深度学习的高中数学“探究课”初探——以不等式ex>x2ln x的证明为例*

喻峥惠 (江苏省盐城中学 224005)

潘龙生 (江苏省盐城第一中学 224005)

1 问题背景

新课标强调了数学探究的重要意义,提出其“应始终贯穿和融入课程内容、教学活动和评价体系之中,是综合提升数学核心素养的载体”[1],并建议命题时考查.由于高考的压力、对高分的追求,目前很多学生的数学学习还停留在机械记忆、重结果轻过程、题海战术等浅层学习层面．而深度学习强调对知识本质的理解和对学习内容的批判性利用,追求有效的学习迁移和真实问题的解决,属于以高阶思维为主要认知活动的高投入性学习．高中数学的深度学习,可以帮助学生理解数学的本质,激发学生数学探究的热情,提高学生数学应用的能力,培养学生的数学创新能力,实现数学教育的育人价值．

此前在高三一轮复习中,有学生在求解一道函数与导数解答题时遇到困难,其最后一小问关于不等式恒成立问题,转化后即要证明ex>x2lnx,经过多次尝试都未能成功．考虑到函数与导数压轴题中,关于不等式有解(恒成立)或证明问题,很多都会需要构造一个或多个函数,而构造什么样的函数,对最后问题的顺利求解至关重要,故笔者以不等式ex>x2lnx的证明为例,实践数学探究教学,旨在让学生通过对一个问题解决的探究学习,联想结构后经历探究活动与体验,引发变式、迁移等高阶思维,促进数学的深度学习．

2 教学片段

2.1 分析问题

师:不等式ex>x2lnx的几何意义是什么?

生:可以理解为函数y1=ex的图象恒在函数y2=x2lnx的图象的上方．

师:很好,同学们可以用几何画板或者GeoGebra作出这两个函数的图象,直观感受它们之间的关系．

师:回到代数角度,如何去证明这个不等式呢?

生1:可以移项作差后构造出一个新函数f(x)=ex-x2lnx(x>0),再去说明最小值大于0就可以了．但是,最后二阶导数的最小值无法定号,我没有写到最后．

生2:可以先放缩后再去构造函数,用常见不等式ex≥x+1放缩,构造f(x)=x+1-x2lnx,再去证明f(x)>0恒成立就可以了．但是f(3)<0,显然这个不等式在x>0时不是恒大于0,应该是过度放缩了．

师:作差法以及先放缩后构造(本质是找中间量)等,都是证明不等式的常见方法.可惜我们都没有顺利证明出这个不等式,问题出在哪呢?可以如何改进呢?

提出问题之后,先引导学生去分析问题,从几何角度理解不等式为后面的探究作铺垫．联系已有的不等式证明的基本方法,用作差法和找中间量的方法分别进行证明,但都没有顺利解决问题,从而引发思考,学生开展探究活动并体验问题求解的全过程,促成深度学习．

2.2 活动探究

(1)寻找定号困难原因,探究问题解决方法

探究1直接作差证明不等式.

师:我们先一起来看一下生1的解答,发挥集体的智慧,看看可不可以解决问题．

投影生1的解答过程(图1):

图1

师:计算到这个时候,发现y=f″(x0)min的正负无法确定,这是我们解题过程中遇到的困难,产生的原因是什么?可以解决吗?

生3:对隐零点x0的范围估计得大了,可以通过缩小其范围去确定y=f″(x0)min的正负．

师:想法很好,来尝试一下．

师:很好,y=f″(x)min的最小值是负值,接下来就要进一步借助零点存在性定理研究y=f″(x)min的零点,再讨论y=f′(x)的正负,最终确定函数f(x)的单调性．可以往下继续,但是应该会很复杂繁琐,求解会很艰难．所以,直接作差证明这个不等式,对这个问题而言不是很好的方法．

探究1的设计是为了解决学生直接作差证明不等式过程中出现二阶导函数难定号的问题,让学生批判性地去思考问题产生的原因,通过小组讨论等合作学习提出用二分法可以解决问题．学生实际操作中感受到用该方法解题计算量大,如果再往下求解,还是会遇到类似困难．进一步思考问题的本质,等价变形后,看能否简化计算．

(2)灵活变形转化问题,优化问题解决方法

探究2变形后作差法证明不等式.

投影生4的解答过程(图2):

图2

师:历经3次求导,定号,零点存在性定理确定隐零点,回到原函数,确定单调性,求出最小值,再定号……不难感受变形后再去证明,虽然最后能完成证明,但是运算量大且繁琐．

探究3变形后由必要条件证明不等式.

