浸润学科核心素养，凸显本真教学

蒋金宁

六个方面的数学核心素养一直贯穿于义务教育、大学教育等不同阶段。研究性学习的综合实践活动课程是培养数学学科素养的重要途径。数学素养是现代社会每一个人都应该具备的基本素养，素养不是知识，知识的积累并不必然造成素养的发展，但素养离不开知识，如果没有知识，素养就是无源之水、无本之木。首先，将知识变成研究和应用的对象，然后把专业知识点上升为专业概念性知识，更加注重专业知识在与现实生活交往中所形成的个人思维火花或经验积淀，但总的来说，个人知识在培育学生核心素养中起到了关键作用。最后，逐步改变知识教学的方式方法，以做到倡导深度学习与合作学习。

高中数学核心素养包含：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。这六个核心素养休戚与共，但又各有不同，它们需要认真研究，准确把握，并实际地渗透到学科的教学活动中。以下以高中教材中《数列的概念》的教学设计为例，详细描述了核心素养在教学设计过程中渗透的具体实例。

1 核心素养与数列概念教学的关系

1.1 重视概念生成，培养学生建模能力

在教学中，首先可从生活中的情境出发，从实际生活问题抽象概括出数列模型，让学生观察数列模型的共性，提炼出数列的定义、数学表达式及特点，抽象出数列的概念，使学生体会在现实生活中可以汲取到解决数学问题的智慧，让学生对后续内容的学习产生期待，培养学生数学建模的能力。

1.2 重视问题引导，促进学生思维发展

基于问题引导的探究式学习应当以“情景导入—自学探究—精讲点拨—课堂训练—总结”为主要教学环节。本文以提出问题、分析问题、解决问题为线索贯穿整个教学环节，问题引导应当基于实际教学内容，以合理巧妙设计问题串的形式帮助学生对知识理解与掌握。

1.3 重视过程渗透，提升学生数学素养

首先从实际生活情境观察提炼数学模型，让学生了解数列概念的形成过程，从而得出数列的概念，发展学生数学抽象、数学建模与直观想象的核心素养。其次，通过自主辨析判断数列的概念，发展学生数学抽象的核心素养。再次，通过解决数列求通项的例题与数学著作中的生活实际问题深化对数列的理解，发展学生数学建模与数学运算的核心素养。最后，总结数学方法的运用，整个教学环节应深入挖掘数列的知识所承载的数学核心素养，落实培养学生数学核心素养的目标。基于核心素养的数学概念教学，应当坚持以学生为主体、教师为主导的原则，将课堂真正还给学生，给予充分的时间让学生进行自主探究与合作学习，这就需要精心设计教学环节，让学生经历通过生活实例建构数学模型的过程，从而理解数学概念的本质特征，充分激发学生学习兴趣，发展学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、直观想象与数学运算的核心素养。

2 教材分析

数列是高中数学教材的主要内容，它是一类特殊函数，并在其他复杂函数运算中发挥着重要的作用。本节课为人教版高中数学新课程必修五第二章数列的第二学时，作为基本概念，数列的教学有利于学生掌握其基本应用和本质概念，为学生后期学习等差数列、等比数列提供扎实的理论基础。它在生活中也具有很广阔的实践用途，它也是一些高中数学知识点的重要汇合点，常常与方程问题、不等式问题、三角问题、函数问题、几何问题结合，进而综合进行教学。数列内容在高考中有着非常高的地位，在试卷分值中占据很大的比重，同时又是有效实施学生数学核心素养的重要切入点，所以在教学中需要受到充分的关注。

3 学情分析

本节课是高二上学期的一堂课，学生已经在高一时学过函数的概念、表示、性质，基本初等函数，函数的应用等知识，所以对数列的理解有一定的基础。高中二年级学生在数学思维方面表现得相对较好，他们具备独立思考的能力，能够根据各种现象总结归纳出事物的本质，并且通过自主或合作的探究来发现不同概念之间的关系。建议在学习过程中引入独立思考、自行探索以及小组合作等学习方式，以期能够更加深入地掌握相关概念。

