从“零向量的方向”谈对数学规定的认识

周 宁 (福建师范大学附属福清德旺中学 350319)

1 问题的提出

日前,在观摩一节“平面向量的概念”的授课时笔者注意到,授课教师在引出零向量的概念后提出问题“零向量的方向是怎样的”,学生的回答有“不确定”“任意的”,教师的解释是“零向量的几何表示是一个点,那么任意方向都可以作为零向量的方向”,并补充“这是规定”.而笔者注意到2019年人教A版选择性必修一教材中并没有提出这个规定,教师的补充合适吗?笔者查阅2019年其他版本的教材后发现,其中关于零向量方向及与任意向量的平行、垂直的规定与否是有所不同的(表1),规定与否会不会对学生的认知产生影响呢?

表1 各版本教材关于零向量的规定情况

2010年福建高考文科数学第18题曾经就引起讨论(当年福建大多数地区使用2007年人教A版教材,教材中既无规定零向量的方向是任意的,也无规定零向量与任意向量垂直):文[1]就以2007年人教版必修4教材关于零向量的若干叙述为依据认为“零向量与非零向量不能垂直”,文[2]以“零向量的方向是任意的”为依据及从概念的内涵及外延的角度认为“零向量与任意向量垂直”是毋庸置疑的.笔者赞成文[2]的观点,但认为问题引起争议的根源在于如何理解数学中的规定.那么“零向量的方向是任意的”“零向量与任意向量垂直”有无规定的必要?现分享笔者的思考,请各位同仁批评指正.

2 对数学规定的认识

为了认识数学中的规定,下面以2019年人教A版高中数学教材(以下简称教材)中的规定为例进行说明,见表2.

表2 2019年人教版教材相关规定

从表2中我们可以看出,教材中的规定有两类:一是为了研究的方便与统一以及对数学单位的规定,如第2,3,12,13条,这种类型的规定是“人为规定”;二是对数学中零元及其关系、运算的规定,如第1,4,5,6,8,14条,这种类型的规定虽然是“我们规定”,但实际上是“数学规定”.零向量的有关规定显然是数学规定.

(1)数学规定的内涵

数学规定不是定义.定义是揭示数学概念内涵的逻辑方法,而规定是对概念外延的特殊情形的释义,是对定义的补充.从这个意义上看,表2中第7,9,10,11条应是定义,而不是规定.笔者认为教材编者将规定与定义不加区分,有所不妥.

(2)数学规定的特性

二是科学性.数学规定的内容必须与数学体系中原有的定义、定理和公理相容,必须符合数学的逻辑和运算体系,能够实现数学体系的兼容与融洽.例如,我们规定“空集是任意集合的子集”,为什么不规定“空集不是任意集合的子集”?这是因为空集与任意集合的关系必然要满足集合的关系与运算.由交集的定义可以得到性质“A∩B⊆A”,显然当A∩B=∅时,会得到“空集是任意集合的子集”.因此这里的“我们规定”实际上是“数学规定”,是由于数学体系结构的和谐性、完整性以及运算法则封闭性的需要,必然要这样规定.

3 对问题的解惑

基于以上对数学规定的认识,笔者认为,对于“零向量的方向是任意的”“零向量与任意向量垂直”的规定并无必要.因为“零向量与任意向量平行”就已经蕴含上述两个规定:能够作出任意非零向量就说明零向量的方向是任意的;对于非零向量a,也可以作出非零向量b,使得b⊥a,而0∥b,故0⊥a,也就是零向量与任意向量垂直.有人从规定“零向量与任一向量的数量积为0”来说明零向量与任意向量垂直.这种说理不合适,因为教材中性质“a·b=0⟺a⊥b”中a,b都是非零向量.

有人对零向量与任意向量既平行又垂直难以接受.要明白,数学不是以人的意志来发展的,而是依靠它自身的逻辑体系.正如罗巴切夫斯基利用反常理的“过直线之外的一点至少有两条直线和已知直线平行”建立了非欧几何,只要符合数学规律,就是合理的.实际上,若将两个非零向量的数量积运算的定义扩大为任意两个向量,那么从0·a=|0|·|a|·cos〈0,a〉=0我们也可以发现0与a的夹角可以是任意的.

4 结语

“零向量是否与任意向量垂直”的争议暴露出部分教师忽视对教材中规定的教学,没有厘清“我们规定”实则有“人为规定”与“数学规定”之分,没有解释“数学规定”的本源,导致教与学都出现了偏差.数学是讲理的.在教学中要呈现为什么要有这个规定、如果没有这个规定会发生什么,让学生了解数学规定的来龙去脉,明了数学规定的缘由,感知数学和谐的美,理解数学体系的自洽,提升对数学的认知.