师:分析问题时,从几何角度理解不等式,为不等号左右两边所对应函数的图象间的关系,如果满足f(x)min>g(x)max(若最小值与最大值相等,则需说明最值点不同),那么不等式f(x)>g(x)显然恒成立．这里f(x)min>g(x)max,是不等式f(x)>g(x)成立的一个必要条件．

师:联想相类似的结构,探究问题本质,学习指、对数函数时课本阅读材料中提到凹(凸)函数,从凹凸性角度来看,f(x)为凹函数,g(x)为凸函数．如果将原不等式ex>x2lnx的不等号两边分别看作f(x)和g(x),它们都是凹函数,g(x)没有最大值,必要性无法求解．可以再思考:如何构造两个满足条件的凹凸性相异且存在最值的函数呢?

师:能告诉大家,怎么想到的吗?

生5:先尝试不等式两边同时除以x,针对不等号两边构造对应函数,都是凹函数;再尝试不等式两边同时除以x2,针对不等号两边构造对应函数,左边凹函数、右边凸函数,但是右边没有最大值;最后尝试不等式两边同时除以x3,终于成功了．

探究2的设计是探究活动1的改进,等价变形后转化为证明新的不等式恒成立问题,生4小组合作完成解答．作差法虽然可以解决问题,但是要经历两次求导、三次用零点存在性定理去找零点的过程,而且对零点区间的确定会影响到其原函数的符号,运算非常繁琐,耗时太长．探究3是学生深度学习后对不等式的本质再思考,结合问题分析中对不等式几何意义的理解,从最值角度分析不等式成立的必要条件．不等号两边的函数其构造的方法不唯一,不同的选择会影响问题的求解与计算,抓住本质、巧妙构造,可以事半功倍．学生进一步深度思考,迁移运用,借助熟悉的相似问题中函数的图象,提出构造两个凹凸性相异且存在最值的函数的思路,极大地简化问题,优化计算．

(3)择中间量有效放缩,丰富问题解决方法

探究4放缩后由中间量(函数)证明不等式.

师:由不等式的性质(传递性)“a>b,b>c⟹a>c”可知,借助中间量b,可以证明不等式．中间量b可以是一个常数,也可以是一个函数．如何去找这个中间量呢?我们可以通过放缩来实现．例如,生2用常见不等式ex≥x+1(曲线的切线)放缩,但是放缩过度导致不等式不成立而无法证明．如何才能进行有效放缩呢?

生6:我用ex>x2放缩后证明,放缩过度,无法证明;想用ex>x3放缩,但ex与x3之间的大小关系难确定,也不行．

师:不等号的右边由一次到二次再到三次函数,这是很好的一个放缩思路,跳出这个思维模式,能不能是一般的二次或三次函数,或者对不等号的右边试试．

所以不等式得证．

师:很好,能说说为什么放缩后,选择先变形后再证明?

生8:将ex除到分母位置,求导后分子中就没有指数形式,便于计算．

用放缩法证明不等式,方法是不唯一的,可以从不等式左边放缩、也可以从不等式右边放缩,可以是整体放缩、也可以是局部放缩,但不管怎样,目标都是能解决问题,避免放缩过度的情形,有时还会需要多次尝试．探究4中,学生从不等号的左边入手,对ex反复放缩,尝试后否定,批判思考后最终借助于少数学生了解的泰勒公式解决问题;转换视角,从不等号的右边入手,对ln x放缩,吸取已探究所得的经验,灵活运用,简化计算．

3 总结及反思

数学探究是围绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程．它是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动,也是高中阶段数学课程中的重要内容．本节课以不等式ex>x2lnx的证明为例,实践数学探究教学,追求高中数学深度学习．基于逻辑推理素养的角度,首先以学生的实时解答为素材,提出并探究解决直接作差证明过程中出现定号困难的问题,基于数学运算素养的角度,又提出先变形再作差的优化方案,现场运算证明,让学生感知该方法的运算量及繁易程度;再接着联系已有数学知识与体验,借助函数图象直观想象,从函数凹凸性的角度,提出可以先证明这个不等式的一个必要条件,即f(x)min>g(x)max;最后用放缩法,利用中间量(函数)证明不等式．指向深度学习的数学探究,不是简单地探究解题的方法,而更注重解题思路的制定和困难的剖析;不仅要让学生会证明这道不等式,解决这个问题,更要让学生学会思考解决这一类相关问题,让他们学会适时联想结构、活动探究、理解本质,变式迁移,转化思路方法去解决问题,从而真正让学生用“三会”行为诠释核心素养的提升．