单叶双曲面与双曲抛物面为动直线轨迹的定义

陈岱婉 陈 彦

（广东汕头幼儿师范高等专科学校初等教育学院，广东 汕头 515041）

1 引 言

在《空间解析几何》中，二次柱面、二次锥面、单叶双曲面、双曲抛物面都是重要的直纹面，精准定义曲面对理解运用其直纹性意义重大. 检索现有的文献，对单叶双曲面与双曲抛物面（以下简称为“两种直纹面”）的恰切定义的相关研究至今尚未发现. 文献[1-7]是一些高等院校现行的教科书，对柱面和锥面给出严格定义，但对两种直纹面就仅利用代数方法，通过方程的等价变形得出直母线方程来解释直纹性；大部分学者对这两种直纹面的研究，都仅涉及其上两族直母线的存在性及它们之间的关系性质，即便有少数人研究它们作为动直线的轨迹，也是具有特殊性或缺乏揭示二次曲面的内在关联，从而无法给出这两种直纹面的一个较为直观又具有二次曲面内在关联的定义.如文献[8]简单探讨了直纹面直母线的一般形式，笼统地证明了与三条异面直线都共面的动直线的运动轨迹是单叶双曲面；文献[9]从微分几何的角度推导出单叶双曲面上特殊截面和截线方程，并研究了单叶双曲面可看成异面直线上动点满足一定条件的运动轨迹问题，以验证其直纹性；文献[10]通过两个特例讨论满足特殊条件动直线的轨迹就是单叶双曲面；文献[11]指出直纹面可视为动直线的轨迹；文献[12]给出关于单叶双曲面和双曲抛物面的定义.故本文试图从二次曲面的内在关联出发，借鉴现行教科书中柱面和锥面的定义，给出两种直纹面为动直线轨迹的定义，以帮助读者对直纹面有直观的、内在联系的认识.

2 两种直纹面为动直线轨迹的直观描述及分析

2.1 预备知识

首先，考虑现行教材柱面与锥面的定义如下.

定义2.11[1]在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所成的曲面叫做柱面，定方向叫做柱面的方向，定曲线叫做柱面的准线，那族平行直线中的每一条直线，叫做柱面的母线.

定义2.12[1]在空间通过一定点且与定曲线相交的一族直线所成的曲面叫做锥面，这些直线都叫做锥面的母线，那个定点叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准线.

分析上述定义可知：生成柱面的动直线特质是：“一动一定”，过动点但方向不变；而生成锥面的动直线却是：“一定一动”，一端过定点但方向改变.那么我们将要定义的生成单叶双曲面与双曲抛物面的动直线都是：“两动”，过动点且方向也改变.这就是本文的难点所在，为解决该难点，我们引入两个在本文中起关键作用的辅助曲面，它们能很好地揭示二次曲面之间的内在关联.

2.2 建立平面曲线上的点与辅助曲面中的直线之间的对应关系

在空间，我们需要构建平面曲线上的点与二次锥面T1的母线或一对相交平面T2中的直线之间的对应关系，并对一些概念下定义如下.定义2.21 设过坐标原点O 且平行于平面定曲线上一点P 的从切平面[13-14]的平面，与辅助曲面Ti（i＝1，2）有两交线，其中一条与从切平面平行的坐标轴、向径构成左手标架，此交线称为点P 对应的辅助曲面Ti的正母（直）线，另一条交线（与平行于定曲线上点P 的从切平面的坐标轴、向径构成右手标架）称为点P 对应的辅助曲面Ti的负（直）母线.

注记1：平面曲线上的点可以确定辅助曲面Ti对应的两条母（直）线，为后面表述方便需要将其区分.为此，记正母（直）线为l＋，负母（直）线为l－（如图1，2 所示）.

图2

3 两种直纹面为动直线轨迹的定义

3.1 单叶双曲面为动直线的轨迹定义

定义3.11 在空间，与平面定曲线相交且平行于交点对应的二次锥面的正母线（或负母线）的动直线的轨迹叫做单叶双曲面，定曲线称为单叶双曲面的准线，二次锥面叫做单叶双曲面的渐近锥面，动直线中的每一条都叫做单叶双曲面的母线（如图3 所示）.单叶双曲面的准线不唯一，可为下列平面曲线（其中常数a，b，c＞0）：

图3

（1）腰椭圆[4，15]（2）双曲线（3）双曲线

证明 Ⅰ.先证与平面定曲线相交且平行于交点对应的二次锥面T1的正母线的动直线的轨迹是单叶双曲面.

考虑到由于平面定曲线将作为母线，动直线须沿它运动，故在平面定曲线上任取一点时，动直线必过该点（下一个定义3.21 也相应雷同）.故有下面：（1）当准线为腰椭圆时Σ1，

设P（x0，y0，0），则过点P 的从切平面为

故过点O 且平行于点P 的从切平面的平面α 为

ⅱ）其次，求平面α 与锥面T1的交线.

联立方程（1）、（3），得平面α 与锥面T1的交线为

可得交线有两解，即为点P 对应的二次锥面T1的正、负母线.若取z＝abc 代入（4），求得两母线的方向数为

由定义2.21 知，点P 对应的正母线l＋的方向数为－a2y0:b2x0:abc，点P 对应的负母线l－的方向数为－a2y0:b2x0:（－abc）.

ⅲ）最后，求以腰椭圆Σ1为准线，过点P∈Σ1且方向平行于点P 对应的二次锥面T1的正母线的动直线的轨迹.

