价格是120元/m2,边框的价格是30元/m,加工费为45元．设镜面宽为xm,求总费用y(元)与镜面宽x之间的函数关系式.

追问1:镜面的费用、边框的费用、总费用怎么表示?

追问2:这三个函数关系式有什么共性?

片段3 新知巩固

问题5 下列哪些函数是二次函数?为什么?如果是二次函数,请指出二次项系数、一次项系数以及常数项.

(1)y=1+x2;(4)y=2x2-3x3+1;

(3)y=t(1+t); (6)y=22-x.

问题6 如果函数y=xk2-2+kx-2是二次函数,则k的值是多少?

追问:依据刚刚学习的二次方程,你能怎么变式?

问题7 用16 m长的篱笆围成一边靠墙(墙长6 m)的长方形的生物园饲养小兔,设垂直于墙的一边长为xm,长方形的面积记为ym2．求y与x之间的函数关系式.

追问:自变量的取值范围是什么?

片段4 归纳建构

问题8 这节课学习了哪些知识?

问题9 收获了哪些思想方法?

问题10 后续可能会研究什么内容?

问题11 课堂上我还存在的困惑是什么?

……

2 教学分析

这节课能引导学生主动探索,课堂教学重点突出、选例经典、讲解细致,教学活动逐步深入、层层递进,达成了知识与技能的学习目标.

一是回顾已有知识,在复习中做好铺垫.课堂伊始,教师直接抛出函数的概念问题,先问什么是函数,直接复习函数的概念,再通过追问,回顾一次函数和反比例函数的概念,为二次函数概念的学习做好方法的准备.貌似开门见山,直入主题,却会让学生对函数的概念越发迷糊.

二是基于已有认知,在类比中形成概念.在“片断2”中,教师从学生已有认知和生活经验出发,设计了三个问题,列出函数表达式,教师追问三个函数的共性,在学生的思考与交流中得出二次函数的概念和一般形式,并类比一次函数得到二次函数的三种特殊形式,且强调实际问题要考虑自变量的取值范围,基本完成了概念教学任务.

三是通过问题解决,在辨析中内化概念.“片断3”通过具体问题的辨析内化二次函数概念,在观察、思考和交流中,明确了函数表达式的等号右边是自变量的二次整式,最高次数为2;通过问题变式训练,强化了二次函数存在的条件是二次项系数不为0;通过实际问题的研究,强调了自变量取值范围问题.

四是着眼知识技能,在反思中归纳建构.“片断4”引导学生从函数知识、数学方法和方向引领三个方面自主建构,并借助一次函数的学习,明确了二次函数后续研究的方向与路径,启发学生对本节课的内容提出自己的困惑和质疑,培养其提出问题的能力.但由于时间分布不太合理,该环节显得匆忙,没有达到预期的效果.

3 教学改进

深度教学是在有效教学的基础上,深挖教材与资源,引发学生更深层次的思考,使其能够善于发现新问题、提出新观点、探索新方法[2].《课标2022》强调要以整体观和联系观开展数学教学[1]85-86.比如,如何关注知识的内部联系,以联系观念开展概念教学?如何充分体现学生主体性?如何让数学核心素养落地?这些都是初中数学教师应该思考的问题.基于此,笔者从三个方面对本节课进行优化设计.

3.1 以结构化的方法激发学生提出深度问题

对初中生来说,函数是比较抽象的概念.针对函数这一特点,可先适当淡化函数概念.

问题1 一粒石子投入水中,激起的波纹不断向外扩展,所形成的圆的周长C与半径r之间的函数表达式为,这是函数.

问题2 用篱笆围成一个长方形的生物园来饲养小兔,已知长方形面积为16 m2,长为xm,宽为ym,则y与x的函数表达式为,这是函数.

追问1:两题有什么共性?

追问2:你怎样认识函数是解决问题的有效手段?

设计意图根据学生已有认知,基于结构化、条理化的安排,从问题情境出发,围绕教材中“石子投入水中的波纹”和“篱笆饲养小兔”两个问题展开追问,引导学生认识到建立函数模型是解决问题的有效手段,从而感受到二次函数概念学习的必要性.

3.2 以结构化的思维引导二次函数概念的生成

如何充分调动学生的思维,克服学生想得少、学得浅,知识理解不连贯的问题?笔者以为,可在前一环节基础上,以问题串的形式继续追问,结构化地指引学生深度思考.

