浅谈“公切点偏移”问题

张志华 王 军 武 晓

(重庆市第一中学校,重庆 400030)

著名数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”而高中数学新课程标准强调六大核心素养,其中直观想象和数学运算正契合于此,两者相辅相成,缺一不可.以形助数,“直观想象”好似指南针,用以指引方向,帮助发现结论;以数刻形,“数学运算”如同放大镜,让图像更加精细,让逻辑更加严谨.

1 问题展示与分析

1.1 问题展示

A.6是函数y=f(x)的一个周期

1.2 初步分析

本题是本校高2023届期末考试多选题第12题,综合考查分段函数、函数周期性、对称性、单调性等知识,属于难题范畴,我们主要对C选项展开探讨.

因为f(x+2)+f(4-x)=f(3),用x+1替换x得f(x+3)+f(3-x)=f(3),令x=0,则f(3)+f(3)=f(3),所以f(3)=0,f(x+3)+f(3-x)=0,f(x)关于(3,0)中心对称,又因为f(x)是奇函数,所以其周期T=2|3-0|=6,先画出f(x)在(0,3)上的图像,再利用对称变换和周期变换得其整体图形.

在试卷评讲之前,笔者先让学生在课下完成了深度重做,旨在给学生充分的时间对问题再思考,参悟题目的底层设计,发现“雷区”,揣摩命题人的出题意图.

[学生甲汇报] 课堂上,学生甲首先进行汇报,如图1、图2所示:

图1 4个交点的临界情况

图2 6个交点的临界情况

由图像分析,令g(x)=logax,为保证f(x)与g(x)有5个不同交点,需满足

[学生甲点评] 命题人想考查数形结合的思想方法,C选项给出的答案只刻画了左端点,没有对右端点进行刻画,考虑不全面.

[学生乙继续汇报] 对学生甲的解答提出了质疑,并进行了补充.上述过程只考虑了a>1的情况,忽略了0

图3 时4个交点的临界情况

图4 0

从代数上进行刻画,需满足:

[教师点评] 非常好!甲同学数形结合时考虑到了右端点,乙同学全面考虑了图形存在的多种状态,分类讨论对问题进行完善.数形结合和分类讨论是处理复杂函数问题的两种常见策略[1],望同学们多多参悟.

2 问题提出与探究

2.1 问题提出

经过两位学生的深入剖析,此问题的解答似乎无懈可击,但事实真的是这样的吗?

首先通过甲乙两位同学的汇报,题目中C选项的正误早已明了.但我们如果锲而不舍地深究下去,对题目中两函数曲线“精雕细琢”,将会打开一副更加波澜壮阔的画面.

观察如下两个示意图,当我们面对两个“上凸”函数时,其“唯一公共点”有两种状态.

受定势思维的影响,加之我们手绘画图的不准确性和视觉误差,如图5,我们往往默认两曲线的“唯一公共点”在下方函数的顶点(对称轴)处产生.但仔细推敲我们不难发现,如图6,当两个函数同时“上凸”时,其“唯一公共点”应当落在极值点的左侧!这一点发人深思:上述解题过程中两位同学选用极值点处两函数的大小关系刻画图像的交点个数是否正确?

图5 “公切点”在对称轴处 图6 “公切点”在对称轴左边

“唯一公共点”可以转化为两函数的公切线的切点重合,我们不妨用“公切点”来阐述.这样我们就有两个探究任务:(1)f(x)与g(x)的公切点是否在f(x)的极值点(对称轴)的左侧;(2)如何解出这个公切点以及对应的a的值.以下我们进行深入分析.

2.2 问题探究

探究任务1 以a>1的情况为例,由图像需刻画区间(12,15)上f(x)与g(x)的公切线是否存在.

3 问题猜想

著名数学教育家波利亚说过:“好问题同某些蘑菇有些相像,他们总是成堆地生长,找到一个以后,你应当在周围找找,很可能在附近就有好几个.”所以,我们应当去寻找更多的好问题,解决与之相关的一般数学问题,并从中去发现这个问题的背后所隐藏的奥秘.

如图7、图8,我们提出如下两个猜想.

图7 “公切点”左偏 图8 “公切点”右偏

猜想1:在区间[a,b]上,f(x)是“上凸”函数,有极值点m,g(x)是“上凸”函数,没有极值点,f(a)

猜想2:在区间[a,b]上,f(x)是“下凸”函数,有极值点m,g(x)是“下凸”函数,没有极值点,f(b)>g(b),如果f(x)与g(x)存在公切点x0,则x0>m.

4 教学启发与建议

数学中“草图”的重要性不言而喻,其好处主要是直观形象、在于观察和发现结论,属于“合情推理”的范畴,但“草图”毕竟不属于“演绎推理”,由笔绘偏差和视觉误差容易引起似是而非的错误结论,所以代数的严格推理与运算必不可少.这也与新课程标准中强调“直观想象”与“数学运算”两大核心素养密切相关,所以我们不能孤立片面地理解这两者的关系,两者是一个有机结合的整体.