设动直线的参数方程为

联立（5）、（6）消去x0，y0，t 并整理可得

故该轨迹为单叶双曲面（如图4 所示）.命题得证.

图4

（2）当准线为双曲线Σ2时，

设Q（0，y0，z0），则过点Q 的从切平面为

故过点O 且平行于点Q 的从切平面的平面β 为

ⅱ）其次，求平面β 与锥面T1的交线.

联立方程（1）、（7），得平面β 与锥面T1的交线为

可得交线有两解，即为点Q 对应的二次锥面的正、负母线.若取x＝abc 代入（8），求得两母线的方向数为

由定义2.2.1 知，点Q 对应的二次锥面的正母线l＋的方向数为abc:b2z0:c2y0，点Q对应的二次锥面的负母线l－的方向数为－abc:b2z0:c2y0.

ⅲ）最后，求以双曲线Σ2为准线，过点Q∈Σ2且方向平行于点Q 对应的二次锥面的正母线的动直线的轨迹.设动直线的参数方程为

联立（9）、（10）消去y0，z0，t 并整理可得

故该轨迹为单叶双曲面.命题得证.

（3）当准线为双曲线Σ3时，

与（1）、（2）中的ⅰ）、ⅱ）类似，一旦W（x0，0，z0）∈Σ3，便可求得点W 对应的二次锥面的正母线l＋的方向数为a2z0:abc:c2x0，点W 对应的二次锥面的负母线l－的方向数为a2z0:（－abc）:c2x0.

ⅲ）最后，求以双曲线Σ3为准线，过点W∈Σ3且方向平行于点W 对应的二次锥面的正母线的动直线的轨迹.设动直线的参数方程为

联立（11）、（12）消去x0，z0，t 并整理可得

故该轨迹为单叶双曲面.命题得证.

Ⅱ.对于与平面定曲线相交且平行于交点对应的二次锥面T1的负母线的动直线的轨迹是单叶双曲面，证明过程完全与Ⅰ情况雷同，这里从略.

注记2：在该定义3.11 中，与平面定曲线相交且平行于交点对应的二次锥面的正母线或负母线的动直线的轨迹正好是对应文献[16]所定义的单叶双曲面的直母线u，v 族.

3.2 双曲抛物面为动直线的轨迹定义

定义3.21 在空间，与平面定曲线相交且平行于交点对应的一对相交平面T2的正母线（或负母线）的动直线的轨迹叫做双曲抛物面，定曲线称为双曲抛物面的准线，这对相交平面叫做双曲抛物面的渐近平面，动直线中的每一条都叫做双曲抛物面的母线（如图5所示）.双曲抛物面的准线不唯一，可为下列平面曲线（其中常数a，b＞0，c≠0）：

图5

证明 Ⅰ.先证与平面定曲线相交且平行于交点对应的一对相交平面T2的正母线的动直线的轨迹是双曲抛物面.

（1）当准线为抛物线Γ1时，

设P（0，y0，z0），则过点P 的从切平面为

故过点O 且平行于点P 的从切平面的平面α 为

ⅱ）其次，求平面α 与一对相交平面T2的交线.

联立方程（2）、（13），得平面α 与一对相交平面T2的交线为

可得交线有两解，即为点P 对应的相交平面T2的正、负直线.若取y ＝-b 代入（3.12），求得两直线的方向数为

由定义2.2.1 知，点P 对应的一对相交平面的正直线l＋的方向数为点P 对应的一对相交平面的负直线l－的方向数为

ⅲ）最后，求以抛物线Γ1为准线，过点P∈Γ1且方向平行于点P 对应的相交平面T2的正直线的动直线的轨迹.

设动直线的参数方程为

联立（15）、（16）消去y0，z0，t 并整理可得

故该轨迹为双曲抛物面（如图6 所示）.命题得证.

图6

（2）当准线为抛物线Γ2时，

设P（x0，0，z0），则过点Q 的从切平面为

故过点O 且平行于点Q 的从切平面的平面β 为

ⅱ）其次，求平面β 与相交平面T2的交线.

联立方程（2）、（17），得平面β 与相交平面T2的交线为

可得交线有两解，即为点Q 对应的一对相交平面T2的正、负直线. 若取x＝a 代入（18），求得两直线的方向数为

由定义2.2.1 知，点Q 对应的正直线l＋的方向数为点Q 对应的负直线l－的方向数为

ⅲ）最后，求以抛物线Γ2为准线，过点Q∈Γ2且方向平行于点Q 对应的一对相交平面的正直线的动直线的轨迹.

设动直线的参数方程为

联立（19）、（20）消去x0，y0，t 并整理可得

故该轨迹为双曲抛物面.命题得证.

Ⅱ.对于与平面定曲线相交且平行于交点对应的一对相交平面的负母线的动直线的轨迹是双曲抛物面，证明过程完全与Ⅰ情况雷同，这里从略.

4 结论

本文在现行《空间解析几何》教材及文献的相关内容的基础上给予扩展，从二次曲面的内在关联出发，分别利用渐近锥面或一对相交平面找到单叶双曲面与双曲抛物面的直母线的运动轨迹，从而给出这两种直纹面为动直线的轨迹定义.在本定义中，若将动直线方向固定，则得到柱面，若动直线一端经过固定点，则得到锥面，故它具有一般性，可视为柱面和锥面定义的推广.我们的后续工作是研究单叶双曲面与其渐近锥面有关性质的比较.