问题3 一粒石子投入水中,激起的波纹不断向外扩展,所形成的圆的面积S与半径r之间有何关系?

追问1:当r确定时,圆的面积S确定吗?

追问2:S是r的函数吗?

追问3:理由是什么?

追问4:这个函数我们学过吗?

设计意图在这个过程中,教师只是追问“所形成的圆的面积S与半径r之间有何关系?”,启发学生思考,而不直接点出函数关系,旨在利用赋值法,给定r一个值,S就有唯一确定的值,从而渗透“对应联动”的变量关系,如此复习了函数概念,并由内向外剖析函数概念,为引入二次函数做好铺垫.这种教学方式既充分利用了问题情境资源,又能抓住数学概念之间的内部联系.

问题4 用16 m长的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔,你将如何来研究生物园的面积?

追问1:怎么研究?小学学过什么方法吗?

追问2:可否有更好的方法来解决问题?

追问3:请问y=-x2+8x是函数吗?

追问4:同学们,这个函数你们学过吗?

设计意图问题的设问貌似很散,但学生基于上一问自然会想到赋值.通过讨论、交流,发现赋值的局限性,进而联想到设出变量,寻找等量关系,列出等式(函数),再有意识地规范书写,引导学生进一步识别函数,如此既内化了函数概念,又为引入二次函数做好准备.

问题5 一面长与宽之比为2∶1的矩形镜子,四周镶有边框．已知镜面的价格是120元/m2,边框的价格是30元/m,加工费为45元．你会如何研究总费用?

追问1:总费用由什么组成?怎么表示?

追问2:未知量如何表示?

追问3:这个y=240x2+180x+45是函数吗?

追问4:理由是什么?

设计意图学生在掌握函数概念的基础上,通过自主完成问题5,自然生成二次概念.而追问1和2旨在提醒学生用变量关系来转化问题,追问3和4旨在引导学生建立函数模型解决问题.经过3个问题的追问引导,强化函数与二次函数概念的关联,如此二次函数概念水到渠成,实现了概念的结构化教学.

3.3 以结构化的观念强化概念的深度理解应用

问题6 二次函数有何特征?我们是如何将实际问题数学化的?

追问1:函数描述的是什么关系?

追问2:建立函数模型解决实际问题的关键是什么?

追问3:我们运用了哪些思想和方法?

追问4:接下来期待学习函数的什么知识来有效解决实际问题?

设计意图课堂小结的重点是引导学生把知识、方法、思想结构化,旨在帮助学生梳理数学知识、方法与思想,实现知识的衔接、方法的关联、思维的升华.笔者的小结教学中,引导学生在自主归纳、自主反思、自主质疑的基础上,设计出如 图1所示的结构图,并通过问题追问,让学生把握建立函数模型解决实际问题的关键,感受数学思想和方法,同时明确后续的研究方向与路径,提出新的质疑.

图1 函数知识结构图

4 教学思考

结构化概念教学可以从多方面促进学生理解概念、“生长”概念,达成深度学习.在教学中,数学育人要用数学的方式[3].教师可以联系旧知,寻求起点对比分析、加强沟通,可以逆向思维,探索知识异同,可以总结经验、拓展延伸,还可以综合实践、创新应用等,真正引导并帮助学生构建理性的思维体系,使他们能够以结构化的眼光去看待知识的学习过程,进而可以系统掌握学习的知识和技能.

4.1 确定结构化单元学习目标

结构化单元的学习目标是促进学生深度学习的助推剂,如何设计结构化的学习目标就显得特别重要.笔者在本节课的设计中,把知识目标设定为“函数→二次函数”的递进式目标,方法目标设定为“实际问题→数学问题→学会用函数模型解决问题”的目标.通过问题串追问,指引学生深度思考,让学生在潜移默化中获得“知识→能力→素养”的发展.

4.2 构建整体关联的结构体系

苏科版初中数学教材函数内容分为八年级上册的一次函数、八年级下册的反比例函数和九年级下册的二次函数3个板块.面对这种板块式、间断式设计,用传统的方法进行碎片化教学显然效果不理想,有必要精心安排教学内容并进行整合、优化和关联,通过单元主题式教学方式,实现学生数学知识与数学方法的结构化和思维能力与数学素养的最优化.