4 教学目标

（1）通过具体实例的观察，抽象与概括，从特殊到一般推出数列的概念（直观想象、数学抽象）；

（2）通过回忆集合、函数的概念，进而分析函数和数列之间的关系（逻辑推理）；

（3）观察类比、发现规律、推导通项公式，并根据通项公式求出数列各项，也可以通过数列项的归纳与总结推出通项公式（逻辑推理、数据分析）；

（4）通过数学史和生活中的实例，我们可以深刻感受到数学的抽象之美以及数学探索带来的愉悦，并且体会到数学在文化领域中的重要价值（数学建模）。

5 教学过程

5.1 创设情境，引出新课（从直观想象中合理轉化加以逻辑推理）

师：“生物学中有一种细胞，每次分裂两个，每次分裂以后的个数分别是多少？”

生：“1，2，4，8，16…”

师：“‘一去二三里，烟村四五家，亭台六七座，八九十枝花。从这首诗中，你能发现什么规律？”

生：“可以发现一列数。1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10…”

师：“我们学过的四边形、五边形、六边形、七边形、八边形、九边形，以此类推，它们边的数量依次是多少呢？”

生：“4，5，6，7，8，9…”

师：“假如某体育馆内一共二十排座位，最前面的座位十个，后面每排都比前面第一排多出了四个位置，那么后面各排的座位数分别为多少呢？”

生：“10，14，18，22，26…”

师：“有句古语，‘一尺之棰，日取其半，万世不竭。如果‘一尺为1，则每次取半以后，所剩为多少？”

生：“1，，，，，…”

师：“王云从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数：

75，87，96，103，110，116，120，128，138，145， 153，158，160，162，163，165，168…①

记王云第i岁的身高为hi，那么h1=75，h2=87，h17=168。我们发现hi中反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即h1=75是排在第1位的数，h2=87是排在第2位的数，……h17=168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置，所以①是具有确定顺序的一列数。”

师：“古语云，‘勤学如春起之苗，不见其增，日有所长，如果对‘春起之苗每日用精密仪器度量，则每日的高度值按日期排在一起，可组成一个数列吗？”

那么什么叫数列呢？

设计意图：通过创设实际生活的教学情景，引导学生可以通过直观想象掌握数学概念，内容简明清晰，新鲜感十足，并逐步提高逻辑推理能力，进而使学生的直观想象核心素养得以培养。

问题1：这些例子有无异同？按照之前分好的小组，学生展开讨论。

生：“它们的结果都是数。”

师：“将这些数对调顺序可以吗？”

生：“不可以。如果相应的顺序改变了，原来的意思就变了。”

师：“通过以上的例子可以得出，它们都是按照一定的顺序组成的数，也就是数列。”

问题2：以上学习的基础上，请简述数列的定义。

在学生的回答中，引导并强化数列的顺序。

设计意图：在教学设计中，问题应该成为出发点，因为问题能够引发学生的学习兴趣。同时，老师应该在恰当的时间给予正确的指导和提示，尊重学生的主体意识。通过共同探索、合作学习等形式，学生们将能够解决数列定义等数学问题，提高他们的逻辑推理及数学核心素养。

5.2 自主探究，引入新知（从逻辑推理中归纳总结加以数学抽象）

问题3：对以下问题进行思考。

（1）把数列1，3，5，7，9调整为9，7，5，3，1。两个数列是同一个数列吗？

（2）-2，2，-2，2，-2，2，…是否可称为数列呢？如果写成2，-2，2，-2，2，-2，…以上两组属于同一数列吗？

（3）9，99，999，9999，…有什么规律呢？

问题4：从这些例题中可以发现，它们都有相应的次序，之前学到的知识点有考虑到次序的吗？两者之间有什么差异呢？小组讨论，教师巡视指导。

生：“以前学过的集合涉及次序。”

生：“在数列中，数都是有一定次序的，而且数可以相等，但集合中的数并不存在一定次序，且集合中的数也不可以相等。”

