一道全国新高考Ⅱ卷题的探究与推广

刘惠梅

2022年新高考全国Ⅱ卷第21题以解析几何为背景设置了开放性试题，比往年明显加大了开放题的创新力度和广度，突出了对思维灵活性品质的考查.在考査理性思维的同时，也考查了逻辑推理、数学抽象、直观想象核心素养，体现了素养导向、能力为重的命题原则.

一、试题呈现及分析

（2022年全国新高考Ⅱ卷21）如图1，设双曲线x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F2，0，渐近线方程为y=±3x.

（1）求C的方程；

（2）经过F的直线与C的渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M，从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立：

①M在AB上；②PQ∥AB；③AM=BM.

本题以双曲线为切入点，以探索创新情境为载体，聚焦结构不良问题实现创新性的考察要求，重点考察与中点有关的曲线相交问题，围绕着图形特征的探索，考察数学探究和空间想象素养以及逻辑推理、数学运算关键能力，其中特别是逻辑推理能力要求较高.解题的思路有四种：（1）“设线”入手（设直线PQ方程）;（2）“设点”入手（设P，Q两点坐标）;（3）“点差法”探索与中点有关的問题;（4）利用“直线参数方程的几何意义”来解决问题.下面从条件出发，以“设线”入手解题.

结论4 如图5，已知双曲线x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），点M不在双曲线上且不在渐近线上，过M作斜率为－ba的直线与双曲线和渐近线分别交于P，D，过M作斜率为ba的直线与双曲线和渐近线分别交于Q，E，则PQ∥DE.

以双曲线为载体的解析几何研究是近两年全国卷的热点问题，双曲线与其退化的情形（即两条渐近线）的性质有许多共通之处，研究双曲线和其渐近线有关的问题时，可以考虑曲直转化.解析几何的教学要不断强化“文字语言、符号语言、图形语言”三种语言转化能力.几何问题“解析化”是有方向可循的，首先我们要明确这是一个什么样的几何问题，即我们是将这个几何问题视作整体的图形去挖掘它的几何特征，还是看作两个或多个图形去探索它们的关系，亦或者从数量关系角度进行挖掘，接着研究和探索这个几何问题需要用到哪些代数条件，再把几何问题代数化（有时候这个代数化过程不是很直观，需要把几何问题转化为另一个等价的几何问题后再进行代数化）.

因此，新高考下我们在复习备考中要强化自主探究，要能够从多角度思考，深入挖掘图形的几何特征，掌握研究解析几何问题的一般方法和思维方式，提升学生的解题力.