导函数零点不可求问题的破解策略

梁加林

我们在利用导数求函数的单调区间或者极值时，经常会遇到导函数方程f′（x）=0是一个超越方程或是一个含有参数的二次方程，使我们无法求出方程根或者无法清晰的表述方程根的情况，此时我们可能是束手无策，无法继续下去了，其实问题并非是无从下手，而可能是我们知识储备不够丰富，方法研究不够透彻，针对这个常见的解题现象，本文通过对典型例题的分析探求，介绍常用的五种处理手段，供读者朋友参考.

一 赋值探求

如果導函数涉及的是关于lnx的复合函数时，一般可令x=et，特别的是令x=1或者x=e进行试探；如果导函数涉及的是关于ex的复合函数时，一般可令x=lnt，特别的是令x=0或者x=1进行试探求解.

例1 已知函数f（x）=a－exx+alnx，若a∈R且a

析解：由题设可得定义域为x>0，又f′（x）=－ex·x－（a－ex）x2+ax=（1－x）（ex－a）x2.当a≤0时，ex－a>0，令f′（x）=0，得x=1，而当00，f（x）是增函数；当x>1时，f′（x）<0，f（x）是减函数，即函数的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）.当00，f（x）是增函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）<0，f（x）是减函数．所以此时函数的单调减区间为（0，lna）和（1，+∞），单调增区间为（lna，1）.

点评：如果导函数方程是超越方程，不应该用常规解方程的方法求解，需要灵活地使用相关的特殊值验算得出，这是一个重要的解题共识.

二 虚设零点

通过假设x0是方程f′（x）=0的根，然后将x0代入方程并设法消去参数，重新构造出关于零点的一个单一函数，这样就能把题目转化为常规的方程问题了.