师：“集合能够被分为有限集、无限集，那数列可以怎么分类呢？”

教师指导学生分析出数列可能被划分为无穷数列和有穷数列。

师：“如果数列中的每一个项是相对确定的，即在数列中的每一个同项数都存在着一定的相对关系，这与之前学习的内容有相同的吗？”

生：“函数。”

师：“说得好！那数列与函数有什么联系？”

学生之间交流，讨论。

生：“数列就是函数。”

师：“数列的定义域是什么？”

生：“正整数集或它的有限子集{1，2，…n}，它们所有的项组的集，就是数列的定义域。”

师：“那么数列可以被认为是一种特殊的函数，根据函数自变量、因变量的关系及其定义，an是关于n的函数。”

教师让学生总结数列的概念。

生：“数列，是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每个数都称为数列的项。这个数列的第1项叫作首项，第2项叫作第2项，后面的每一项依次顺延，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。”

点睛：（1）数列是按一定的“顺序”排列的一列数，有序性是数列的基本属性。数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列，例如1，2，3，…与3，2，1…就是不同的数列。

（2）符号{an}和an是不同的概念，{an}表示一个数列，而an表示数列中的第n项。

设计意图：将数列概念与函数相关联，但对于学习者来说可能会有一定难度。那么在引入数列概念之后，如何让学习者更容易地理解数列与函数之间的关联呢？通过逐步设置适当难度的“问题串”，引导学生进行渐进式思考、自主探究和交流研讨，逐渐理解数列概念，并增进函数含义的理解。这样一来，学生的逻辑推理、数学抽象等核心素养也得以加强。

5.3 聚焦数列，灵活应用概念（数学抽象概括加以数学运算）

问题5：有一個数列的前五项分别为2.5，3.5，4.5， 5.5，6.5，你能归纳出它的第6项吗？

问题6：给出以下数列的通项公式，你能分别写出它们的前三项吗？

（1）an=4-2n；（2）an=n2+n。

设计意图：通过对数学概念的掌握，要学会对具体的实际应用问题加以处理。以上两个实例中，都反映了对数列通项公式的运用，从而培养了学生的数学运算的基本核心素养。

问题7：给出以下数列的前四项，你能写出它们的通项公式吗？

（1）2，4，6，8；

（2）0，4，0，4；

（3）5，55，555，5555；

（4），，，。

问题8：数列的分类有哪些？

类别 含义

按项的个数 有穷数列 项数有限的数列

无穷数列 项数无限的数列

按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列

递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列

常数列 各项相等的数列

摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

设计意图：学生通过观察和探索，来加深对数列特点和规律的理解，同时培养他们总结和猜想能力，以此提高他们对于一般学习规律的把握，从而提高数学抽象、数学运算等核心素质。

5.4 当堂反馈，及时巩固概念

问题9：观察下列一组数，试着总结通项公式。

（1），，，；

（2）1，5，9，13。

问题10：（1）给出数列的通项公式an=- ，它的第3项、第5项分别是多少？

（2）有数列的通项公式an=，写出它的第6项、第10项。

问题11：下列叙述正确的是（  ）。

A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类

B.数列中的数由它的位置序号唯一确定

C.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}

D.同一个数在数列中不可能重复出现

解析：按项的变化趋势，数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列，A错误；数列1，3，5，7与由实数1，3，5，7组成的集合{1，3，5，7}是两个不同的概念，C错误；同一个数在数列中可能重复出现，如2 ，2，2，…表示由实数2构成的常数列，D错误；对于给定的数列，数列中的数由它的位置序号唯一确定，B正确。

答案：B

设计意图：通过在课堂上进行实践，我们可以评估学生是否能够理解和掌握新知识，同时还可以培养学生的迁移能力、提升学生的逻辑推理和数学运算能力等核心素养。

5.5 归纳总结，积累经验

问题11：在本节课的学习中，通过联系旧知，探索新知，数列与集合，数列与函数之间关系，根据数列的前几项写通项公式的具体思路是什么呢？常见的数列有哪些呢？从中你学到了哪些数学核心素养？

