一道自主招生试题引发的探究

广东省佛山市乐从中学(528315) 林国红

一、题目呈现与解答

题目(2016年北京大学博雅计划第7 题)的值为( ).

解答

因为T20,从而.所以

故选D.

本题主要是利用二倍角公式及诱导公式进行解答,难度不大.令人感兴趣的是:试题能不能推广? 即的值是什么? 是否还有其它类似的连乘三角求值式子?

笔者经过一番探究,得到一系列优美的连乘三角恒等式,特意成文,与大家分享.

二、一个引理

引理.

证明记,n ∈N∗,其中i 为虚数单位,则方程xn−1=0 有n个互不相等的根ω,ω2,···,ωn(ωn=1).所以

xn−1=(x−1)(x−ω)(x−ω2)···(x−ωn−1),

又因为

从而可得

1+x+x2+···+xn−1=(x−ω)(x−ω2)···(x−ωn−1),

令x=1,则(1−ω)(1−ω2)···(1−ωn−1)=n.取模,得|1−ω|·|1−ω2|···|1−ωn−1|=n.

当1 ≤k≤n−1,且k ∈N∗时,可得,即有.从而

故

三、部分连乘的三角恒等式及证明

证明记,则

由引理,得

证明由引理,可得

两式相除,得

证明记,则

由引理,得

证明由(3),得

证明记,得

即

由(2),可得

证明由(5),得

评注显然,当n=5 时,,这正是原题的情形了.

证明由(5),得

证明由(1),得

证明由,得

证明由引理,可得,由(6),有.两式相除,得

证明由,得

证明由,得

利用上述方法及恒等式,还可得到更多相关的三角恒等式,有兴趣的读者不妨继续探究.