师生一起总结。

（1）根据数列的前几项写通项公式的具体思路为：

①先统一项的结构，如都化成分数、根式等。

②分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系。

③对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用（-1）k处理符号。

④对于周期出现的数列，考虑利用周期函数的知识解答。

（2）常见数列的通项公式

①数列-1，1，-1，1，…的一个通项公式是an=（-1）n，数列1，-1，1，-1，…的一个通项公式是an=（-1）n+1或（-1）n-1。

②数列1，2，3，4，…的一个通项公式是an=n。

③数列1，3，5，7，…的一個通项公式是an=2n-1。

④数列2，4，6，8，…的一个通项公式是an=2n。

⑤数列1，2，4，8，…的一个通项公式是an=2n-1。

⑥数列1，4，9，16，…的一个通项公式是an=n2。

⑦数列1，3，6，10，…的一个通项公式是an=。

⑧数列1，，，，…的一个通项公式是an=。

设计意图：培养学生良好的学习习惯和元认知能力，即能够自觉总结反省，注重达成教学目标。采用以问题为驱动的教学方式，让学生完成自我总结和归纳，从而帮助梳理课堂复习的重点，认识核心素养的重要性。

5.6 布置作业，分层落实

（1）练习本节课后练习基础题1，2；提升题11，26题。

（2）阅读课本课后思考，了解斐波那契数列知识背景。

6 教后评析

教师应当以学生的核心素养发展为中心，系统构思和设计多样化的课堂情境，引导学生独立思考思维模式，培养合作精神，最终达到领悟数学概念的深层意义的目的。在这样的教学设计中，我们将问题引导作为贯穿始终的核心策略，从而实现各方面的数学教学目标。

6.1 合理设计情境，凸显本真教学

本节课通过设计生活实例、设计生物学和古诗名句，将其融入数学，并通过联系新旧知识的方式引导学习者在现实问题情景创设的基础上理解数学知识结构，以此彰显现实问题和数学知识之间的关联，同时也帮助学习者在已有的“旧知识”基础上理解并掌握“新知识”。通过对集合和函数知识的复习，对原有的知识点进行总结，间接地提供了新的知识。考虑到新问题的提出清晰有序、逐步深入，展现了“真实教学”的理念，整个教学过程相对自然流畅。通过从生活实例中抽象数列概念的本质和构成要素，渗透了数学抽象的核心素养，应用列表法和图像法探究数列和函数的区别与联系，观察数列的前几项探究发现数列通项公式，提升直观想象和数学运算核心素养。

6.2 通过问题导学，促进意义建构

本课程采用“问题探究式”的教学方法进行教学，在数学领域中，针对数列问题，可以在学生的发展区内设置相关问题，让学生分阶段、分梯度地掌握知识点，通过自由探究、合作互动等方式在数列上展开活动，激发学生对数列概念的认识，从而掌握以简单生动的方式表达抽象数学活动的数学思想方法，实现内容过程反映和意义建构，促进学生认知结构的形成。

6.3 渗透数学文化，提升数学素养

通过创造文化氛围、引入名句和诗歌，将人文价值和精神融入数学教学，以此激发学生的兴趣，提高学习者的核心素养。教师可以通过安排学生阅读教材中的斐波那契数列，让学生了解数学史，认识数学家探究数学概念所运用的基本方法和思考方法，不断提高学生的数学素养，高中数学课程标准已把“体现数学的文化价值”作为基本理念之一，并进一步指出：“通过在高中阶段对数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值。”由此可见，数学的文化价值是其他课程无法代替或难以达到的，这要求我们在教学中注意挖掘数学文化资源，拓展学生的学习空间，带领学生一起去欣赏古今中外的数学史料和故事，感受数学的发展历程，不仅能够增强学生学习数学的信心，而且还能够让学生了解到不同文化背景下的数学思想，理解数学的多元文化，数学文化应有的人文价值真正得到体现。

（作者单位：喀什大学数学与统计学院）